нормализованные координаты и следуя терминологии разд. 7.3, получим следующие функции формы: Элемент первого порядка (8 узлов):
iV,=-(l+lo)(l+ria)(l+So). (7.35)
Элемент второго порядка (20 узлов): угловые узлы
iV, = I (1 + 1о) (1 + ria) (1 + to) (la + % + So - 2); (7.36) типичный узел на ребре
. = 0, Г1(=±1, £i = ±l. iV,=(l-2)(l+Ti„)(l+So). , Элемент третьего порядка (32 узла): угловой узел N,==-(1+ У (1 + ria) (I + So) [9 il + vi + - 19]; (7.37) типичный узел на ребре
,= ±у, %=±1, ?,= ±1,
iV, = -- (1 - 1) (1 + 9о) (I + ria) (1 + So).
При S = I = So приведенные выражения сводятся к (7.12) - (7.14). Такие трехмерные элементы могут соединяться с плоскими или одномерными элементами соответствующего типа, как показано на фиг. 7.14.
7.10. Прямоугольные призмы. Лагранжева семейство
Функция формы для элементов показанного на фиг. 7.15 типа может быть построена в виде полинома Лагранжа. Обобщая обозначения, использованные в (7.16), запишем
iV,„ = L?()L7(Ti)L?(S). (7.38)
Элемент такого типа предложен Эргатудисом [6] и подробно изучен Аргирисом [7]. Все замечания относительно внутренних узлов и пределов применимости, сделанные в разд. 7.4, справедливы и здесь.
7.11. Тетраэдральные элементы
Не удивительно, что семейство тетраэдров, показанное на фиг. 7.16, обладает свойствами, сходными со свойствами семейства треугольников.
Во-первых, снова на каждом этапе используются полные полиномы от трех координат. Во-вторых, поскольку грани раз-
Фиг. 7.15. Правильная призма из лаграажева семейства.
Фиг. 7.16. Семейство тетраэдров. «-элемеит первого порядка; б -элемент второго порядка; з -элемент третьего порядкЗв
деляются, как и соответствующие треугольники, то в плоскости грани получается полином одинакового порядка по двум координатам и, таким образом, совместность элементов обеспечивается.
7.II.I. Пространственные L-координаты )
Введем специальные координаты (фиг. 7.17) с помощью соотношений
X = LXi + + Цхз + UXi,
у = L,!/, + Z,2(/2 -f зУз + -Уь
z = L,Zi + LiZi + z + Цг,
Разрешая эти соотношения относительно Lj, получаем выра жения типа (7.25) и (7.26), коэффициенты которых определяются соотношениями, тождественными (6.5), Координаты
(7.39)
Фнг. 7.17. Пространственные -коордннаты.
точки Я представляют собой отношения объемов тетраэдров с вершиной в этой точке к объему всего тетраэдра (см., например, фиг. 7.17):
объем Р234 .„>
- - объем 123Г " Д- (•О)
) В оригинале Volume coordinates, т. е. координаты, связанные с объемоц. - Прим. ред.
7.11.2. Функция формы
Поскольку пространственные L-координаты связаны с декартовыми линейно и принимают значения от единицы в какой-либо вершине до нуля иа противоположной грани, то функции формы элемента первого порядка (фиг. 7.16) имеют вид
iV, = L„ iV2 = L2 и т. д. (7.41)
Выражения для функций формы тетраэдров более высоких порядков получаются, как и для треугольников, с помощью соответствующего рекуррентного соотношения. Оставляя его получение в качестве упражнения, приведем ряд примеров.
Тетраэдр второго порика (фиг. 7.16, б):
для угловых узлов
Af, = (2Z.,- 1)L, и т. д., (7.42)
для узлов на ребрах
ч= 4L1L2 и т. д.
Тетраэдр третьего порядка:
для угловых узлов
A/,=-i(3L,-1)(3L,-2)L, и т. д., (7.43)
для узлов на ребрах
iV5 = z,,L2(3L,-l) и т. д., для узлов на гранях
Ais = 27,2э и т. д. Приведем формулу интегрирования
\\\LfLUtLUxdy<iz=lll;6V. (7.44)
7.12. Некоторые другие простые трехмерные элементы
Ясно, что возможности построения элементов простых форм в трехмерном случае гораздо шире, чем в двумерном. Например, ряд элементов можно построить, исходя из трехгранной призмы (фиг. 7.18). При этом опять можно использовать ла-гранжев и сиреидипов подходы. Первые элементы обоих семейств одинаковы, и функции формы для них столь очевидны, что приводить их здесь нет необходимости.
Для элемента второго порядка, изображенного на фиг. 7". 18, б, функции формы имеют вид:
для угловых узлов (L, =,= 1)
(7.45)
iV,=L,(2L,-l)(l+S)-ii(l -а
ДЛЯ узлов на сторонах треугольников
7110 = 21,2(1+?) и т. д.. (7.46)
для узлов на сторонах прямоугольников
Mt = L{1-1) и т. д.
Сами такие элементы используются мало, но иногда находят практическое применение как составляющие сложного элемента в виде параллелепипеда с двадцатью узлами.
7.13. Заключительные замечания
В настоящей главе было описано множество различных типов элементов, причем возможности построения элементов этим не исчерпываются [4, 12]. Что же можно сказать о применении сложных элементов? За исключением треугольников и тетраэдров, все остальные рассмотренные элементы применяются только в тех случаях, когда исследуемая область может быть представленав виде некоторой совокупности правильных призм. Это очень сильное ограничение, и построение функций формы для таких элементов было бы практически бесполезным, если бы не существовало возможности деформирования элементов в соответствии с границами области. Методы деформирования в настоящее время существуют, и они будут описаны в следующей главе.
ЛИТЕРАТУРА
1. Dunne Р. С, Complete Polynomial Displacement Fields for Finite Element Methods, Trans. Roy. Aero. Soc., 72, 245 (1968).
2. Irons B. M., Ergatoudis J. G., Zienkiewicz O. C, Comment on ref. I, Trans. Roy. Aero. Soc, 72, 709-711 (1968),
3. Ergatoudis J. G., Irons B. M.. Zienkiewicz 0. C, Curved, Isoparametric, Quadrilateral Elements for Finite Element Analysis, Inf. J. Solids Struct., 4, 31-42 (1968).
4. Zienkiewicz O. C. et al.. Isoparametric and Associate Elements Families for Two and Three Dimensional Analysis, Ch. 13, in: Finite Element Methods in Stress Analysis, Holand 1., Bell K. eds., Techn. Univ. of Norway, Tapir Press, Norway, Trondheim, 1969.
5. Scott F., A Quartic, Two Dimensional Isoparametric Element, Undegraduate Project, Univ. of Wales, Swansea, 1968.
6. Ergatoudis J. G., Quadrilateral Elements in Plane Analysis: Introduction to Solid Analysis, M. Sc. Thesis, Univ. ofWales, Swansea, 1966.
