что в принятой нами стандартной форме выглядит как
{ir = [kY{vr. (1.18)
Ясно, что в такой форме это соотношение соответствует (1.3). Действительно, если бы к элементу извне подводился ток, то можно было бы найти величины «усилий» в элементе.
Для составления ансамбля следует сделать предположение о непрерывности потенциала в узловых точках и учесть баланс токов. Если теперь Pi обозначает внешний входящий ток в точке i, то придем к уравнению, аналогичному (1.11):
=EELVm. (1.19)
Второе суммирование проводится здесь по всем элементам. Для всей совокупности узлов имеем
{P} = [K]{V}, (1.20)
kij = Е z-
Здесь скобки опущены, так как такие величины, как напряжение и ток, а следовательно, и коэффициенты матрицы «жесткости» являются скалярными величинами.
Если вместо сопротивлений рассмотреть ламинарное течение жидкости в трубах, то опять можно получить то же уравнение, но V будет представлять собой гидравлический напор, а / - расход жидкости.
. Для встречающихся на практике систем трубопроводов линейные законы, вообще говоря, несправедливы. Как правило, соотношение между напором и расходом имеет вид
li=c(Vi-V,)\ (1.21)
где показатель у изменяется в пределах между. 0,5 и 0,7. Но и в этом случае основные соотношения можно записать в форме (1.18) с той лишь разницей, что матрицы представляют собой уже не массивы констант, а известные функции от {V}. Эти уравнения можно объединить для всего ансамбля, но они уже будут нелинейными. В общем случае их можно решить одним из итерационных методов.
Наконец, упомянем о более общей форме электрической цепи переменного тока. Зависимости между током и напряжением для таких цепей обычно записываются в комплексной форме, причем сопротивление заменяется комплексным сопротивлением. Таким образом, опять будут получены соотношения в стандартной форме (1.18) -(1.20), причем каждая величина будет иметь прйствительную и мнимую части.
При решении такого рода задач можно использовать обычные методы, рассматривая каждое соотношение отдельно для действительных и мнимых частей. Кроме того, современные цифровые вычислительные машины позволяют использовать стандартные приемы программирования операций с комплексными числами. В одной из последующих глав, посвященной вопросам колебаний, мы коснемся некоторых задач этого класса.
1.6. Общая схема исследования
Для того чтобы читатель мог лучше разобраться в изложенном материале, рассмотргм следующий пример. На фиг. 1.4, а
а 3
Фиг. 1.4 Пример.
изображено пять взаимосвязанных элементов. Это могут быть элементы конструкции, электрической цепи или элементы любого другого линейного типа. Решение задачи состоит из нескольких этапов,
Первый этап заключается в определении свойств элемента на основании исходных данных о его геометрии, материале н нагрузке. Для каждого элемента матрица жесткости и соответствующие узловые силы находятся в виде (1.3). Каждый элемент имеет свой собственный номер и узловые точки.
Например, элемент 1 связан с другими в узлах 1, 3, 4, элемент 2 -в узлах 1, 4, 2, элемент 3 - в узлах 2, 5, элемент 4 - в узлах 3, 4, б, 7, элемент 5 - в узлах 4, 7, 8, 5. Определяя характеристики элемента в глобальных координатах, мы можем ввести каждую компоненту жесткости или силы на соответствующее место в глобальной матрице, как это показано на фнг. 1,4,6. Каждый зачерненный квадрат соответствует одному коэффициенту или подматрице типа [ki,] (если рассматривается более одной компоненты силы). Здесь же показан вклад каждого элемента, и читатель может проверить правильность расположения коэффициентов. Заметим, что использование различных типов элементов не создает дополнительных трудностей. (Для простоты все силы, включая узловые, отнесены к соответствующим элементам.)
Второй этап - это составление полной системы уравнений типа (1.12). Она получается непосредственно путем использования соотношений (1.13) н простого суммирования всех составляющих по элементам в глобальной матрице. Результат показан на фиг. 1.4, в, где места расположения ненулевых коэффициентов зачернены.
В силу симметрии матрицы достаточно определить только элементы, расположенные на главной диагонали и над ней.
Все ненулевые коэффициенты расположены внутри ленты, ширина которой может быть определена априори для каждого вида*узловых соединений. Таким образом, в оперативной памяти требуется хранить только те элементы, которые находятся в верхней части ленты. Они показаны на фиг. 1.4, е.
Третий этап состоит во включении в полную матрицу системы заданных граничных условий. Способ включения рассмотрен Б разд. 1.3.
Заключительный этап - решение полученной системы уравнений. Для решения могут быть использованы различные методы, некоторые из которых обсуждаются в гл. 20. Хотя вопрос решения уравнений и является чрезвычайно важным, он выходит, вообще говоря, за рамки этой книги.
Далее вычисляются напряжения, токн и другие выходные величины.
Любой расчет сетей осуществляется по намеченным этапам, которые должны быть хорошо поняты читателем. Хотя, безусловно, эти этапы важны для понимания метода конечных элементов, они, однако, не составляют его сути. Эти этапы хорощр
известны и обычно используются в строительной механике. Остальная часть книги посвящена йетоду приближенного представления сплошной среды эквивалентной системой конечных элементов. Если такое представление возможно, то описанная схема позволит осуществить расчет.
