Фиг. 6.1. Тетраэдральный элемент. (Прн нумерации узлов следует придерживаться определенного порядка, начиная, например, с точки р, остальные узлы нумеруются в направлении против часовой стрелки по отношению к ней - рЦт ели mipi и т. д.)
Запишем теперь соотношение (6.2) в форме, аналогичной (4.5), с использованием определителя
и == bF i -bix-\-c,y-\- diz) щ + + (a; + Ъ,х + c,y + d,z) и, +
+ (яр + М + <рУ + dpz) Up),
6У = det
1 Xi yi Zi
1 X, у, Zi
1 Xm Ут Z„
1 Ур Zp
(6.4)
(6.5a)
Величина в данном случае представляет собой объем тетраэдра. Коэффициентами а;, С;, d( обозначены определители
О; = det
Ci = -det
Ур 1
&, = -det
d, =--det
I 2 1
1 Ур
XI У1
Xm Ут.
Xp Ур
(6.56)
Остальные коэффициенты получаются циклической перестановкой индексов р,!, /, т.
Как видно из фиг. 6.1, узлы р, /, /, m пронумерованы в соответствии с правилом правой руки, причем первые три узла пронумерованы по часовой стрелке, если смотреть со стороны последнего узла.
Перемещение элемента определяется двенадцатью компонентами перемещений его узлов:
(6.6)
и т. д.
Перемещение произвольной точки можно записать в виде
{nVNi.INi, INm,INp]{<,Y, где скалярные величины определяются соотношениями
Ni=-- и т. д.,
(6.7)
(6.8)
а / - единичная матрица размерности 3X3.
Ясно, что эти функции перемещений будут удовлетворять требованиям непрерывности на границах между элементами. Этот результат является прямым следствием линейного закона изменения перемещений.
6.2.2. Матрица деформаций
В трехмерном случае учитываются все шесть компонент деформации. Используя известные обозначения Тимошенко, запишем матрицу деформаций в виде
{е} =
8г Уху Ууг Угх
ду ду dw ~дТ
ди . dv ду + дх
ду , дт dz df dw , ди дх "f" дг
(6.9)
С помощью соотношений (6.4) -(6.7) легко убедиться, что.
{е} = [В]{бГ = [ВьВ/, Вь. Вр]{бГ.
(6.10)
[В,] =
дЫ\ 1г
dN, ~di
dNi ~дг
dNi ~дг
dN\ ду dN. ~дГ.
0"
(6.11)
Остальные подматрицы получаются простой перестановкой индексов.
Начальные деформации, такие, как обусловленные тепловым расширением, можно записать обычным образом в виде шести-компонентного вектора, имеющего, например, для изотропного
теплового расширения прЬстой вид;
{е»} =
(6.12)
где а - коэффициент линейного расширения, а б-средняя по элементу температура.
6.2.3. Матрица упругости
В случае материала с анизотропией свойств матрица [/)], связывающая шесть компонент напряжения с компонентами деформации, может содержать не более чем 21 независимую постоянную (см. подразд. 4.2.4).
В общем случае
{а} =
= [D]({e}-{e„}) + {a„}.
(6.13)
Так как такое умножение никогда не выполняется в явном виде, запишем здесь матрицу [D] только для изотропного материала, хотя это нетрудно сделать и для случая произвольной анизотропии. При использовании обычных упругих постоянных: модуля упругости Е и коэффициента Пуассона v - матрица имеет вид
mi - g<-v)
I J (l + v)(l-2v)
1 - v
Симметрично
1 -2v 2(1-v)
0 0 0
1 -2v 2(1 -v)
0 0 0
1 - 2v 2(l-v)
(6.14)
6.2.4. Матрицы жесткости, напряжений и нагрузок
Выражение для матрицы жесткости, определяемой в общем случае соотнощением (2.10), можно проинтегрировать точно, так как компоненты деформации и напряжения постоянны внутри элемента.
Подматрица с индексами rs матрицы жесткости имеет размерность 3 X 3 и определяется соотнощением
[UWrVmBAV, (6.15)
где V-объем тетраэдра.
Узловые силы, обусловленные начальной деформацией, записываются в виде, аналогичном (4.31):
{F}l = -lBflD]{eo}V, (6.16)
или для i-й компоненты
{Fi}:=-lBf[D]{e,} V.
Аналогичные выражения получаются для сил, обусловленных начальными напряжениями.
Фиг. 6.2. Способ разбиения трехмерного тела иа элементы типа «кирпичикоЕ>,
Сходство с результатами гл. 4 очевидно, так что необходимость в дальнейших выводах отпадает. Читатель не встретит никаких трудностей при составлении вычислительной программы.
Распределенные объемные силы снова могут быть заданы их составляющими X, y, z или потенциалом объемных сил. Как и раньше, можно показать, что если объемные силы постоянны, то компоненты их результирующей распределяются по узлам элемента равномерно [см, (4,34)].
Фнг. 6.3. Составной элемент с восемью узлами и два способа разбиения его на пять тетраэдров (о и 6).
