Мо&но было бы использовать более точные методы, требующие вычисления подынтегрального выражения в нескольких точках треугольника. Такие методы будут подробно рассмотрены в гл. 8. Однако можно показать, что если используемый метод численного интегрирования позволяет точно вычислить объем элемента, то при неограниченном возрастании числа разбиений решение будет сходиться к точному [4]. Предложенное здесь «одноточечное» интегрирование является методом численного интегрирования именно такого типа, поскольку известно, что объем тела вращения равен произведению площади сечения на длину пути,, пройденного центром тяжести. Для получения достаточной точности при использовании простых треугольных элементов обычно требуется довольно мелкое разбиение, поэтому большинство созданных программ использует этот простейший метод интегрирования, который, возможно несколько неожиданно, иногда оказывается лучше точного. Причина этого состоит в том, что при точном интегрировании появляются члены, содержащие логарифмы. Под знак логарифма входят отношения типа /•j/гт. Когда элемент находится на большом расстоянии от оси, величина этого отношения близка к единице и логарифм вычисляется неточно.
Если возникает необходимость в точном интегрировании, то удобно поступить следующим образом.
Как и в предыдущей главе, разобьем матрицу жесткости на отдельные подматрипы размерности 2X2 [см. соотношения (4.28) -(4.30)] вида
\KA2n\\[B,Y[D]\B,]rdrdz. (5.15)
Целесообразно выделить в подматрицах [В] постоянную и переменную части. Так, например, можно написать
[в,1 = [в,] + [вп,
(5.16)
где [Sj]- матрица [В,] для центра тяжести элемента [использованная в (5.14)], а второе слагаемое - отклонение от этой величины. Легко показать, что это слагаемое можно записать в виде
Г О От
1 о L0 0.
Подставляя эти выражения в (5.15) и замечая, что \[B\]rdrdz = [Q],
[В\] =
(ai + c,z)jr - (fl; + CjZYr 2
(5.17)
получаем
[krs] = lkrs]-\-[krsl (5.18)
где первое слагаемое в точности совпадает с (5.14), а второе - поправочный член, определяемый выражением
гО 0-1
t" = wLo о о oj1
о о 1 01
L0 OJ
X \ {(а,+с,2)/г-(а,+с,2) =} {(a,+c,z)lr-{a,+CsZ)lr}rdr dz. (5.19) Если для интегралов использовать сокращенные обозначения
5drd2 = A./2, (5.20)
\~drdz = • I3, то окончательно поправочный член можно записать в виде
Интегралы /j -/3 вычисляются в явном виде через узловые координаты.
5.2.6. Внешние узловые силы
В двумерных задачах, рассмотренных в предыдущей главе, вопрос определения узловых сил, обусловленных внешней нагрузкой, был настолько ясен, что не нуждался в комментариях. В рассматриваемом случае, однако, следует иметь в виду, что узловые силы изображают совокупность сил, действующих по всей длине окружности, образующей «узел» элемента. Это обстоятельство уже учитывалось при составлении матрицы жесткости элемента, когда интегрирование проводилось по всей кольцевой области элемента.
Следовательно, если R представляет собой радиальную составляющую силы на единицу длины окружности узла радиуса г. То в расчетах должна использоваться внешняя «сила» 2nrR, Аналогично сила в осевом направлений 2nrZ характеризует совокупность осевых сил.
5.2.7. Узловые силы, обусловленные начальной деформацией Снова используя (2.9), получаем
{Щ = - 2я j [Bf [D] Ы г drdz. (5.22)
Учитывая, что деформация {во} постоянна, для каждого узла можно записать
{Fi}:. = -2:i(S [Btfrdrdz)[D\{z,}. (5.23)
Интегрирование осуществляется тем же способом, что и при определении жесткости. Ясно, что опять можно использовать приближенное выражение
(5.24) (5.25)
с поправочным членом. Таким образом, имеем
Однако можно показать, что в этом случае поправочный член равен нулю, так как
{F\}1 = 2:1 (5 [ВП г dr dz) [D] {е„} = 0.
поэтому представление
{F.r=-2n[Bf[D] {e,}r
(5.26)
является точным. Силы, обусловленные начальными напряжениями, определяются таким же образом.
5.2.8. Распределенные объемные силы
При рещении осесимметричных задач часто возникает необходимость рассматривать распределенные объемные силы, такие, как сила тяжести (если она действует вдоль оси г), центробежная сила во вращающихся механизмах, внутреннее давление в пористом материале.
Запишем такие силы в виде вектора
(5.27)
где R, Z - компоненты силы в направ.лениях гиг соответственно на единицу объема материала. В соответствии с (2.11) имеем
{F}l==-2n\[N\{}rdrdz,
или для 1-го узла
{Fi};=-2n\{}mrdrdz:
(5.28)
Если в первом приближении допустить, что объемные силы постоянны, то с помощью переноса начала координат, так же как в подразд. 4.2.7, легко получить
{Fdl = (Fi); = [Fm]; = - 2я { I} -f -. (5.29)
Хотя это выражение не совсем точно, можно показать, что величина поправочного члена уменьшается с уменьшением размеров элемента и вследствие самоуравновешенности он не приведет к заметной ошибке. Ясно, что в случае необходимости интегрирование в (5.28) можно произвести точно.
Если объемные силы заданы потенциалом, аналогичным введенному в подразд. 4.2.8, т. е.
--~дГ
Z= -
(5.30)
и если этот потенциал линеен относительно своих узловых значений, то можно использовать выражение, эквивалентное (4.40).
Во многих задачах объемные силы пропорциональны расстоянию г от оси симметрии. Например, во вращающемся теле
(5.31
где и -угловая скорость, а р - плотность материала. Очевидно, что аппроксимация (5.29) в этом случае будет очень грубой, и для получения хорошего результата необходимо точное интегрирование.
5.2.9. Вычисление напряжений
Как следует из формул (5.5) и (5.6), напряжения не постоянны внутри элемента. В этом случае удобно усреднять напряжения и относить их к центру тяжести элемента. Матрица напряжений, получающаяся из формул (5.6) и (2.3), имеет, как обычно, вид
{дГ = [0][В] {бГ - [D1 {во} + {его}.
Можно показать, что значения напряжений несколько колеблются от элемента к элементу и усреднение узловых, напряжений позволяет улучшить результат,
4 Зак, 61?
Фиг. 5.4. Напряжения в сфере при действии внутреннего давления (коэффициент Пуассона v = 0,3). а - Треугольные элементы - эначеиин в центрах тяжести; б -треугольные элементы--усреднение по узлам; в -четырехугольные элементы-усреднение по смежным треугольникам.
V Вь-тсленное значоние5,
Фиг. 5.5. Перемещения внутренней и внешней поверхностей сферы при показанном на фнг. 5,4 нагруженнн.
-422
Фиг 56 Сфера прн установившемся распределении температур (100 °С на внутренней поверхности и 0° на внешней).
