1. Taig I. С, Sirucfural Analysis by (he Matrix Displacement Method, Engl. Electric Aviation Rept. K« S0I7, 1961.
2. Irons B. M., Numerical Integration Applied to Finite Element Methods, Conf, Use of Digital Computers in Struct. Eng., Univ. of Newcastle, 1966.
3. Irons B. M., Engineering Application of Numerical Integration in Stiffness Method, lAIAA, 14, 2035-2037 (1966); есть русский перевод: Айронс, Инженерные приложения числеииого интегрирования в методе жесткостей. Ракетная техника и космонавтика, 4, № II, стр. 213-216 (1966).
4. Coons S. А., Surfaces for Computer Aided Design of Space Form, MIT Project MAC, AUC-TR-41, 1967.
5. Forrest A. R., Curves and Surfaces for Computer Aided Design, Сотр. Aided Design Group, Cambridge, England, 1968.
6. Murnaghan F. D., Finite Deformation of an Elastic Solid, Wiley, 1951.
9. Irons B. M., Quadrature Rules for Brick Based Finite Elements, Int. 1. Num. Meth. Eng., 3 (1971).
10. Radau, Journ. de. Meth., 3, 283 (1880).
11. Anderson R. G., Irons B. M., Zienkiewicz O. C, Vibration and Stability of Plates Using Finite Elements, Int. J. Solids Struct., 4, 1031-1055 (1968).
12. Hammer P. C, Marlowe O. P., Stroud A, H.. Numerical Integration Over Sim-plexes and Cones, Math. Tables Aids Сотр., 10, 130-137 (1956).
13. Felippa C. A., Refined Finite Element Analysis of Linear and Non-Linear Two Dimensional Structures, Structures Materials Research Rept. № 66-22, Univ. of Caliiornia. Berkeley, Oct. 1966.
9.1. Введение
Применение элементов высоких порядков, рассмотренных в двух предыдущих главах, требует некоторого обоснования. Усложнение элементов приводит к дополнительным затратам мащинного времени. Поэтому необходимо рассмотреть вопрос экономичности их использования.
На фиг. 9.1 представлены результаты расчета консольной балки с помощьюразличных элементов. Сравнение результатов, показывает, что при одном и том же числе степеней свободы использование сложных элементов значительно повышает точность. Однако их применение не обязательно сопровождается пропорциональным уменьшением времени решения, так как ширина ленты матрицы для сложных элементов увеличивается, тем не менее, вообще говоря, оно существенно сокращается.
При использовании сложных элементов значительно сокращается время подготовки исходных данных. В приведенном примере три сложных элемента заменяют соответственно шесть и восемнадцать простых треугольников, поэтому в итоге приходится иметь дело с меньшим количеством элементов. Кроме того, если стороны элементов представляют собой прямые линии, координаты дополнительных узлов легко определить путем введения подпрограммы интерполирования. В результате значительно сокращается число задаваемых координат.
Использование сложных элементов не будет иметь указанных преимуществ, если процесс разбиения области на элементы автоматизирован, однако программно осуществить это трудно.
С другой стороны,, значительное сокращение количества элементов может привести к ухудшению аппрокси.мации реальной геометрии. В таких случаях бывает лучше использовать простые элементы.
По-видимому, самой серьезной проблемой при использовании сложных криволинейных элементов являются затраты машинного
НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ИЗОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ДВУМЕРНОГО И ТРЕХМЕРНОГО НАПРЯЖЕННЫХ СОСТОЯНИИ
времени на численное интегрирование. Поэтому точность интегрирования следует ограничивать, руководствуясь соображениями экономии времени.
Тип элемента
Точное решение
Вертикальная нагрузка в точке А
максимальный прогиб в АА
максимальное
напряжение в ВВ
0,26
0,19
0,65
0,53
0,99
1,00
1,00
0,55
Момент в А А
максимальный прогиб в АА
0,22
0,67
0,51
0,99
0,52
1,00
максимальное
напряжение в ВВ
0,22
0,67
0,55
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
Фнг. 9.1. Расчет плоского напряженного состояния консоли с помощью различных элементов. Прн увеличении порядка элементов точность возрастает.
9.2. Требуемая точность численного интегрирования
В предыдущей главе указывалось, что матрицы элемента могут быть составлены с использованием численного интегрирования методом Гаусса по я точкам. Объем вычислений при та-
ком интегрировании по плоским областям пропорционален п - числу точек, в которых должна быть определена подынтегральная функция, а в трехмерных задачах он пропорционален п?. Поэтому весьма важно установить минимальное достаточное число гауссовых точек.
В настоящей главе рассматриваются задачи теории упругости, требующие вычисления матрицы жесткости элемента. Сформулируем следующее утверждение:
Если при решении задач теории упругости в перемещениях методом конечных элементов точность численного интегрирования достаточна для того, чтобы точно вычислить объем элемента, то процесс сходится [1, 2].
Это утверждение легко доказывается. В пределе при умень-щеиии размеров элемента функции формы дают постоянные значения деформаций и напряжений. Тогда выражения для «узловых сил» принимают вид
\ {oY[B]dV = {<jf \ [B\dV. (9.1)
Так как
dV = &e.[ndldv,dt, (9.2)
и матрица [В] получена умножением первых производных от Ni иа матрицу [/]-, приходим к выводу, что точное интегрирование соотнощения (9.2) обеспечивает точное вычисление интеграла (9.1). Якобиан выражается через первые производные функции формы [см. выражение (8.18)], поэтому всегда можно определить его порядок, а следовательно, и число гауссовых точек, необходимое для точного интегрирования [3].
Например, для случая двумерного четырехугольного элемента второго порядка детерминант представляет собой квадратичное выражение, для интегрирования которого требуются как минимум две точки. Случаю трехмерной призмы второго порядка соответствует кубичное выражение, для точного интегрирования которого тоже требуется по две точки в каждом направлении.
Этот минимум точек, необходимых для сходимости, не всегда является оптимальным с точки зрения затрат машинного времени. Если для представления области используется небольшое число элементов, интегрирование можно производить с большей точностью, и, наоборот, при использовании большого количества элементов более экономичным может оказаться интегрирование с меньшей точностью.
Ясно, что вычислительные программы должны составляться так, чтобы можно было производить интегрирование с любым количеством точек. Этих точек должно быть не меньше*, чем это
