Иногда при аппроксимации объема отдельными тетраэдрами теряется наглядность, что может легко привести к ошибкам в нумерации узлов и т. д. Удобнее разбивать пространство на восьмиугольные «кирпичики». Это осуществляется, как показано на фиг. 6.2, рассечением трехмерного тела параллельными плоскостями и разбиением полученных сечений на четырехугольники.
Элементы такого типа можно считать состоящими из нескольких тетраэдров, построение которых осуществляется с помощью простой логической программы. Например, как показано иа фиг. 6.3, любой кирпичик можно разделить на пять тетраэдров двумя (и только двумя) различными способами. Усреднение результатов этих двух типов разбиения приводит к незначительному увеличению точности. Напряжения хорошо представлять усредненными по всему кирпичику.
фиг. 6.4, Способ разбиения восьмиугольного «кирпичика» на шесть тетраэдров.
Разбиение кирпичика на шесть тетраэдров показано на фиг. 6.4. Очевидно, что существует много других возможностей.
В последующих главах мы увидим, что такое разбиение может быть полезным для построения и более сложных типов элементов.
6.4. Примеры и заключительные замечания
Простой пример применения тетраэдральных элементов показан на фиг. 6.5 и 6.6. Приближенное решение хорошо извест-
Фиг. 6.5. Задача Буссннеска как пример исследования трехмерного напряженного состояния.
Граничяые условия: и=о=ю=0 на ДЙСС, Ц AEFs} У™"" tHeTpHH, вса дру. гне границы свободные.
ной задачи Буссинеска о действии сосредоточенной силы на упругое полупространство получено в результате исследования конечного объема кубической формы. Использование симметрии позволяет сократить число неизвестных и записать краевые условия для перемещений в указанном на фиг. 6.5 виде [И]. Так как нулевые перемещения заданы на конечном расстоянии от места приложения нагрузки, перед построением представленных на фиг. 6.6 графиков результаты корректировались по точному решению. Значения полученных напряжений и перемещений оказались довольно точными, хотя следует отметить, что раз-биенне было достаточно грубым. Однако даже для т9Ко(5
Сечение г = - 15см
г=-53.5см
39,г-/он
г=- 4см
чВьшисленное значение -Точное значение
-tr-
3.05
e,fo-
9./5
3.05
5,10
3.05
Фиг. 6.6. Задача Буссшнеска. й.-напряжения в вертикальном направлеыин о; б-вертикальные перемещения tp.
ритммо Бвгпон
SHMBS -j t= 3,38to "Н/м
= 0.15
Фнг. 6.7. Расчет сосуда высокого давления реактора с использованием простых тетраэдральных элементов. Геометрия,
элементы н некоторые результаты расчета напряжений.
простой задачи пришлось решать систему из 375 уравнений. В работах [5-11] с помощью тетраэдральных элементов рассмотрены более сложные задачи. На фиг. 6.7, взятой из работы [5], приведены результаты расчета сосуда высокого давления сложной формы. В этой задаче рассматривалось около 10 000 степеней свободы. В гл. 9 буде» показано, что использование более сложных элементов позволяет провести достаточно точный расчет аналогичной задачи с гораздо меньшим общим числом степеней свободы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Gallagher R. В., Padlog J., Bijlaard P. P., Stress .Analysis of Healed Complex Shapes, ARS J., 700-707 (1962); есть русский перевод; Галлагер, Пад-лог, Бейлард, Анализ напряжений в конструкциях сложной формы, подверженных нагреву, Ракетная техника и космонавтика, 32, № 5, стр. 52- 6! (1962).
2. Melosh R. J., Structural Analysis of Solids, Proc. Amer. Sac. Civ. Eng., S. T. 4, 205-223 (Aug. 1963).
3. Argyris J. H., Matrix Analysis of Three-Dimensional Elastic Media - Small and Large Displacements, }A[AA, 3, 45-5] (Jan. 1965); есть русский перевод: Аргиряс, Матричный анализ малых и больших перемещений в трехмерных упругих средах, Ракетная техника и космонавтика, 3, № 1, стр. 177-186 (1965).
