Как следует из фиг. 9.14, распределение повер.хностной нагрузки также нельзя предсказать.
Следует иметь в виду, что все эти рассуждения относятся и к представлениям сил между элементами обычными инженерными способами.
И наоборот, в областях, близких к месту приложения сосредоточенных нагрузок, распределение напряжений описывается неверно, и в окрестности таких нагрузок иногда можно получить несколько неожиданные значения напряжений. Это вовсе не
Фиг. 9.15. Аномалии, которые могут появляться в окрестности точки приложения сосредоточенной нагрузки при использовании сложных элементов.
---элемент с постоянной деформацией;-----элемент с линейно изменяющейся
деформацией.
говорит об уменьшении точности, а указывает на то, что усреднение по элементу позволяет лучше представить действительную картину напряжений.
На фиг. 9.15 проводится качественное сравнение напряжений вблизи такой особой точки, определенных при постоянных деформациях и линейном законе изменения деформаций в элементах. Попытка улучшить аппроксимацию напряжений с помощью использования более сложных элементов иногда дает возможность получить более точное значение напряжения в особой точке. Однако при этом вблизи такой точки может произойти противоестественная смена знака напряжения, чего не бывает при использовании простых элементов. Ясно, что в таких случаях следует применить сглаживание и внимательно подойти К оценке результатов
ЛИТЕРАТУРА
1. Irons в. М., Engineering Application ol Numerical Integration in Stiffness Mettiod, JAIAA, 4, 2035-2037 (1966); есть русский перевод: Айронс, Инженерные приложения численного интегрирования в методе жесткостей. Ракетная техника и космонавтика, 4, № И, стр. 213-216 (1966).
2. Irons В. М., Comment on «StifIness Matrices lor Sector Element> by Ra-ju I. R., Rao A. K., JAJAA, 7, 156-157 (1969); есть русский перевод: Айронс, Замечание к статье «Матрицы жесткости элементов в форме сектора». Ракетная техника и космонавтика, 8, № 3, стр. 271 (1970).
3. Irons В. М., Discussion, р. 328-331, of Finite Element Techniques in Structural Mechanics, Tottenham H., Brebbia C, eds., Southampton Univ. Press, 1970.
4. irons B. M., Testing and Assessing Finite Elements by an Eigenvalue Technique, Proc. Conf. on Recent Developments in Stress Analysis, / Br. Soc. St. An., Royal Aero Soc. (1968).
5. Zienkiewicz O. C, Irons B. M., Ergatoudis J., Ahmad S., Scott F. C, Isoparametric and Associated Element Families for Two and Three Dimensional Analysis, Proc. Course on Finite Element Methods in Stress Analysis, Holand I., Bell K., eds., Trondheim Tech. Univ., 1969.
6. Irons B. M., Zienkiewicz O. C, The Isoparametric Finite Element System - a New Concept in Finite Element Analysis, Proc. Conf. Recent Advances in Stress Analysis, Royal Aero Soc, 1968.
7. Ergatoudis J. G., Irons B. M„ Zienkiewicz 0. C, Curved, Isoparametric, «Quadrilaterab Elements for Finite Element Analysis, Int. J, Solids and Struct,, 4, 31-42, (1968),
8. Ergatoudis J, G., Isoparametric Elements in Two and Three Dimensional Analysis, Ph. D. Thesis, Univ, of Wales, Swansea, 1968.
9. Ergatoudis J. G., irons B. M., Zienkiewicz O. C, Three Dimensional Analysis of Arch Dams and Their Foundations, Symp. on Arch Dams, Inst Civ Eng., London, 1968.
10. Zienkiewicz O. C, Irons B. M., Campbell J., Scott P., Three Dimensional Stress Analysis, Int. Un. Th. Appl. Mech. Symp. on High Speed Computine in Elasticity, Liege, 1970.
10.1. Введение
Во всех задачах предыдущих глав основные зависимости между напряжениями и деформациями приведены в точной форме, хотя окончательное решение находилось приближенно. В классической теории пластин [1], чтобы упростить задачу и свести ее к двумерной, с самого начала вводятся некоторые гипотезы, а именно делаются предположения о линейном изменении деформаций и напряжений по нормали к плоскости пластины. Так называемые точные решения теории пластин справедливы только тогда, когда справедливы эти допущения, т. е. если пластины тонкие и прогибы малы.
При решении представленных здесь задач использовались допущения классической теории пластин, и, следовательно, точность приближенных решений должна проверяться на известных задачах теории пластин. Пределы их применимости будут такими же, как и теории пластин.
