От функций формы, которые рассматриваются в этой главе, требуется только, чтобы они удовлетворяли этим двум критериям. Поэтому их можно использовать во всех задачах предыдущих глав и .в других задачах, в которых требуется выполнение только этих условий. Например, введенные здесь элементы и функции можно использовать во всех задачах гл. 15. Фактически они применимы всегда, когда в функционал / (см. гл. 3)] входят производные только первого порядка.
Семейства элементов отличаются друг от друга числом степеней свободы. Возникает вопрос: можно ли получить преимущества экономического или какого-либо другого характера, усложняя элемент путем увеличения числа степеней свободы? Ответить на него нелегко, хотя можно сказать, что, как правило, при заданной степени точности усложнение элемента приводит к уменьщению общего числа неизвестных. Однако экономичность алгоритма определяется как временем счета, так и степенью сложности подготовки входных данных. При уменьшении числа переменных может заметно увеличиться время, необходимое для получения.основных соотношений, хотя время решения уравнений при этом уменьшается.
В предыдущей главе уже упоминалось, что повышение эффективности алгоритма особенно важно при решении трехмерных задач.
Это важно и при решении других задач, поэтому в каждом конкретном случае должна быть найдена оптимальная форма элемента.
ДВУМЕРНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
7.2. Прямоугольные элементы.
Некоторые предварительные соображения .
Очевидно, что (особенно, если читатель привык использовать декартову систему координат) простейшим плоским элементом является прямоугольник со сторонами, параллельными осям X VL у. Рассмотрим, например, прямоугольник, изображенный на фиг. 7.1. Здесь узловые точки пронумерованы от 1 до 8. Значения неизвестной функции ф в них представляют собой параметры элемента. Как определить функции формы для элемента такого типа?
Предположим сначала, что они являются полиномами по х и у. Для того чтобы функция ф была непрерывна между элементами, она должна изменяться вдоль верхней и нижней границ по линейному закону. Для каждого из элементов, расположенных выше или ниже рассматриваемого прямоугольника, существуют две точки, в которых функции принимают заданные зна-
чения, и, так как два значения единственным образом определяют линейную функцию, условие непрерывности выполняется во всех точках этих сторон. Это обстоятельство уже использовалось при выборе линейной функции формы для треугольника.
Аналогично если вдоль вертикальных сторон принят кубический закон изменения функции формы, то условия непрерывности на них выполняются, так как четыре значения единственным образом определяют кубическое разложение. Первый критерий при этом удовлетворяется.
Фиг. 7.1. Прямоугольный элемент.
Для того чтобы производная могла принимать любые наперед заданные значения, в разложении необходимо учитывать все линейные члены.
Так как для определения функции имеется восемь точек, в разложении можно оставить только восемь членов, т. е. можно положить
Вопрос о том, какие именно члены следует сохранить в полиноме, можно решить едиистйенным образом, если оставить члены возможно более низкого порядка, хотя мы поступили по-другому). Читатель может легко убедиться, что теперь выполнены все необходимые требования.
Подставляя координаты различных узловых точек, получим систему уравнений для определения коэффициентов. Она запи-
) Сохранение в разложении члена высшего порядка, а не более низкого приводит обычно к несколько худшей аппроксимации, хотя сходимость прн это» сохраняется (1].
сывается, как и (4.4) для треугольника, в виде
/]. х,у\, у1 х,у\-
.......
.«8 ,
(7.2)
(7.3) (7.4)
(7.5) (7.6)
Таким образом, функция формы для этого элемента, определяемая равенством
= [N\{j.Y={„N,, .... ЫЩУ, (7.7)
{ФУ={С]{а).
Отсюда получаем
н формулу (7.1) можно записать в виде
= [Р](а} = [Р][СГ{Г. [Р] = [1,, у,ху,у\ху\у,Х1\.
находится из соотношения
[л/] = [Р][сг.
