При использовании дбих юуссовых точек сходимости нет
При исполмовонии трех гауссовых точен Сходимости нет
л = 7
о 3 гауссоОы точки X i гауссовы точки Д 5 gajjccoetix точек
Фиг. 9.2. Влияние порядка численного интегрирования на результаты расчета сферы, нагружеииой внутренним давлением (элементы третьего и четвертого порядков). Сплошной линией показаны точные результаты.
необходимо для сходимости, но и не больше, чем требуется для численного интегрирования.
На фиг. 9.2 в качестве примера иллюстрируется осесиммет-ричная задача о сфере, нагруженной внутренним давлением. При ее решении использовались элементы двух порядков и различное число точек интегрирования. Результаты не требуют комментариев.
Последние работы показывают, что, применяя минимальное число точек интегрирования, в некоторых случаях можно существенно улучшить характеристики элемента. Это объясняется двумя обстоятельствами.
Во-первых, задание формы перемещений всегда увеличивает жесткость (как показано в гл. 2), а снижение точности интегрирования уменьшает ее.
Во-вторых, при малом числе точек интегрирования из рассмотрения исключаются области, в которых для обеспечения непрерывности между элементами на перемещения накладываются чрезмерные ограничения. К этому вопросу мы еще вернемся в гл. 14.
Построение грункцаи формы
9.3. Преимущество применения численного интегрирования в методе конечных элементов [3]
Существенным преимуществом применения в методе конечных элементов численного интегрирования является возможность составления универсальной вычислительной программы. Можно заметить, что для заданного класса задач матрицы всегда одинаково выражаются через функцию формы и ее производные [см., например, (8.14)].
Для вычисления характеристик элемента необходимо, во-первых, задать функцию формы и ее производные, а во-вторых, установить порядок интегрирования.
Порядок интегрирования
Odaiee соотношение для рассматриваемой матрицы злемента
. Фнг. 9.3. Схема расчета прн численном ии-тегрироваиин по элементам.
Таким образом, вычисление характеристик элемента состоит из трех различных частей, схематически показанных на фиг. 9.3. Чтобы использовать для заданного класса задач различные элементы, необходимо только изменить функции формы, и, наоборот, подпрограммы задания одной функции формы могут применяться в различных классах задач.
Такая схема вычислений позволяет без труда использовать различные элементы для проверки эффективности новых элементов в исследуемой задаче или же применить программу для расчета новых задач без громоздких преобразований (с неизбежными ошибками).
Вычислительная машина при этом используется по назначению, т. е. для проведения расчетов по экономно составленной программе.
Самым большим практическим преимуществом универсальных подпрограмм вычисления функции формы является возможность их проверки с помощью простой программы. Обычно достаточно проверить, правильно ли вычисляются узловые значения и производные. Проверка осуществляется по простым ко-нечно-разностиым формулам после вычисления по подпрограмме значений функций в двух близлежащ-их точках. Иногда используются и другие тесты. Самый интересный из них связан с вычислением собственных значений, но использование его неэкономично [4].
Включение в систему простых точно интегрируемых элементов не должно вызывать опасения, так как время точного и время численного интегрирования при этом почти одинаковы.
9.4. Некоторые практические примеры решения задач [5-10]
двумерных
Возможности использования криволинейных элементов для исследования двумерного напряженного состояния иллюстрируются примерами решения осесимметричных задач.
Вращающийся диск (фиг. 9.4). В этом случае для получения решения с достаточной степенью точности необходимо всего восемнадцать элементов. Интересно заметить, что координаты узлов на сторонах элементов третьего порядка задавать не требуется, так как их вычисление предусмотрено программой.
Конический резервуар (фиг. 9.5). Для решения этой задачи используются элементы третьего порядка. Следует отметить, что для описания влияния изгиба как в тонкой, так и в толстой частях резервуара достаточно только одного элемента по толщине стенки. Для получения приемлемого решения при использовании простых треугольных элементов, как мы видели, требовалось несколько слоев элементов.
Полусферический купол (фиг. 9.6). Это еще один пример исследования оболочек, который показывает, как с помощью программы расчета конического резервуара при малом числе элементов можно получить решение задачи для тонкой оболочки. Применяя хорошо известную в теории оболочек гипотезу
*„r 4 4 Расчет вращающегося диска при использовании элементов третьего порядка (18 элементов. 119 узлов, 238 степеней свободы). Шотнрсть 7.85 г/см- £=1.57 Ю Н/„, v=0.3; 22600 об/ми„.
Фиг. 9.5. Конический резервуар,.
L/t изменяется от 9о20
Типичный меменгп
Фиг. 9.6. Тонкая полусферическая оболочка, Решение с использованием 15 и 24 элементов третьего порядка.
О линейности перемещений по толщине, можно уменьшить число степеней свободы и сделать программу более экономичной Методы такого рода подробно рассматриваются в гл. 14.
9.5. Исследование трехмерного напряженного состояния
При решении трехмерных задач, как указывалось в гл. 6, использование сложных элементов позволяет значительно сэкономить время. В этом разделе приведены типичные примеры, в которых используются элементы второго порядка сирендипова типа. Во всех задачах численное интегрирование в каждом направлении производится по трем гауссовым точкам.
Вращающаяся сфера (фиг. 9.7) [6]. Этот пример, в котором сравниваются рассчитанные и точные значения напряжений, вызванных центробежной силой, позволяет оценить эффективность сильно искривленных элементов. Полученные при исполь-
