прямоугольником очевидно и не нуждается в дальнейшем обсуждении.
Фиг. 7.10. Семейство треугольных элементов, а -элемзнт первого порядка; б -элемент второго порядка; в -элемент третьего порядка
i,=0
Рассмотрим ряд треугольников, изображенных на фиг. 7.10. Число узлов в каждом.элементе этого семейства таково, что
позволяет построить полный полином порядка, необходимого для обеспечения совместности между элементами. Это характерное свойство ставит семейство треугольников в привилегированное положение, так как обращение матрицы [С] всегда будет существовать [2] (см. (-7.3)]. Однако, как и ранее, пред-(хц 1 почтительнее прямой путь полу-чения функций формы, и, как Фиг. 7.11. L-координаты. будет показано, он достаточно прост.
Удобно ввести для треугольника специальную систему нормализованных координат.
7.7.1. L-координаты)
При рассмотрении прямоугольных элементов выбор декартовой системы координат с осями, параллельными сторонам прямоугольника, был естественным. Однако для треугольника такая система неудобна.
Для треугольника с узлами 1, 2, 3 (фиг. 7.11) удобно ввести систему координат Li, й и 1з, связанную с декартовой следующими линейными соотношениями:
у = + L2yi + Цуъ, (7.23)
Каждой совокупности координат Li, Li, La (которые не являются независимыми и связаны между собой третьим соотношением) соответствует единственная пара декартовых координат. Узел 1 имеет координаты i-i = 1, = L3 = О и т. д. Линейная связь между новыми и декартовыми координатами osHaiiaeT, что линии Li = const представляют собой прямые, параллельные стороне 2-3, на которой L\ = 0.
Легко видеть, что координату Ц точки Р можно определить как отношение площади заштрихованного треугольника к площади всего треугольника:
, площадь Р23 „ ,
1 - площадь 123
Разрешая соотношения (7.23), получаем ai + bix + dy
О; -I- bjX + С2У
аз -I- Ьзх + Сзу
«1 «3
= площадь 123
(7.25)
(7.26)
"Отметим, что эти выражения тождественны полученным в гл. 4 [соотношения (4.56), (4.5в)].
) В оригинале Area coordinates, т. е. координагы, связанные с площадью. - Прим. ред.
7.7.2. Функции формы
Для первого элемента семейства, изображенного на фиг. 7.10, а, функции формы - просто L-координаты. Таким образом,
iV, = L„ N2== Li, Ыз = Ьз, (7.27)
поскольку каждая из этих координат равна единице в одном узле н нулю -в остальных узлах и изменяется линейно.
Для построения функций формы остальных элементов можно получить простое рекуррентное соотношение [2]. Предполо-
!п0-и порядок
Фиг. 7.12. Рекуррентное правило построения функций формы для треугольников.
жим, что функции формы для треугольника я-го порядка известны. Построим функции формы для треугольника (я + 1)-го порядка. На фиг. 7.12 показаны два таких треугольника с рав-ноотстояшими друг от друга узлами. Для типичного узла i известная функция формы я-го порядка
(7.28)
выражается через L-координаты треугольника 123. Эта функция формы может быть выражена через L-координаты большего треугольника 12*3* после установления связи между координатами. Она будет принимать единичное значение в точке i и нулевое во всех остальных узлах нового треугольника, кроме узлов, расположенных на основании 2*3* треугольника. Легко показать, что
iV?+> = cLrV? (7.29)
будет искомой функцией формы, если с - масштабный множитель, обеспечиваюший единичное значение в точке ( при равенстве L""*" нулю на основании большего треугольника, Масштаб-
(7.30)
ный множитель задается соотношением
где / - число слоев, для которых номера узлов меньше (. Функции формы для узлов, расположенных на основании треугольника, могут быть получены простой перестановкой индексов.
Связь между этими двумя координатами ясна из фиг. 7.12, откуда видно, что
. fi+1 площадь PI3* площадь 12*3*
, п площадь Р\3
площадь 123
Следовательно,
-п площадь Р13 площадь 12*3* n+l
площадь Р\Т площадь 123
Аналогично
Ln ге-Ь 1 гп+1
и, учитывая, что ,+2 + -з=1. получаем
L?=i[(«+i)/r- 1].
(7.316)
(7.31в)
Читатель может легко проверить, что приведенные ниже функции являются функциями формы для элементов второго и третьего порядков, и получить аналогичные функции для элементов более высоких порядков,
Треугольник второго порядка (фиг. 7.10,6).
Для угловых узлов
iV, = (2L,- 1)L, и т. д., для узлов на сторонах
iV4=4L,L2 и т. д.
Треугольник третьего прядка (фиг. 7.10, а.
Для угловых узлов
jV,=y(3Z.,- 1)(3L,-2)L, и т. д..
для узлов на сторонах
(7.32)
JV4 = 11:2(31,-1) и т. д.,
(7.33)
и, наконец, для-внутреннего узла
Последняя функция обращается в нуль на границе. В гл. 10 она используется в другом смысле.
Треугольник вто.рого порядка впервые был построен Вебеке [9] и применен Аргирисом [10] для исследования плоского напряженного состояния.
При получении матриц элемента возникает проблема интегрирования по площади треугольника величин, зависящих от L-координат. Поэтому полезно иметь в виду следующее соотношение:
\ \ LXLUxdyJ,2. (7.34)
ОДНОМЕРНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
7.8. Линейные элементы
До сих пор рассматривались только двумерные и трехмерные задачи. Для одномерных задач метод конечных элементов не-применялся, поскольку для них, как правило, можно получить точное решение. Однако во многих встречающихся на практике случаях могут по- требоваться и такие элементы, поэтому желательно рассмотреть их с тех же позиций, что и остальные. При решении задач упругости одномерными элементами можно аппроксимировать армирующие волокна (в двумерных и трехмерных задачах) или тонкие листовые обшивки в осесимметричных и трехмерных телах. При исследовании задач теории поля, типа рассматриваемых в гл. 15, они могут аппроксимировать дренаж в пористой среде меньшей проводимости.
. Если для элемента такого типа выбрана функция формы, то можно определить его характеристики, причем такие величины, как деформация и т. д., должны рассматриваться только в одном направлении.
На фиг. 7.13 показан такой элемент, расположенный между двумя соседними элементами третьего порядка. Ясно, что для выполнения условий совместности необходимо, чтобы функция формы была полиномом третьего порядка относительно единственной переменной . Такими функциями формы являются полиномы Лагранжа, определяемые формулой (7.15).
Фиг. 7.13. Линейный элемент, расположенный между двумя двумерными элементами.
ТРЕХМЕРНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
7.9. Прямоугольные призмы. Сирендипово семейство [11, 12]
По аналогии с предыдущими разделами можно построить трехмерные, элементы с дополнительными узлами. Однако теперь описанные ранее простые правила обеспечения непрерывности между элементами нужно изменить. Необходимо, чтобы изменение функции формы на грани элемента единственным образом определялось узловыми значениями. Для некоторых полиномов это можно обеспечить только подбором.
Семейство элементов, показанное на фиг. 7.14, эквивалентно семейству, изображенному на фиг. 7.4. Используя трехмерные
Вузяов
>?= -1
гоцзлов
32 узла
Фиг. 7.14. Правильные призтиы с узлами на границе (сирендипово семейство) и соответствующие плоские и линейные элементы.