(7.8)
Этот метод, не требующий большой изобретательности, часто используется на практике, однако он имеет существенные-недо-статки. Иногда матрица [С] может не иметь обратной [2], и, кроме того, всегда нахождение обратной матрицы в общем виде, пригодном для элементов всех конфигураций, сопряжено с преодолением значительных алгебраических трудностей. Поэтому целесообразно выяснить, нельзя ли прямо записать функции формы Ni(x,y). Прежде чем сделать это, рассмотрим некоторые общие свойства этих функций.
Некоторые важные свойства можно выявить, анализируя соотношение (7.7). Во-первых, так как это равенство справедливо для всех {фУ, то
N,= 1
в узле i н обращается в нуль во всех остальных узлах. Кроме того, должны соблюдаться законы изменения функции вдоль границ, обусловленные требованиями непрерывности (в приве-. денном примере -линейный закон по д; и кубический по у). На фиг. 7.2 в изометрии изображены функции формы для рассматриваемых элементов, соответствующие двум типичным узлам. Ясно, что их можно записать в виде произведений соответствующих функций, линейных по х и кубических-по у. Очевидно, чтд
такое простое решение, как в этом примере, возможно не всегда, однако вообще рекомендуется записывать функции формы в явном виде.
В дальнейшем удобно использовать нормализованные координаты. Такие координаты показаны на фиг. 7.3; они выбираются так, чтобы стороны прямоугольника совпадали с координатными
"2
Фиг. 7.2. Функции формы для э.пемента, показанного иа фиг, 7.1.
£=-/
5 = /
Фиг. 7,3, Нормализованные координаты для прямоугольника.
ЛИНИЯМИ ±1. Эти координаты связаны с координатами х я у соотношениями
(7.9)
Если функции формы известны в нормализованных координатах, то переход к первоначальной системе координат и преобразование различных выражений, встречающихся, например, при определении жесткости, тривиальны и их можно осуществить с помощью соотношений (7.9).
7.3. Прямоугольные элементы. Снрендипово семейство [3, 4]
Удобнее всего выразить функции через координаты узлов на границе элемента. Рассмотрим, например, первые три элемента, изображенные на фиг. 7.4. Количество узловых точек
Фиг. 7.4. Прямоуго.чьипки с узлами иа границе (сирендипово семейство), о -элемент первого порядка; 6 -элемент второго порядка; в-элемент третьего порядка г -элемент четвертого порядка.
на сторонах этих элементов увеличивается, причем их число на каждой стороне одинаково. Для обеспечения непрерывности функция формы должна изменяться вдоль границ элементов а -е по линейному, параболическому и кубическому законам соответственно.
Чтобы построить функцию формы для первого элемента, отметим, что произведение
-j(l+l)(n+l) (7.10)
равно единице в верхнем правом углу, где = т)= 1, и нулю в остальных углах. Эта функция изменяется вдоль всех сторон линейно, и, следовательно, условие непрерывности выполняется. Введение новых переменных
1о = 1?«, По = 11Ч< (7-И)
позволяет записать все функции формы в виде одного выражения
iV« = j(l+y(l+tio). С7.12)
Так как линейная комбинация этих функций формы позволяет описать произвольный линейный закон изменений ф, второй критерий сходимости тоже удовлетворяется.
Читатель легко может убедиться, что приведенные ниже функции для элементов второго и третьего порядков удовлетворяют всем необходимым критериям.
Элемент второго порядка:
угловые узлы
= 1 (1 + 1о) (1 + Ло) Но + Т1о - 1), (7.13)
узлы на сторонах li = 0,
iVi=j(l-=)(l+4o).
iV«=4(H-lo)(i-n=5.
Элемент третьего порядка: угловые узлы
(7.14)
узлы на сторонах
1, = ±1
и Т1(=±-=,
iV,=-(i-fio)(i-f)(H-4)-
Выражения для узлов на других сторонах получаются заменой переменных.
В следующем элементе этого семейства - элементе четвертого порядка [5] -добавляется центральная узловая точка, так что следует рассматривать все члены полного полинома четвертого порядка. Благодаря наличию центрального узла добавляется функция формы (1 -12) (1 - ti), которая обращается в нуль на всех сторонах.
Приведенные функции были найдены путем подбора. Получить функции формы для элементов этого семейства более
