высокого порядка достаточно трудно, и требуется некоторая изобретательность. Своим названием это семейство обязано принцам Сирендипским, прославившимся своими неожиданными открытиями (Гораций Уолпол, 1754). -
Для многих практических целей могут потребоваться элементы с различным числом степеней свободы в направлениях и г]. В частности, такие элементы могут использоваться, когда в каком-то определенном направлении напряжеиия изменяются по заданному закону, а в другом - произвольно (как, например, в балке). Некоторые функции формы таких элементов, а также элементов с различным числом степеней свободы на противоположных сторонах рассматриваются в работе [2], но читатель может и сам испробовать свое мастерство для их построения.
7.4. Прямоугольные элементы. Лаграижево семейство [3, 6, 7]
Простой и универсальный способ получения функции формы любого порядка состоит в перемножении соответствующих полиномов по каждой из двух координат. Рассмотрим элемент, показанный на фиг. 7.5, в котором внутренние и внешние узлы располагаются на правильной сетке. Пусть требуется определить функцию формы для точки, обведенной кружочком. Очевидно, что произведение полинома пятой степени по \, равного единице в точках второго столбца и нулю во всех остальных узлах, на полином четвертой степени по ц, равный единице при значениях координат, соответствующих верхней строке узлов, и нулю в остальных узлах, удовлетворяет условиям непрерывности между элементами.
Полиномы от одной переменной, обладающие таким свойством, называются полиномами Лагранжа. Они записываются в виде
... (S-I.)(g-Si) . (S-;-i)(S-Si-)-i) • (S -g„) (J
(Ii-li)(?i-l2)...(li-li-i)(li-li-n)..-(li-?n) •
Таким образом, если пометить узел номером столбца и номером строки, на пересечении которых он расположен, то получим
Ni, = Lni)Lf(4),
(7.16)
где ft и m - количество разбиений в каждом направлении.
На фиг. 7.6 показано несколько элементов этого бесконечного семейства. Несмотря на то что такие элементы просто получить, применение их не всегда полезно не только вследствие введения большого числа внутренних узлов, но и из-за плохой аппроксимации кривых полиномами высоких порядков. Следует
фиг. 7.5. Типичная функция формы для элемента лагранжева семейства.
о о о о
Фиг. 7.6. Три элемента лагранжева семейства, д -элемент первого порядка; б -элемент второго порядка; d -элемент третьего порядка.
отметить, что выражения для функций, формы содержат члены высоких порядков, тогда как некоторые члены более низкого порядка в них отсутствуют.
7.5. Внутренние узловые точки и неузловые переменные
На фиг. 7.4 и 7.6 элементы первого порядка одинаковы, а элементы второго порядка отличаются наличием центральной точки. Функции формы для двух типов элементов второго порядка приведены на фиг. 7.7.
Фнг. 7.7. Функции формы для элементов второго порядка снрендипова и лагранжева семейств.
На границах элементов эти функции однозначно определяются значениями в граничных узлах, и, следовательно, на границах они совпадают (хотя внутри элементов и существуют различия). Дополнительная степень свободы элемента лагранжева семейства описывается дополнительной функцией, умно- женной на некоторый параметр и равной нулю на границах. Этот параметр представляет собой значение функции ф в центральном узле.
Ясно, что можно построить элемент семейства Сирендипа с таким же числом степеней свободы, вводя дополнительную функцию формы, обращающуюся на границах в нуль, и умножая ее на некоторый параметр элемента ф*. Все функции формы для элементов Лагранжа можно использовать и для элементов Сирендипа, но при этом множители не соответствуют никаким узловым значениям функции ф. Множитель ф* можно назвать неузловым параметром элемента.
Минимизация функционала по такому параметру осуществляется так же, как и для внутреннего узла, ио физический смысл таких величин, как узловые силы и т. д., теперь уже не ясен. При желании каждому элементу можно поставить в соответствие несколько неузловых параметров.
Этот прием обычно не имеет больших преимуществ, так как введение неузловых параметров не изменяет функцию формы на границах.
До сих пор функции формы строились только в виде полиномов. Это имеет много преимуществ. В частности, в полином входят линейные члены, необходимые для выполнения требования постоянства производной. Однако при наличии дополнительных степеней свободы нет необходимости ограничиваться полиномами. С таким же успехом в предыдущем примере можно было бы использовать, например, функцию
cos--?cos-t), (7.17)
тождественно равную нулю на границах.
7.6. Исключение внутренних переменных при составлении ансамбля. Подконструкцин
При использовании внутренних узлов и неузловых параметров обычным путем выводятся соотношения (см. гл. 2 и 3):
= [кПФГ + {РГ.
(7.18)
Поскольку каждую из фyJкций {ф}" можно разделить на две части, одна из которых {фУ связана с соседними элементами,
а другая {f} характерна только для данного элемента, можно записать
и исключить {ФУ нз дальнейшего рассмотрения. Запишем (7.18) в виде
[кУ [к]
Ikf iw}
\{ФУ) \{РУ
(7.19) (7.20)
Из второй строки (7.19) находим
0y = -[kr4lkf{fy + {Fy)
и после подстановки этого выражения в первую строку (7.19) получаем
-1кГ{фУ+{ГУ, (7.21)
{гу = {РУ-[кГ1кГЧП-
Далее составляется система уравнений, содержащая лишь переменные, связанные с границами элементов, для всей области. Такой прием позволяет за счет некоторых преобразований
(7.22)
Фнг. 7.8. Сложный элемент.
на начальной стадии рассмотрения отдельного элемента существенно упростить решение системы уравнений.
Уместно дать интерпретацию такому способу исключения ноузловых переменных и провести аналогию со строительной механикой, Описанный прием, по существу, сводится к выделе-
нию части конструкции и нахождению решения для этой части при заданных произвольных перемещениях на границах. Матрица [k*Y представляет полную жесткость выделенной части, а {/*) -эквивалентную систему узловых сил.
Если разбиение на треугольные элементы, показанное на фиг. 7.8, интерпретировать как совокупность шарнирно соединенных стержней, читатель без труда узнает хорошо известный прием выделения подконструкций, часто используемый в строительной механике.
Такая подконструкция, по существу, представляет собой сложный элемент, внутренние степени свободы которого исключены.
Описанный прием позволяет строить сложные элементы, которые обеспечивают получение более точного решения.
На фиг. 7.8, а изображена разделенная на треугольные элементы часть сплошной среды. Подконструк-цией в этом случае является один сложный элемент с несколькими граничными узлами (фиг. 7.8,6).
Единственное отличие таких элементов от элементов, построенных в предыдущем разделе, состоит в том, что неизвестная функция аппроксимируется не гладкими функциями формы, а набором кусочно-гладких функций. Это, по-видимому, приводит к несколько худшей аппроксимации, но зато может позволить сократить общее время расчета всей конструкции. Выделение подконструкций удобно при решении сложных задач, особенно если рассматриваемая область составлена из повторяющихся элементов.
Результаты решения простейших задач методом конечных элементов показывают, что использование сложных элементов, составленных из треугольников (или тетраэдров), приводит к лучшим результатам, чем применение простых треугольных элементов. Например, использование четырехугольника, составленного из четырех треугольников, с исключенной центральной точкой (фиг. 7.9) выгоднее использования простых треугольников. Этот и другие виды составленных из треугольников элементов подробно рассмотрены Уилсоном [8].
Фиг. 7.9. Четырехугольник, составленный из четырех простых треугольников.
7.7. Семейство треугольных элементов
В предыдущих главах в достаточной мере продемонстрированы преимущества произвольного треугольника при аппроксимации любой формы контура. Превосходство его перед
