Решения тестовых задач, таких, например, как задачи о цилиндре с постоянными осевыми или радиальными напряжениями, как и следовало ожидать, совпадают с точными. Это очевидное следствие того, что функция перемещений может описывать однородные деформации.
Задача о сфере под действием внутреннего давления, для которой характерно почти линейное изменение напряжений, имеет точное решение. На фиг. 5.4, а показаны отнесенные к центрам тяжести элементов напряжения, полученные при использовании достаточно крупной сетки. Следует отметить, что полученные напряжения несколько колеблются около точного решения. (Эти колебания становятся еще более заметными при больших значениях коэффициента Пуассона, хотя точное реше-
Фнг. 5.7. Сосуд реактора высокого давления, й-использованные прН расчете четырехугольные элементы, разбиение на элементы осуществлялось ЭВМ автоматически; б-напряжения при равномерно распределенной даале-НИИ р (чертеж, выполненный ЭВМ). При решении определялись средние по четырехуголь-аикам значения. Коэффициент Пуассона v=0.I5.
ние не зависит от него.) На фиг. 5.4,6 приведено гораздо лучшее приближенное решение, полученное усреднением значений напряжений в узловых точках; с помощью усреднения, результаты которого приведены иа фиг. 5.4, в, решение можно еще
улучшить. Хорошее совпадение с точным решением даже при использовании весьма грубого разбиения свидетельствует о высокой точности метода. На фиг. 5.5 с точным решением сравниваются перемещения узловых точек.
На фиг. 5.6 показаны температурные напряжения в той же самой сфере, вычисленные для установившегося температурного поля. Сравнение с точным решением снова показывает высокую точность метода.
5.4. Практические приложения метода
В этом разделе приводятся два примера практического применения метода к исследованию осесимметрического нагружения.
Оса симметрии
Фиг. 5.8. Сосуд реактора высокого давления. Температурные напряжения в установившемся состоянии. Линии максимальных главных напряжений (фунт/дюйм), (Температура внутри 400°С, снаружи 0°С, а = 5-10 1ГС, е = 2,58-10* фунт/дюйм», v = 0,15.)
Реактор из предварительно напряженного железобетона под давлением. На фиг. 5.7 показано распределение напряжений в упрощенном варианте такого реактора. Вследствие симметрии рассматривается только одна его половина. Приведены
сваи = 600 vceau =0,25
2 Радиус сваи-LS* I Л?г?яа сваи
Масштаб длины.
Фиг. 5.9а, Свая в слоистом грунте. Нерегулярное разбиение и исходные данные.
Фиг. 5.96, Свая в слоистом грунте График вертикальных напряжений в горизонтальных сечениях Показано также решение задачи Буссииеска при Е\ =
= Ei = Eosai и проведено сравнение с точным решением. - точное решение задачи Буссииеска; А решение задачи Буссинеска методом конечных элементов; • решение вадачн о свае методом конечных элементов
напряжения, возникающие при действии внутреннего давления. Аналогичные результаты легко получить для случая предварительно напряженной арматуры, если в узловых силах учесть нагрузку от арматуры.
На фнг. 5.8 приведены линии равных максимальных главных температурных напряжений. Температурные напряжения и само температурное поле в установивщихся условиях определены с помощью метода конечных элементов, как описано в гл. 15.
Свая фундамента. На фиг. 5.9а и 5.96 показано распределение напряжений вокруг сваи фундамента, проходящей через два различных пласта грунта. Решение этой неоднородной задачи не представляет трудностей и получается с помощью стандартной программы.
5.5. Несимметричное нагружение
Метод, изложенный в настоящей главе, может быть распространен на случай несимметричного нагружения. Если изменение нагрузки по окружности описывается с помощью круговых гармоник, то можно рассматривать только одно осевое сечение, хотя число степеней свободы при этом увеличивается до трех.
Некоторые детали метода описаны в гл. 13. В работе [5] можно найти полное его изложение.