4. Argyris J. Н., Three-Dimensional Anisotropic and fnhomogeneous Media - Matrix Analysis for Small and Large Displacements, fngeniour Archiv., 34, 33-55 (1965).
5. Rashid Y. R., Rockenhauser W., Pressure Vessel Analysis by Finite Element Techniques, Proc. Conf. on Prestressed Concrete Pressure Vessels, fnst. Civ. Eng., 1968.
6. Argyris J. H., Continua and DIscontinua, Proc. Conf. Matrix Methods in Structural Mechanics, Wright Patterson Air Force Base, Ohio, Oct. 1965.
7. Irons B. M., Engineering Applications oi Numerical Integration in Stiffness Methods, JAIAA, 4, 2035-2037 (1966); есть русский перевод: Айроис, Инженерные приложения численного интегрирования в методе жесткостей. Ракетная техника и космонавтика, 4, № 11, стр. 213-216 (1966).
8. Ergatoudis J., frons В. М., Zienkiewicz О. С., Three Dimensional Analysis of Arch Dams and Their Foundations, Proc. Symp. Arch Dams, Inst. Civ. Eng., 1968.
9. Argyris J. H„ Redshaw J. C, Three Dimensional Analysis of Two Arch Dams by a Finite Element Method, Proc. Symp. Arch Dams, fnst. Civ. Eng., 1968.
10. FJeld S., «ТЬгее Dimensional Theory of EIastics», Finite Element Methods in Stress Analysis, Holand 1., Bell K., eds., Tech. Univ. of Norway, Tapir Press, Trondheira, 1969.
U. Pedro J. 0., Thesis 1967, Laboaratorio Nacional de Engenharia Civil, Lisbon.
7.1. Введение
В предыдущих трех главах дано довольно подробное описание, как могут быть поставлены и решены задачи линейной тео-рии упругости с помощью конечных элементов простейших форм. Хотя подробные выкладки проведены только для функций формы, относящихся к треугольным и тетраэдральным элементам, очевидно, что точно гак же можно было бы рассмотреть и другие элементы. Фактически если выбран тип элемента и определены соответствующие функции формы, то все дальнейшие действия просты, порядок их ясен и они могут быть выполнены вычислителем, не знакомым с физическим содержанием задачи. Из последующего станет ясно, что вполне возможно составить программу, позволяющую решать на машине широкие классы задач только при задании определенных функций формы. Однако выбор функций представляет собой вопрос, требующий разумного решения, в принятии которого роль человека пока является определяющей. В настоящей главе излагаются правила построения некоторых семейств одномерных, двумерных и трехмерных элементов.
В задачах теории упругости, рассмотренных в гл. 4-6, перемещения представляли собой двух- или трехкомпонентный вектор, а функции формы записывались в матричном виде. Однако функции формы строились для каждой компоненты в отдельности, и матричные выражения, по существу, получались путем умножения некоторой скалярной функции на единичную матрицу [см., например, (4.7), (5.3) и (6.7)]. Поэтому в этой главе ограничимся рассмотрением только скалярных функций формы Ni (штрихи в обозначениях опущены).
Функции формы, использованные при решении задач теории упругости в перемещениях, удовлетворяли критериям сходимости глав 2 и 3:
а) непрерывность только неизвестных должна иметь место между элементами (т. е. непрерывность угла наклона не требуется);
б) функция должна допускать выбор произвольной линейной формы, обеспечивающей постоянство деформаций (постоянство первой производной функции).
ФУНКЦИИ ФОРМЫ ЭЛЕМЕНТА. НЕКОТОРЫЕ СЕМЕЙСТВА ЭТИХ ФУНКЦИЙ
