В осесимметричном случае любое радиальное перемещение вызывает деформацию в окружном направлении, и, так как напряжения в этом направлении не равны нулю, в рассмотрение должны быть введены четвертая компонента деформации и соответствующее напряжение. В этом состоит отличительная особенность осесимметричного случая.
Читателю может показаться, что математические выкладки этой главы несколько сложнее использованных в предыдущей, но, по существу, они тоже основываются на общих соображениях, изложенных в гл. 2.
5.2. Характеристики элемента
5.2.1. Функция перемещений
Используя треугольный элемент (фиг. 5.1) с узлами i, j, т, пронумерованными против часовой стрелки, определим узловое перемещение через две его компоненты
а перемещения элемента - вектором
(5.1)
(5.2)
Очевидно, что, как и в подразд. 4.2.1, для однозначного определения перемещений внутри элемента можно использовать линейный полином. Поскольку в этом случае алгебраические выкладки идентичны проделанным в гл. 4, мы не будем их повторять.
Поле перемещений снова определяется соотнощением (4.7)
{n-{l} = UN<,in /Л/;] {6Г.
и т. д.,
(5.3)
а / - единичная матрица размерности 2 X 2. В этих соотношениях
Ь(=г/-2„ = 2,„, (5.4)
f 1 - "та "if ~ "«/
остальные коэффициенты получаются циклической перестановкой индексов. Величина Д, как и раньше, представляет собой площадь треугольника.
5.2.2. Деформация (полная)
Как уже упоминалось, в осесимметричном случае необходимо рассматривать четыре компоненты деформации. Это фактически все компоненты, которые могут быть отличны от нуля при осесимметричной деформации. Они и соответствующие им напряжения схематически изображены на фиг. 5.2.
Ггг{т„)
Фиг. 5.2. Деформации и напряжения, определяемые при расчете осеснмметрич-
ных тел.
Все рассматриваемые компоненты вектора деформации можно выразить через перемещения с помощью приведенного ниже соотношения. Использованные выражения очевидны, и они здесь выводиться не будут. Читатель, интересующийся подробным выводом, может обратиться к любому учебнику по теории упругости [3]. Таким образом, имеем
89 f
dv dz ди дг
(5.5)
Используя функции перемещений, определенные соотношениями (5.3) и (5.4), получаем
{е} = [В] {бГ = [Ви В,. В J {6Г.
О Ь,
а, . . . с,г
дг О О
- + + -
и т. д. (5.6)
Поскольку матрица В содержит теперь координаты г и 2, деформации в элементе не будут постоянными, как в случаях плоского напряженного и плоского деформированного состояний. Это различие обусловлено членом ее. Если заданные узловые пере.мещения таковы, что и пропорционально г, то все деформации будут постоянны. Очевидно, что, поскольку только такие перемещения соответствуют постоянным деформациям, используемая функция перемещений удовлетворяет основному критерию гл. 2.
В общем случае должны быть рассмотрены четыре независимые компоненты вектора начальной деформации
{ео} =
вго УггО
(5.7)
Хотя, вообще говоря, начальная деформация может изменяться внутри элемента, удобно считать ее постоянной.
Возникновение начальной деформации чаще всего обусловлено тепловым расширением. Для изотропного материала в этом случае будем иметь
{8о} =
(5.8)
где 9 -средняя по элементу температура, а а - коэффициент линейного расширения.
Общий случай анизотропии материала нет необходимости рассматривать, так как при этом осевая симметрия невозможна. Некоторый практический интерес представляет «слоистый» материал, аналогичный рассмотренному в гл. 4, плоскость изотропии которого перпендикулярна оси симметрии (фиг. 5.3). У та-
Фиг. 5.3. Слоистый материал в случае осевой симметрии.
ких материалов возможны два различных коэффициента линейного расширения: kz в осевом направлении и кг в плоскости, перпендикулярной этому направлению.
В этом случае начальная температурная деформация имеет вид
. О .
{ео} =
(5.9)
Такая анизотропия часто встречается при исследовании деталей машин из слоистых или стекловолокнистых материалов.
5.2.4. Матрица упругости
Теперь надо получить матрицу упругости [D], связывающую деформации {е} и напряжения {о} стандартным соотношением
Or v. Т,,
:[D]({8}-{eo}).
Рассмотрим сначала слоистый анизотропный материал, так как матрица упругости для изотропного материала может быть получена как частный случай.
Слоистый анизотропный материал (фиг. 5.3). Полагая, что ось 2 направлена по нормали к плоскостям слоев, перепишем соотношения (4.22) (пренебрегая для удобства, как и ранее, начальными деформациями) в виде
8, = -
V =
1 г
1%
Ег •
(5.10)
Вводя опять обозначения Е,
- = п и
и разрешая систему относительно напряжений, находим
D =-el V
(l + v,)(l-v.-2/.v)
I-v2 nv,(l+v,) rtV2(l-fv,) 0
n(l-nv2) 0
Симметрично f„(l.. V)(l v,-2nv2)
(S.fl)
Изотропный материал. Для изотропного материала матрицу [D] получаем, полагая
= = £ или я = 1
V= V2=V,
а также используя известную зависимость между упругими постоянными
G2 G 1
£j ~ £ "~2(l--v)
Подстановка приведенных выше выражений в (5.11) дает
E{\-v)
(H-v)(l-2v)
1-v 1-v
Симметрично
1 -2v 2(l-v)
(5.12)
5.2.5. Матрица жесткости
Матрицу жесткости элемента Цт можно составить, используя соотношение (2.10). Так как объемный интеграл берется по всей кольцевой области, получим
(5.13)
[кУ = 2л\[ВГ10] [B]rdrdz,
где матрица [В] определяется равенством (5.6), а матрица [D] - соотношениями (5.11) или (5.12) в зависимости от свойств материала.
Интегрирование теперь не удается выполнить так же просто, как в случае плоского напряженного состояния, поскольку матрица [В] зависит от координат. Существуют две возможности: первая - интегрировать численно и вторая - перемножить входящие в интеграл матрицы и затем почленно проинтегрировать.
Простейший приближенный метод состоит в определении матрицы [Б] для центра тяжести сечения элемента с координатами
