Фиг, 4.12. Расчет напряжений в контрфорсной п-тетине. Температурные напряжения при охлаждении заштрихованной области до -9,44 С
(£ = 2.02-10» Н/м2, а = 1,08-10-6 1/°С).
Уровень воды
Локальный I. юруят-м -ЖГэтд прваваритв/1ьиого i -""*5Г напряжемш
4. \}ipijHm
Р 10 » » «fymi/
о 20 40 60 10 108 уг«
фиг, 4,13, Большая водоподъемная плотина с быками и предварите.тьно напряженной арматурой.
довольно простом распределении температур. Результаты расчета приведены на фиг. 4.12.
Гравитационные плотины. Расчет опорной плотины является характерным примером применения метода конечных элементов. Несложно рассмотреть и другой тип плотины - гравитационную плотину с быками или без них. На фиг. 4.13 приведены результаты расчета большой плотины с быками и подъемными затворами.
Ясно, что в этом случае аппроксимация напряженно-деформированного состояния в окрестности резкого изменения геометрии сечения, т. е. в области, где быки соединяются с телом плотины, двумерным состоянием сомнительна. Однако она приводит лишь к локальным ошибкам.
Здесь иажно отметить, что для одновременного изучения концентрации напряжений в местах крепления тросов и распределения напряжений в плотине и в основании используются элементы разных размеров. Линейные размеры элементов относятся как 30: 1 (самые большие элементы, использовавшиеся для исследования основания, на рисунке не показаны).
Подземная электростанция. Этот пример, иллюстрированный на фиг. 4.14 и 4.15, демонстрирует возможности метода. Главные напряжения вычерчиваются ЭВМ автоматически. Расчеты проводились при различных начальных напряжениях {оо), что связано с неточностью знаний геологических условий. Возможность быстрого решения задачи и представление результатов в виде графиков позволили оценить границы изменения напряжений и принять техническое решение.
4.5. Особенности исследования плоского деформированного состояния в несжимаемом материале
Следует отметить, что соотношение (4.20), определяющее матрицу упругости [D] для изотропного материала, теряет смысл, если коэффициент Пуассона становится равным 0,5, так как при этом знаменатель обращается в бесконечность. Эту трудность можно просто обойти, если в расчете использовать значения коэффициента Пуассона, близкие к 0,5, но не равные этой величине. Однако опыт показывает, что такой прием ухудшает решение. Геррманн [10] предложил другой метод, связанный с использованием нового вариационного принципа. Подробно этот метод изложен в упомянутой работе.
ЛИТЕРАТУРА
1. Turner М. J., Clough R. W., Martin Н. С, Торр L. J., Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structures, /. Aero. Set., 23, 805-823 (1956).
2. Clough R. W., The Finite Element in Plane Strese Analysis, Proc. 2nd ASCE Conf. on Electronic Computation, Pittsburgh, Pa., Sept. I960.
3. Timoshenko S., Goodier J. N., Theory of Elasticity, 2nd ed., McGraw-Hill, 1951.
4. Лехницкий С. Г., Теория упругости анизотропного тела, ГИТТЛ, М.-Л., 1950..
5. Hearmon R. F. S., An Introduclion to Applied Anisotropic Elasticity, Oxford Univ. Press, 1961.
6. Zienkiewicz 0. C, Cheung Y. K.. Slagg K. G., Stresses in Anisotropic Media with Particular Reference to Problems of Rock Mechanics, J. Strain Analysis, f, 172-182 (1966).
7. Савин Г. Н., Коицеитрация напряжений около отверстий, ГИТТЛ, М. - Л. 1951.
8. Zienkiewicz О. С, Cheung Y. К, Bultress Dams on Complex Rock Foun dations, Water Power, 16, 193 (1964).
9. Zienkiewicz 0. C, Cheung Y. K., Stresses in Buttress Dams, Water Power. 17, 69 (1965).
10. Herrmann L. R., Elasticity Equations for Incompressible, or Nearly Incom pressible Materials by a Varialional Theorem, JAIAA, 3, 1896 (1965); есть русский перевод: Геррманн, Вариационный принцип для уравнений упругости несжимаемых и почти несжимаемых материалов. Ракетная техника и космонавтика, 3, № 10, стр. 139-144 (1965).
ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
5.1. Введение
Исследование распределения напряжений в телах вращения (осесимметричных телах) при осесимметричном нагружении представляет большой практический интерес. Поскольку эти задачи тоже двумерные [I, 2], с математической точки зрения они аналогичны задачам о плоском напряженном и плоском деформированном состояниях. Вследствие симметрии деформированное, а следовательно, н напряженное состояния в любом сеченни по оси симметрии тела полностью определяются двумя компонентами перемещений. Такое сечение показано на фиг. 5.1. Если г и 2 -радиальная и осевая, координаты точки, а « и о - соответствующие перемещения, легко заметить, что перемещения внутри показанного на рисунке треугольного элемента ijm могут быть описаны с помощью тех же самых функций перемещения, которые использовались в гл. 4.
Соответствующий рассматриваемому элементу объем, по которому должны браться все интегралы, представляет собой тело вращения, показанное на фиг. 5.1.
Как и прежде, треугольный элемент рассматривается главным образом с иллюстративной целью, хотя все основные выводы имеют общий характер.
Для плоской задачи было показано, что в выражение для внутренней работы входят только три компоненты деформации в координатной плоскости, а компоненты напряжения, нормальные к координатной плоскости, не дают вклада в энергию, ибо равны нулю либо напряжения, либо соответствующие деформации.