ЛИТЕРАТУРА
1. Clough R. W., Ch. 7 in: Stress Analysis, Zienkiewicz 0. C, Holister G, S„ eds,, Wiley, 1965,
2. Clough R, W„ Rashid Y., Finite Element Analysis of Axi-Symmetric Solids, Proc. ASCE, 91, EM.l, 71 (1965),
3. Timoshenko S., Goodier J, N., Theory of Elasticity, 2nd ed„ McGraw-Hill, 1951.
4. Irons B. M., Comment on Stiffness Matrices for Sector Element, Raju t, R„ Rao A. K., JAIAA, 7, 156-157 (1969); есть русский перевод: Айронс, Замечание к статье «Матрицы жесткости элементов в форме сектора». Ракетная техника и космонавтика, 8, № 3, стр. 271 (1970),
Б. Wilson Е. L., Structural Analysis of Axi-Symmetric Solids, JAIAA, 3, 2269- 2274 (1965); есть русский перевод: Вильсон, Расчет на прочность осесимметричных тел, Ракетная техника и космонавтика, 3, № 12, стр. 124-132 С1У65).
6.1. Введение
Метод конечных элементов применяется и для решения трехмерных задач. Такие задачи охватывают почти все практические случаи, хотя иногда предположение о том, что напряженное или деформированное состояние двумерно, дает вполне приемлемую и более экономичную «модель».
Простейшим элементом для двумерных задач был треугольник. В трехмерном случае его аналогом является тетраэдр - элемент с четырьмя узлами. В настоящей главе будут рассмотрены основные характеристики этого элемента. Трудность, не встречавшаяся ранее, состоит в порядке индексации узлов, т. е. в построении конечно-элементной модели тела.
Впервые тетраэдральный элемент предложили использовать Галлагер и др. [1] и Мелош [2]. Позднее Аргирис [3, 4] подробно разработал этот вопрос, а Рашид [5] показал, что с помощью больших современных ЭВМ могут бытб решены поставленные таким образом практические задачи. Очевидно, однако, что для получения заданной степени точности количество простых тетраэдральных элементов должно быть очень большим. Это приводит к огромному числу уравнений, что несколько ограничивает на практике применение метода. Кроме того, ширина ленты матрицы основной системы уравнений становится большой и в результате увеличивается необходимый объем памяти вычислительной машины.
Чтобы представить себе степень сложности такого рода задач, предположим, что точность аппроксимации двумерных задач треугольными элементами сравнима с точностью аппроксимации - трехмерных задач тетраэдрами. Если, например, для достижения заданной точности при определении напряжений в квадратной двумерной области требуется сетка размерности 20 X 20, т. е. надо рассмотреть 400 узловых точек, то число уравнений для определения двух компонент перемещений каждого узла будет около 800. (Это вполне приемлемая цифра.) Лента матрицы системы содержит 20 узлов (см. главу, посвященную методам вычислений), т. е. около 40 переменных.
Эквивалентная трехмерная область представляет собой куб с 20 X 20 X 20 = 8000 узловых точек. Так как теперь должны
быть определены три компоненты перемещений в каждой узловой точке, общее число уравнений достигает 24 000, а лента матрицы содержит 20 X 20 = 400 взаимосвязанных узлов, т. е. 1200 переменных.
Если учесть, что вычислительные трудности при использовании обычных методов решения, грубо говоря, пропорциональны количеству уравнений и квадрату ширины ленты матрицы, то нетрудно представить себе сложность решения таких задач. Не удивительно поэтому, что попытки уточнить решение трехмерных задач связаны в основном с использованием сложных элементов, обладающих большим числом степеней свободы [6-10]. В последних главах будут приведены примеры практического применения таких элементов. Эта глава содержит все необходимые сведения для постановки трехмерных задач теории упругости. Обобщение на случай более сложных элементов не вызовет затруднений.
6.2. Характеристики тетраэдрального элемента 6.2J. Функции перемеиений
На фиг. 6.1 изображен тетраэдральный элемент Црт в системе координат х,утлг.
Перемещение любой точки определяется тремя компонентами и, и и ьу в направлениях координат х, у к z. Таким образом, вектор перемещений имеет вид
f и)
(6.1)
Если для задания линейного закона изменения какой-либо величины в плоском треугольном элементе требовались три узловых значения, то в трехмерном случае необходимо задать четыре узловых значения. По аналогии с представлением (4.3) можно записать, например,
« = а, -f ttiX + щу -f 042.
(6.2)
Приравнивая эти выражения перемещениям узловых точек, получаем четыре уравнения типа
u; = а, -f a2Xi -f ayi + aZi и т. д., fi3 которых определяются коэффициенты а.\ - щ.
