вызовут его удлинение (и„ -Uj)cosa + (t)„--t;<)sma. Величина удлинения, умноженная иа EAjL, даст осевую силу, компоненты которой можно найти, подставив величину этой силы вместо -ЕаТА в предыдущее выражение. Стандартная форма записи имеет вид
Ui Vi
Sin a COS a
sinacosa sina
- cos a - sin a cos a
- cos a - sin a cos a -sinacosa -sina
- sin a cos о
cos a sin a cos a
- sin a
sinacosa sin a
Итак, для рассматриваемого простейшего случая определены все слагаемые основного уравнения (1.3). Нетрудно записать в форме (1,4) и напряжения в любом поперечном сечеиии элемента. Если, например, ограничиться рассмотрением среднего сечения балки С, то напряжения, возникающие в результате осевого растяжения и изгиба элемента, можно записать в виде
02 J с . -
- COS а - sma cos а - sin а
cos а sin а COS а sin а.
где d-половина высоты сечения, а / - момент инерции. Легко заметить, что в это выражение входят все слагаемые формулы (1.4).
Для более сложных элементов требуются более тонкие приемы расчета, но все равно результаты имеют такую же форму. Инженер легко заметит, что зависимость между наклоном и прогибом, используемая при расчетах жестких рам, является частным случаем рассмотренных общих соотношений.
Следует отметить, что полная матрица жесткости для деформируемого элемента получилась симметричной (то же можно
сказать и о подматрицах). Это никоим образом не случайно, а вытекает из закона сохранения энергии и его следствия - теоремы взаимности Максвелла - Бетти.
Во всех рассуждениях предполагалось, что свойства элемента описываются простыми линейными соотношениями. В принципе можно было бы получить аналогичные соотношения и для нелинейных материалов, однако обсуждение задач такого рода выходит за рамки этой монографии.
1.3. Составление ансамбля и расчет конструкции
Рассмотрим снова гипотетическую конструкцию, изображенную на фиг. 1.1. Чтобы получить решение, нужно удовлетворить
а) условиям совместности и
б) уравнениям равновесия.
Любая система {6} узловых перемещений
{б} =
(1.7)
записанная для конструкции, в которую входят все элементы, автоматически удовлетворяет первому условию.
Поскольку условия равновесия внутри каждого элемента считаются выполненными, необходимо удовлетворить условиям равновесия в узловых точках. Полученные уравнения будут содержать в качестве неизвестных перемещения. Как только они будут найдены, задачу расчета конструкции можно считать решенной. Внутренние усилия (напряжения) в элементе могут быть легко определены с помощью зависимостей, априори установленных для каждого элемента в виде (1.4).
Предположим, что, помимо распределенной нагрузки, приложенной к каждому отдельному элементу, конструкция нагружена внешними силами
{R} =
(1.8)
приложенными в узловых точках. Каждая из сил /?( должна иметь столько же компонент, сколько и рассматриваемые реакции элемента. В обсуждаемом примере
(1.9)
так как соединения предполагались шарнирными. Однако в общем случае будет рассматриваться произвольное число компонент.
Если теперь нужно удовлетворить условиям равновесия в произвольной узловой точке г, то каждая из компонент Rt должна быть приравнена сумме компонент сил от всех элементов, соединяющихся в этом узле. Таким образом, рассматривая все компоненты силы, получаем
{Ri} = I,{Fir = {Fiy+{F,r+ .... (1.10)
где Fi - сила, приложенная к узлу со стороны элемента 1, Р] - сила, приложенная к узлу со стороны элемента 2, и т. д. Очевидно, что отличные от нуля силы будут давать только элементы, содержащие точку i, однако суммирование проводится по всем элементам.
Подставляя (1.3), получаем выражения для сил в узловой точке 1
{Ri} = (Е \киГ) {6,} -Ь (Е \ki,r) {ь,} + ...
•• +E{};+E{fj;. (1.11)
и здесь вклад в сумму дают только элементы, соединяющиеся в узле i. Объединяя все такие уравнения, имеем
(1.12)
где подматрицы
[K]{6}=.{/?}-{f}-{fK,
[*Г,.1=Е1*<тГ,
{/Лр=Е№}?. „ {Л},=Е{Л}:
(1.13)
получены суммированием по всем элементам. Это простое правило составления ансамбля очень удобно, поскольку сразу после определения коэффициента для отдельного элемента он может быть немедленно заслан в соответствующую ячейку памяти вычислительной машины. Составление ансамбля является основной операцией метода конечных элементов, и поэтому она должна быть хорошо усвоена читателем.
