Теорема 3. Все изопараметрические элементы! для которых JNiil), удовлетворяют условию постоянства производной.
Можно показать, что это условие является необходимым и что теорема справедлива для субпараметрического преобразования в случае, если [N] можно представить в виде линейной комбинации [Л], т. е. если
Ni = Y,Ci,N,. . (8.10)
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
8.6. Вычисление матриц элемента (преобразование координат I. Л- ?)
Для применения метода конечных элементов должны быть найдены матрицы, определяющие свойства элемента, такие, как жесткость н др. Эти матрицы будут иметь внд
(8.11)
\[G]dV,
где [G] зависит от функций или их производных по глобальным координатам. В качестве примера рассмотрим матрицу жесткости
\[Bf[DmdV (8.12)
и соответствующие векторы нагрузки \m{p}dV.
(8.13)
Для некоторого класса задач теории упругости матрицы [В] были выписаны в явном виде [см. равенства (4.10), (5.6) и (6.11)]. Первое из них, равенство (4.10), относящееся к плоским задачам, дает
- dNi
дх О dNi
ду dNj
(8.14)
) Прн определении напряжений это условие .просто означает, что перемещение тела как жесткого це.того не должно вызывать никаки.ч деформаций-требование менее ограничительное, чем условие постоянства производных.
Здесь штрих, использованный в гл. 4 для обозначения функций формы, опущен, ибо теперь эти функции являются скалярными и относятся ко всем компонентам перемещения. Заметим, что такая форма записи носит достаточно общий характер и справедлива для всех двумерных элементов, используемых при решении плоских задач теории упругости, независимо от числа узлов (или неузловых параметров) в элементе. Это замечание относится ко всем рассматриваемым в книге задачам.
Для вычисления матриц необходимо сделать два преобразования. Во-первых, поскольку Nt заданы в локальных (криволинейных) координатах, необходимо каким-либо образом выразить глобальные производные, входящие в (8.14), через локальные производные.
Во-вторых, элементарный объем (или поверхность), по которому должно проводиться интегрирование, нужно представить в локальных координатах и соответствующим образом изменить пределы интегрирования.
Рассмотрим, например, систему локальных координат I, ц, t, и соответствующую систему глобальных координат х, у, z. Используя правило частного дифференцирования, можно записать, например, производную по в виде
злг,
дЩ дх дЛГ, ду . dNi дг д ду д дг dl
(8.15)
Дифференцируя аналогично по остальным двум координатам и используя матричную форму записи, получаем
- дх
дг -
IdNi ]
dN[ дц
дх di,
dy dr\
dz dn
dNi dff
dNi dy
. (8.16)
dZ
dl
dz J
I dz
Левая часть этого выражения легко вычисляется, так как функции Ni заданы в локальных координатах. Кроме того, поскольку координаты X, у, z связаны с криволинейными координатами [соотношение (8.2)], матрица [У] выражается через локальные координаты. Эта матрица называется матрицей Якоби.
Чтобы найти глобальные производные, обратим матрицу [/] и запишем
dy dNi
dl dN[ дц
(8.17)
Выражая [/] через функции формы [N"], определяющие преобразование координат (которые, как мы видели, только для изопараметрических элементов совпадают с функциями формы Щ), получаем
dNi dl
dN di
[/]=
dNi дц
dNi dZ
dN, dN,
Xi У2 22
(8.18)
Для преобразования переменных и области интегрирования применим стандартный прием, использующий определитель матрицы [/]. Так, например, элементарный объем преобразуется следующим образом:
dx dydz-=det []didцdZ.
(8.19)
Преобразование такого типа справедливо при любом числе координат. Доказательство читатель может найти в обычных учебниках по математике. Особенно хорошо изложен этот вопрос в книге Муриагана [6]) (см. также приложение 5).
Если предположить, что матрица [/] имеет обратную, то определение характеристик элемента сводится к вычислению интегралов типа (8.11).
Если криволинейные координаты являются нормализованными координатами, соответствующими прямой правильной призме, то интеграл (8.11) можно записать в виде
1 I J
\ \ J [Gil, n, Q]didr]di.