Деформированное состояние пластины полностью описывается одной величиной - прогибом w срединной поверхности пластины. Однако теперь условие непрерывности между элементами должно быть наложено не только на эту величину, но и на ее производные. Это необходимо для того, чтобы пластина оставалась сплошной и не появлялись изломыПоэтому в каждой узловой точке обычно приходится удовлетворять условиям равновесия и непрерывности.
Выбрать подходящую функцию формы теперь гораздо сложнее. В самом деле, если на границе между элементами требуется выполнение условия непрерывности угла наклона, то непропорционально возрастают математические и вычислительные трудности. Однако относительно просто получить функции формы, которые, сохраняя непрерывность w между элементами, допускают нарушение непрерывности угла наклона, хотя, конечно, не в узловых точках, где условия непрерывности заданы. Если такие функции удовлетворяют критерию «постоянства деформаций», то решение может сходиться (см. гл. 2). В первой части этой главы рассматриваются именно такие несогласован-
) Если появляется излом, то вторая производная (кривизна) становится бесконечной и в выражении для энергии появляются бесконечные члены.
ные функции формы. Во второй части вводятся новые функции, которые позволяют удовлетворить условиям непрерывности. С помощью этих согласованных функций можно получить более корректное, но, как правило, менее точное решение. Для практического применения рекомендуются функции, описанные в первой части этой главы.
Элементом простейшей формы является прямоугольник. Использование треугольных н четырехугольных элементов связано с некоторыми трудностями, и они будут рассмотрены позднее; для расчета пластин произвольной формы и оболочек именно такие элементы являются основными.
10.2. Формулировка задачи об изгибе пластин в перемещениях
В соответствии с обычной теорией тонких пластин перемещение пластины однозначно определяется известным во всех точках прогибом w.
Запишем его в общем виде:
w = [N][bY, (10.1)
где функции формы зависят от декартовых координат х, у, а столбец {6}" содержит все (узловые) параметры элемента.
Обобщенные деформации и напряжения должны быть теперь определены так, чтобы их скалярное произведение, как и в гл. 2, давало внутреннюю работу. Таким образом, определим деформации (фиг. 10.1) как
{е} =
ду , d-w дхду
(10.2)
Соответствующими напряжениями являются обычные изгибающие и крутящие моменты на единицу длины в направлениях X к у:
(10.3)
Так как истинные деформации и напряжения изменяются линейно по толщине пластины [1], то их можно найти из соотношений
о = -г и т. д.,
ИЗГИБ ПЛАСТИН
Плоскость
Фиг. 10.1. Результирующие напряжений или просто напряжеиия при изгибе
пластин.
где г отсчитывается от срединной плоскости пластины, at - толщина пластины.
Можно показать, что произведение выражений (10.2) и (10.3) соответствует внутренней работе.
Так как теперь в выражение для деформаций входят вторые производные, то, согласно критерию непрерывности, функции формы должны обеспечивать непрерывность как а), так и угла-наклона нормали к границе между элементами.
Критерий постоянства деформации требует, чтобы внутри элемента можно было воспроизвести любое постоянное значение второй производной.
Чтобы по крайней мере приближенно удовлетворить условию непрерывности угла наклона, в качестве узловых параметров рассматриваются три компоненты перемещений: во-первых, пе-
Силы и соответствующие перемещения
Фиг. 10.2. Прямоугольный элемент пластины.
ремещение Wn в направлении г, во-вторых, угол поворота (еу)„ вокруг оси у и, в-третьих, угол поворота (ех)п вокруг оси х. На фиг. 10.2 показаны положительные направления поворотов, определяемые по правилу правой руки. Их величины задаются векторами, направленными по соответствующим осям.
Ясно, что углы наклона w и углы поворота совпадают с точ-ностьвэ до знака, поэтому можно записать
(10.4)
\ду Ji
{дт\
9j,;
Как показано на фиг. 10.2, узловыми силами, соответствующими этим перемещениям, являются сила и два момента:
{Fi} = \FM\- (10.5)
F,„,)
Если известна матрица [В], то -матрица жесткости и все остальные матрицы строятся обычным образом с помощью со-отнощеннй гл. 2.
Из определений (10.1) и (10.2) следует, что
[В(] =
(10.6)
дхду
Запись функций формы в квадратных скобках подчеркивает, что онн являются матричными величинами, состоящими из трех элементов.
Матрица упругости [D] входит в обычное соотнощение:
{a}{Af} = [D]({e}-{8o})-f {оо}. (10.7)
Для изотропной пластины имеем (см. [1])
1 V О
[D] =
12(1 -v2
1 -у
(10.8)
Чтобы описать поведение ортотропной плиты, главные направления упругости которой совпадают с осями хну.
