Фиг. 8.4. Чрезмерное искривление элемента, приводящее к иеоднозначностн преобразования н «перегибу». Даны элементы второго и третьего порядков.
соответствуют разные локальные координаты. На практике следует избегать такого сильногоискривления.
На фиг. 8.5 приведены два примера искривления двумерного (I, ц) элемента в трехмерном пространстве (х, у, г).
Далее в этой главе часто будем называть основной элемент в недефорйированных локальных координатах первичным элементом.
8.3. Геометрическое соответствие элементов
Хотя было показано, что при использовании функции формы для преобразования координат каждый первичный элемент единственным образом отображает некоторую часть реального объекта, важно, чтобы разбиение на новые криволинейные эле-
менты не оставляло щелей между ними. Воз.можность возникновения таких щелей показана на фиг. 8.6.
Теорема 1. Если два смежных криволинейных элемента образуются из первичных, функции формы которых удовлетворяют условиям непрерывности, то они будут соприкасаться по всей границе.
Эта теорема очевидна, ибо однозначность любой функции ф, вытекающая из условия непрерывности, означает однозначность преобразования координат х, у, г. Так как координаты узлов одни и те же, непрерывность имеет место. Узлы новых искривленных элементов не обязательно располагать только в точках, для которых определены функции формы. Внутри элемента или на его границах можно ввести дополнительные узлы.
8.4. Изменение неизвестной функции в криволинейных элементах. Условия непрерывности
После построения элемента с помощью функций формы [/V] для исследования его характеристик необходимо задать вид неизвестной функции-. Удобнее всего использовать в криволинейных координатах обычное представление
Ф=т{фг,
(8.3)
где {}-набор узловых значений.
Теорема 2. Если функции формы [Щ, входящие в (8.3), в первичных координатах удовлетвор.чют условиям непрерывности ф, то и в криволинейных элементах условия непрерывности будут выполняться.
Эта теорема доказывается так же," как н теорема предыдущего раздела.
Узловые значения могут соответствовать узлам, используемым для задания геометрии элемента. Например, обозначенные кружочками на фиг, 8,7 точки используются для определения геометрии элемента. Для установления характера изменения неизвестной функции можно было использовать ее значение в точках, обозначенных квадратиками.
На фиг. 8.7, а для задания геометрии и конечно-элементной аппроксимации используются одни и те же точки. Итак, если
IN] = IN], (8.4)
т. е. функции формы, определяющие геометрию элемента и неизвестную функцию, одинаковы, то элемент называется изопа-раметрическим.
-- х- >
X X ж
5к х"
х-- >
X X. X
> "
/ -V ✓
✓ -X
Фнг. 8.5. (продолжение).
Фнг; 8.5. Преобразование плоских (или параболических) элементов в трехмерном пространстве.
Фиг. 8.6. Требование совместности прн разбиении области.
Фиг. 8.7. Различные типы элементов.
о точка, в которой заданы координаты; □ точки, в которых заданы параметры функции, а -изопараметрический элемент; б-суперпараметрнческий элемент; з -субпараметрический элемеит.
Однако для определения ф можно было бы использовать только четыре угловые точки (фиг. 8.7,6). Такие элементы называются суперпараметрическими, так как для них изменение геометрии описывается более полно, чем изменение неизвестных.
Аналогично если для определения ф вводится больше узлов, чем для задания геометрии, то элементы называются субпараметрическими (фиг, 8.7, S). Такие элементы на практике используются чаще, чем суперпараметрические.
Выбор удовлетворяющих условию непрерывности функций, которые определяют геометрию элемента и закон изменения ф, достаточно широк, причем эти функции не обязательно должны быть одинаковыми. Однако критерий постоянства деформаций (гл. 2), или критерий постоянства производной (гл. 3), накладывает некоторое ограничение.
Напомним, что для сходимости необходимо, чтобы в каждой точке элемента путем подбора соответствующих узловых значений ф можно было получить любое произвольное постоянное значение первых производных (это справедливо для функционалов, содержащих только производные первого порядка). При этом соотношение
ф = [М]{фГ=1ф,=а--а2К-\-щу-{-а,г, где (8.5) [N] = [N{1, л, 1)1 должно быть справедливо для любых постоянных ai-i и соответствующих значений {фу. В самом деле, в узловых точках должно выполняться равенство
= а, + OiXi -f ЩУ1 + ctiZi,
(8.6)
(8.8)
так что первое соотношение можно переписать в виде
т {ФГ = а, Z , + «2 £ NiXi -f ct, Z Ny -f 04 S NiZi -
= Oi-f ctsAf-f oji/042. (8.7)
Оно всегда будет удовлетворяться, если
£ NiXi = x, ZNiy,=y, Т, NiZi=z.
Из формул преобразования координат [соотношение (8.2)] следует, что