(8.20)
) Определитель матрицы Якоби в литературе называется «якобианом» и часто записывается в внде
Интегрирование производится по объему именно такой, а не искривленной призмы, поэтому пределы интегрирования записываются просто. Для одномерных и двумерных задач получаются интегралы соответственно по одной и двум переменным с простыми пределами интегрирования.
Хотя пределы интегрирования простые, выражение для [G] в явном виде, к сожалению, очень сложное. Поэтому, за исключением некоторых простейших элементов, точно интегрирование провести не удается и приходится прибегать й численному интегрированию. Впрочем, это, как мы увидим далее, не так уж плохо и имеет то преимущество, что позволяет избежать алгебраических ошибок и составить типовые программы для различных, классов задач независимо от вида элемента. При использовании численных методов обращение матрицы [/] никогда не производится явно.
8.7. Матрицы элемента. L-коордннаты
Соотношения (8.2) преобразования координат и асе последующие теоремы в равной степени справедливы для любой системы локальных координат. В частности, с их помощью координаты Li, Ц, ..., введенные в предыдущей главе для треугольников и тетраэдров, можно связать с глобальными декартовыми координатами.
Большая часть рассуждений предыдущей главы остается в силе, если соответствующим образом переименовать локальные координаты. Однако появляются два существенных отличия.
Jo-первых, локальные координаты не являются независимыми и число их на единицу больше, чем декартовых. Матрица [J], следовательно, становится прямоугольной и не допускает обращения. Во-вторых, меняются пределы интегрирования, которые теперь должны соответствовать треугольным или тетраэдральным первичным элементам.
Простейший, хотя, возможно, и не самый изящный, способ избавиться от первого затруднения - это считать последнюю переменную зависимой. Так, например, для тетраэдра (используя обозначения предыдущей главы) введем формально
Г] = 12,
(8.21)
Таким образом, равенство (8.16) и все соотношения вплоть до (8.19) сохраняются без изменений.
Поскольку функции Ni выражаются через координаты Ц, L2 и т. д., то
dl - дЦ dl дЦ 01 дЦ dl "f" dU dl °-> Учитывая (8.21), приходим к равенству dNj dNt dN[ d ~ dL, dL, •
Остальные производные получаются аналогично.
Пределы интегрирования в (8.20) заменяются на пределы, соответствующие тетраэдру, т. е.
I п 1-11-5
\ \ \ IGih п, 4)lrf?rfr,rf£. (8.23)
ко о
Аналогичная процедура справедлива и для треугольника.
Заметим, что сложность выражения для [G] опять вызывает необходимость численного интегрирования, которое должно производиться по простой, неискрив-ленной, первичной области, т. е, по треугольнику Или тетраэдру.
Отметим, наконец, что каждый из элементов, рассмотренных в предыдущей главе, может быть деформирован в криволинейный. Иногда, как, например, для треугольной призмы, одновременно используются и прямоугольные и L-координаты (фиг. 8.8). Сделанные ранее замечания относительно зависимости координат остаются в силе. "
Фиг. 8.8. Криволинейная трехгран мая призма.
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
8.S. Одна переменная
Еще в гл. 5, где рассматривалась относительно простая задача об осесимметричном напряженном состоянии и использовались простые треугольные элементы, отмечалось, что точное интегрирование выражений, входящих в матрицы элемента, связано с большими трудностями. В таких задачах, как и при использовании сложных криволинейных элементов, возникает необходимость численного интегрирования.
Здесь мы изложим основные принципы численного интегрирования и приведем таблицы квадратурных коэффициентов.
Интеграл от функции одной переменной можно вычислить двумя основными методами [7, 8].
Квадратура Ньютона - Котеса). Сначала априори выбираются точки, обычно равноотстоящие друг от друга, в которых вычисляются значения функций. Затем строится полином,
0,86! 13
Фиг. 8.9. Интегрирование методами Ньютона - Котеса (а) и Гаусса (б) Ойя метода позволяют точно проинтегрировать полином седьмой степени (те погрешность имеет порядок О (А)). i . • и
