7. Argyris J. Н., Buck К. E., Fried I.. Marecrek G., Scharpf D. W., Some New Elements for iVlatrix Displacement Methods, 2nd Conf. on Matrix Methods in Struct. Mech., Air Force Inst, of Techn,, Wright Patterson Base, Ohio, Oct. 1968.
8. Doherty W. P., Wilson E., Taylor R. L., Stress Analysis of Axisymmetric Solids Utilizing Higher-Order Quadrilateral Finite Elements. Rept, 69-3, Structural Engineering Laboratory, Univ, of California, Berkeley. Jan. 1969.
9. De Veubeke В F., Displacement and Equilibrium Models in the Finite Element Method, Ch, 9 in: Stress Analysis, Zienkiewicz 0. C, Holister G. S., eds., Wiley, 1965.
10. Argyris J. H., Triangular Elements with Linearly Varying Strain for the Matrix Displacement Method, Л Roy. Aero. Soc. Tech. Note, 69, 711-713 (Oct, 1965).
11. Ergatoudis J. G., Irons B. M., Zienkiewicz 0. C, Three Dimensional Analysis of Arch Dams and Their Foundations, Symposium on Arch Dams, Inst. Civ. Eng., London, 1968.
12. Zienkiewicz 0. C„ Irons B, M,, Campbell J., Scott P., Three Dimensional Stress Analysis, Int. Un. Th. Appl. Mech. Symp. en High Speed Computing in Elasticity, Liege, 1970.
ГЛАВА 8
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИЗОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ И ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
8.1. Введение
В предыдущей главе было„ показано, как можно построить некоторые семейства элементов. Каждый новый элемент этого семейства характеризуется увеличением числа узлов и повышением точности; число таких элементов, необходимых для получения достаточно точного решения, по-видимому, будет быстро уменьшаться. На практике часто приходится рассматривать тела гораздо более сложной формы, чем в академических задачах, поэтому для аппроксимации тела относительно сложной формы небольшим числом элементов нельзя довольствоваться только простыми прямоугольниками и треугольниками. В этой главе рассматривается вопрос преобразования этих простых элементов в элементы произвольной формы.
На фиг. 8.1 и 8.2 изображены одномерные, двумерные и трехмерные элементы и соответствующие криволинейные элементы.
Здесь показано, что координаты %, ц, t, или Li, Lq, L3, L4 могут быть преобразованы в новые криволинейные координаты.
Двумерные элементы можно деформировать не только в двумерные, но и в трехмерные элементы, как показано на фиг. 8.2. При деформировании должно иметь место взаимно однозначное соответствие между декартовыми и криволинейными координатами, т. е. должны существовать соотношения типа
или /
(8.1)
Если связь между координатами известна, то, построив функции формы в локальной системе координат, после соответствующих преобразований можно определить характеристики элементов. Однако необходимо исследовать, удовлетворяют ли функции формы критериям сходимости. Можно показать, что при определенном виде преобразований координат эти критерии выполняются.
(-1, lie
-<
>-
-<
I <
>-
L, -0
Локальные координаты
t, =0
Оекартовы координаты
Фиг. 8.1. Преобразованне некоторых элементов в двумерном пространстве.
Локальные лоординаты
Некартовы координаты Фиг. 8.2. Преобразование некоторых элементов в трехмерном пространстве.
8.2. Использование функций формы для установления связи между координатами
Наиболее удобно для установления связи между координатами использовать функции формы, введенные ранее для аппроксимации неизвестной функции.
Если записать, например.
x = N,Xi + N2X2+ ... =liV]
(8.2)
z=N[zi + N2Zi+ ... =\N]
где \N\ - функции формы в локальных координатах, то сразу же получим искомое соотношение. Точки с координатами X\,y\,z и т. д. совпадают с соответствующими точками границы элемента (так как по определению функции формы равны единице в рассматриваемой точке и нулю в остальных).
Каждой, совокупности локальных координат будет соответствовать одна и, как правило, только одна совокупность глобальных декартовых координат. Однако далее мы увидим, что иногда при значительном деформировании взаимно однозначное соответствие может нарушиться.
Идея использования функций формы для введения криволинейных координат впервые упоминается Тайгом [I]. Он применил ее при деформировании прямоугольника в произвольный четырехугольник. Айронс [2, 3] обобщил эту идею на другие элементы.
Разрабатывая методы получения кривых поверхностей для иужд техники, к аналогичным соотношениям совершенно независимо пришел Кун [4, 5]. В настоящее время вопросы теории метода конечных элементов и исследования поверхностен становятся взаимосвязанными.
На фиг. 8.3 изображены деформированные элементы, полученные из элементов второго и третьего порядков снрендипова
Фиг. 8 3. Построенные ЭВМ криволинейные координатные линии для элементов второго и третьего порядков (небольшое аскривлеине).
семейства. Очевидно, что между локальными (, т)) и глобальными (х, у) координатами существует взаимно одиозиачное соответствие. Если искривление элемента в некоторых точках велико, то может появиться неоднозначность, как, например, в двух случаях, показанных на фиг. 8.4. Здесь некоторые внутренние точки отображаются за пределы криволинейного элемента. Кроме того, существуют внутренние точки, которым
