Силы, обусловленные начальной деформацией, распределяются по узлам элемента неравномерно и должны быть вычислены точно. Аналогичные выражения получаются для сил, обусловленных начальными напряжениями.
4.2.7. Распределенные объемные силы
В общем случае плоского напряженного или деформированного состояния на каждый элемент единичной площади в плоскости X, у действуют силы
в направлениях соответствующих осей.
В соответствии с (2.11) вклад этих сил в узловые силы определяется выражением
{Fn-\[Mf[y]dxdy, или, на основании (4.7),
{!b = -{y}S(rfrfy и т. д., (4.33)
при условии, что объемные силы X и У постоянны. Так как Л не является постоянной, должно быть выполнено интегрирование. Некоторые общие формулы интегрирования для треугольника приведены в приложении HI.
Если за начало координат выбран центр тяжести элемента, вычисления упрощаются. В этом случае
{xd.xdy-ydxdy = 0,
чаем
не на
И, используя (4.8), получаем
{Fi}p-[y}\aidx dyl2S = -{y} «/2. ИЛИ, учитывая примечание на стр. 62, имеем
(4.34)
Ясно, что для всякого элемента
Л/3.
(4.35)
Это означает, что все объемные силы, действующие в направлениях хну, распределены между тремя узлами поровну. Этот факт не противоречит физическому смыслу и часто неявно использовался.
4.2.8. Потенциал объемных сил
Во многих случаях объемные силы определяются через потенциал объемных сил f в виде
дх
]Г = -
дФ Зу
(4.36)
и чаще не значения X и У, а именно этот потенциал известен по-всюдТв области и считается заданным в узловых точках Если {} содержит три значения потенциала в узлах элемента, т. е. имеет вид столбца
fi 1
(4.37)
то в случае постоянных К и У потенциал должен изменяться внутри элемента по линейному закону. Фуния ФоР него очевидно, может быть построена, как и ранее [см. (4.4)-
« "« [NlN„N.mY- (4-38)
Следовательно,
х = -y = -
[bj, Ь,, Ь„] {ФУ 2Д
дФ [Oj, с,. g«] W
ду ~ 2Д
(4.39)
Вектор узловых сил, обусловленных потенциалом объемных сил, будет описываться соотношением
{П? = : г (4.40)
" bi
заменяющим (4.35).
4.2.9. Вычисление напряжений
Полученные формулы дают возможность составить полную матрицу жесткости конструкции и получить решение для перемещений.
Матрица напряжений, определяемая в общем виде равенством (2.15), получается для каждого элемента после соответствующих подстановок.
По предположению напряжения постоянны внутри элемента. Обычно их приводят к центру тяжести; это будет сделано и в большинстве примеров этой главы. Иногда значения напряжений в узлах получают усреднением напряжений в смежных элемента. Кроме того, имея некоторый опыт, можно использовать и метод усреднения «с весом», но он не намного лучше.
Обычно с помощью ЭВМ определяются главные напряжения и их направления в каждом элементе.
4.3. Примеры. Оценка тонкости
Не вызывает сомнения, что решение плоских задач теории упругости методом, изложенным в разд. 4.2, при неограниченном уменьшении размеров элементов стремится к точному. Однако при любом конечном числе разбиений это решение будет приближенным, как, скажем, решение в виде ряда Фурье с ограниченным числом членов.
Как уже объяснялось в гл. 2, приближенное значение полной энергии деформации всегда будет ниже истинного значения, соответствующего точному решению. Практически это означает, что полученные перемещения, а следовательно, и напряжения будут в целом заниженными. Однако следует подчеркнуть, что все это не всегда справедливо для каждой отдельной точки сплошной среды. Поэтому практическое значение такой оценки невелико.
при разном числе разбиении.
TovHoe решение л =0,15
Ф.. 4.4. Результат. Р- „Г Tsaaetn н
грубом разбиении -\;lll7".3,..L порядке.)
При наличии опыта инженер может заранее оценить порядок точности результатов для данной конкретной задачи при заданном числе разбиений. Некоторый такой опыт, вероятно, можно приобрести, изучая примеры, приведенные в этой книге.
Сначала рассмотрим некоторые простые задачи, для которых известны точные решения.
Одиородиое поле иапряженин. В этом случае решение, полученное методом конечных элементов, будет полностью совпадать с точным решением независимо от числа разбиений.
Фиг. 4.5. Круглое отверстие в области однородного напряженного
состояния.
Очевидно, что этот результат следует из постановки задачи, но тем не менее он полезен для первоначальной проверки вычислительных программ.
Линейно изменяющееся поле напряжений. В этом случае предположение о постоянстве напряжений внутри элементов означает, что решение всегда будет приближенным. На фиг. 4.4 в качестве примера представлены результаты расчета при довольно грубом разбиении балки, работающей в условиях чистого изгиба. Видно, что осевые напряжения а, полученные методом конечных элементов, берут в «вилку» точное решение. Если постоянные по элементам значения напряжений отнести к центрам тяжести элементов и нанести их на график, то прямая, наименее отклоняющаяся от этих точек, фактически является точным решением.
Компонента напряжения в горизонтальном направлении и напряжение сдвига отличаются от точных (нулевых) значений-они колеблются около них с небольшой амплитудой.
Можно убедиться, что если напряжения во внутренних узлах вычисляются как средние по примыкающим к ним элементам, то они очень мало отличаются от точных. Однако на внешних поверхностях усреднение дает несколько худшие результаты. Усреднение напряжений в узловых точках часто применяется для уточнения приближенного решения (фиг. 4.4).
Для уточнения решения в узловых точках, расположенных вблизи поверхности конструкции, можно использовать усреднение с весом. Нам, однако, кажется, что для получения большей
Фиг 4 6 Сравнение теоретических результатов с результатами решения методом конечных элементов задачи, иллюстрированной на фиг..Ь. о-изотропный материал; 6 -ортотропный материал. Я=£, - " -
=0, е,, =0,42.
- точное решение для бесконечноВ пластнньц 0 решение, полученное методом конечных элементив.
точности целесообразнее производить разбиение на более мелкие элементы.
Коицеитрация напряжений. На фиг. 4.5. и 4.6. иллюстрируется тестовая задача о концентрации напряжений. Исследуется распределение напряжений вокруг круглого отверстия в изотропном и слоисто-анизотропном материалах в условиях однородного напряженного состояния вдали от отверстия [6]. Чтобы можно было лучше изучить область, в которой ожидаются большие градиенты напряжений, используется неравномерное разбиение. Сравнение некоторых результатов расчета с точными решениями [3, 7] (фиг. 4.6) позволяет сделать вывод о высокой точности метода.