ЛИТЕРАТУРА
1. Tiraoshenko S. Р., Young D. Н., Theory of Structures, 2nd ed., McGraw-Hill
2. Livesley R. K., Matrix Methods in Structural Analysis, Pergamon Press, 1964
3. Przemieniecki J. . S., Theory of Matrix Structural Analysis, McGraw-Hill 1968
4. Martin H. C., Introduction to Matrix Methods pf Structural Analysis
5 jlnkins*w.M., Matrix and Digital Computer Methods in Structural Analy sis, McGraw-Hill, 1969. , ,
6. Turner M. J.. Clough R. W., Martin H С Topp L. J Stiffness and Defleo tion Analysis of Complex Structures, /. Aero. Scu, 23, 805-823 (1956),
7. Payne N. A., Irons В., частное сообщение, 1963.
ГЛАВА 2
КОНЕЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ УПР-УГОЙ СРЕДЫ. МЕТОД ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
2.1. Введение
Часто для различных инженерных целей требуется знание распределения напряжений н деформаций в упругой сплошной среде. Тогда предметом исследования являются двумерные задачи о плоском напряженном и плоском деформированном состояниях, задачи об осесимметричных телах, об изгибе пластин и оболочек и наконец, исследование трехмерных твердых тел. Во всех случаях число связей между любым конечным элементом, ограниченным воображаемыми поверхностями, н соседними элементами бесконечно. Поэтому с первого взгляда трудно понять, каким образом такие задачи можно днскретизировать, как это было сделано в предыдущей главе для простейших конструкций. Эта трудность преодолевается следующим образом.
1. Сплошная среда разделяется воображаемыми линиями или поверхностями на некоторое количество конечных элементов.
2. Предполагается, что элементы связаны между собой в узловых точках, расположенных на их границах. Так же, как в обычных задачах строительной механики, основными неизвестными будут перемещения этих узловых точек.
3. Выбирается система функция, однозначно определяющая перемещения внутри каждого конечного элемента через перемещения узловых точек.
4. Функции перемещений однозначно определяют деформации внутри элемента через узловые перемещения. Эти деформации при известных начальных: деформациях и упругих свойствах элемента позволяют определить напряжения как внутри элемента, так н на его границах,
5. Определяется система сил, сосредоточенных в узлах и уравновешивающих напряжения на границе и некоторые распределенные нагрузки, а затем записывается соотношение для жесткостей в форме (1.3).
Далее могут быть использованы обычные методы решения зэдач строительной механики, описанные ранее. Очевидно, что такой подход является приближенным. Во-первых, не всегда легко добиться, чтобы выбранные функции перемещений удовлетворяли требованиям непрерывности перемещений между смежными элементами. В результате на границах элементов могут
нарушаться условия совместности (хотя в пределах каждого элемента эти условия, очевидно, удовлетворяются при однозначности функций перемещений). Во-вторых, сосредоточивая эквивалентные усилия в узлах, мы только в среднем удовлетворяем уравнениям равновесия. Обычно возникает локальное нарушение уравнений равновесия внутри элементов и на их границах.
Выбор формы элемента н функций перемещений для конкретных задач зависит от изобретательности и мастерства инженера, и совершенно ясно, что именно этим определяется точность приближенного решения.
Изложенный здесь подход известен как метод перемещений [1, 2]. До сих лор обоснование метода было нестрогим, хотя, в сущности, этот метод эквивалентен мнннмизацни полной потенциальной энергии системы, выраженной через поле перемещений. При подходящем выборе поля перемещений- решение должно сходиться к точному. Этот процесс эквивалентен хорошо известному методу Ритца, что будет показано в одном из последующих разделов этой главы. Там же будут рассмотрены необходимые критерии сходимости.
Эквивалентность метода конечных элементов процессу минимизации была замечена недавно [2, 3]. Однако еще Курант в 1943 г. [4] и Прагер н Синг в 1947 г. [5] предложили, по существу, идентичный метод. Более широкое обоснование метода позволит распространить его почти на все задачи, для которых возможна вариационная постановка. В этой книге будут рассмотрены некоторые такие задачи, не имеющие отношения к строительной механике.
2.2. Описание свойств конечного элемента
Правила получения характеристик конечного элемента сплошной среды, описанные ранее схематично, теперь будут изложены в более подробной математической форме.
Желательно получить результаты в общем виде, справедливом для любого случая. Однако чтобы облегчить понимание общих соотношений, они будут проиллюстрированы на очень простом примере плоского напряженного состояния тонкой пластины). В этом примере использованы элементы треугольной формы, показанные на фиг. 2.1. Соотношения общего характера напечатаны полужирным шрифтом, а выражения, соответствующие частному примеру, - нормальным. Как и ранее, используется матричная форма записи.-
) В действительности будет рассмотрено обобщенное плоское напряженное состояние. - ГГрим. ред.