Если используются разные типы элементов, то при составлении ансамбля следует помнить, что можно складывать матрицы только одинаковой размерности. Следовательно, отдельные подматрицы, которые включаются в систему, должны содержать одинаковое число компонент сил и перемещений. Так, например, если к какому-либо элементу конструкции в узловой точке, передающей моменты, присоединен шарнирно другой элемент, то
матрицу жесткости последнего необходимо дополнить, вводя соответствующие (нулевые) значения на места углов поворота или моментов.
Систему уравнений (1.12) можно решить, как только будут подставлены перемещения опор. В примере (фиг. 1.1), где обе компоненты перемещений узлов 1 и 6 равны нулю, это будет означать подстановку
что эквивалентно уменьшению числа уравнений равновесия (в рассматриваемом случае их двенадцать) и вычеркиванию первой и последней строки и столбца. Таким образом, общее число неизвестных компонент перемещения уменьшается до восьми. Тем не менее всегда удобно составлять уравнения в соответствии с соотношением (1.12), учитывая вбе узловые точки.
Очевидно, что эту систему невозможно решить без задания некоторого числа перемещений, исключающих смещение конструкции как жесткого целого, так как по заданным силам нельзя однозначно определить перемещения. Этот физически очевидный факт математически выражается тем, что матрица \К\ является сингулярной, т. е. не имеет обратной. Задание соответствующих перемещений по окончании формирования ансамбля обеспечивает возможность получения единственного решения путем вычеркивания соответствующих строк и столбцов различных матриц.
Несмотря на то что подстановка известных перемещений, позволяющая уменьшить общее число решаемых уравнений, является относительно простой операцией при ручных вычислениях и может быть запрограммирована для вычислительных машин, часто оказывается удобным непосредственно решать первоначальную систему уравнений с тем, чтобы избежать реорганизации машинной памяти. Это осуществляется очень просто с помощью искусственного приема, предложенного Пейном и Айронсом [7].
При использовании такого приема вместо исключения уравнения равновесия, в котором некоторое перемещение считается заданным (а соответствующая компонента внешней силы остается неизвестной), и последующей подстановки этого перемещения в остальные уравнения диагональный элемент матрицы [К\ в рассматриваемой точке умножается на очень большое число. Одновременно член, стоящий в правой части уравнения, заменяется тем же самым числом, умноженным на заданное значение перемещения. В результате уравнение заменяется другим, но величина перемещения в рассматриваемом случае равна определенному значению. При этом общее число уравнений в
системе остается неизменным. Подробно этот вопрос обсуждается в гл. 20.
После определения неизвестных перемещений легко вычислить напряжения и внутренние силы, применяя соотношение (1.4) поочередно к каждому элементу.
1.4. Преобразование координат
Часто бывает удобно определять характеристики отдельного элемента в системе координат, отличной от той, в которой задаются внешние силы и перемещения конструкции в целом. Чтобы облегчить вычисления, для каждого элемента можно использовать свою систему координат. Компоненты сил и перемещений, входящие в соотношение (1.3), нетрудно записать в любой системе координат. Очевидно, что это необходимо сделать до составления ансамбля.
Систему локальных координат, в которой определены характеристики элемента, будем помечать штрихом, чтобы отличить ее от системы координат, принятой для описания конструкции в целом. Компоненты перемещений преобразуются с помощью матрицы направляющих косинусов [L]:
{6Г = 11]{6Г. (1.14)
Так как в любой системе координат соответствующие компоненты сил должны совершать одинаковую работу), то
{{Р}Г{ьг=({РГ)ЧьГ,
и, используя формулу (1.14), получаем
({Р}Г{6Г==({Р}Г[Ц{ЬГ
{pr = [LY{pr. (1.15)
Преобразования, определяемые соотношениями (1.14) и (1.15), называются контрграднентными.
Чтобы преобразовать жесткости, определенные в локальной системе координат, к глобальным координатам, отметим, что
{ру = [k]" {б}"
и в силу (1.14) и (1.15)
т. е.
\kr = [LY[kr[L].
(1.16)
(1.17)
)() означает транспонирование матрицы ( ).
Читатель может убедиться в полезности вышеуказанных преобразований, применив их для рассмотренного шарнирно опертого стержня. В более сложных задачах для некоторых типов внешних связей, описываемых соотношениями вида (1.14),i числа степеней свободы {6} и {S} могут быть различными. Однако и в этих случаях соотношения (1.15) и (1.16) остаются справедливыми.
1.5. Электрические и гидравлические сети
Аналогичные принципы получения характеристик элемента и ансамбля могут быть использованы во многих различных областях, не связанных с расчетом конструкций. Для примера рас-
Если типичный элемент - сопротивление (/ - рассмотреть изолированно от системы, то с помощью закона Ома можно записать соотношение между входящими токами и напряжениями на его концах:
