Инженерные конструкции можно рассматривать как некоторую совокупность конструктивных элементов, соединенных в конечном числе узловых точек. Если известны соотношении между силами и деремещениями для каждого отдельного элемента, то, используя хорошо известные приемы строительной механики [I-5], можно описать свойства и исследовать поведение конструкции в целом.
В сплошной среде число точек связи бесконечно, и именно это составляет основную трудность получения численных решений в теории упругости. Понятие конечных элементов, введенное впервые Тернером и др. [6], представляет собой попытку преодолеть эту трудность путем разбиения сплошного тела на Отдельные элементы, взаимодействующие между собой только в узловых точках, в которых вводятся фиктивные силы, эквивалентные поверхностным напряжениям, распределеннйм по границам элементов. Если такая идеализация допустима, то задача; сводится к обычной задаче строительной механики, которая может быть решена численно.
На первый взгляд, этот иитуитив-но понятный и доступный инженерный метод выглядит не совсем убедительно - в частности, остается открытым вопрос о соотношениях между силами и перемещениями отдельных элементов. Способы получения этих соотношений будут подробно рассмотрены в гл. 2 после изложения основ метода. На данном же этапе целесообразно кратко описать общий метод расчета конструкций, который будет широко использоваться в книге после рассмотрения свойств конечных элементов.
В дальнейшем будет показано, что метод конечных элементов применим и ко многим задачам иного типа, но и тогда основные свойства элемента выражаются в форме, принятой в строительной механике. Общие методы составления ансамбля и решения задач аналогичны приемам строительной механики.
В действительности «структурная» форма уравнений присуща не только строительной механике. Уравнения в такой
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ: МЕТОД ЖЕСТКОСТЕИ РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИИ И ИССЛЕДОВАНИЕ СЕТЕЙ
форме используются при расчетах электрических цепей или потоков жидкости в трубопроводах. Подобные задачи часто называются задачами исследования сетей).
1.2. Элемент конструкции
На фиг. 1.1 изображена двумерная конструкция, состоящая из отдельных частей, соединенных между собой в точках, пронумерованных от 1 до п. Соединения в узлах предполагаются шарнирными.
Сначала допустим, что в результате расчета или па основе экспериментальных данных достоверно известны характери-
Типичный элетент Фнг. 1.1. Типичная конструкция, составленная из отде.тьных элементов.
стики каждого элемента. Силы, возникающие в узлах 1-3 элемента а, однозначно определяются перемещениями этих узлов, действующей на элемент распределенной нагрузкой р и его начальной деформацией. Начальная деформация может быть обусловлена температурным воздействием, усадкой или несо-•вершенством сборки. Силы и соответствующие им перемещения определяются компонентами (/, V и и, о в какой-либо системе координат.
). Вместо понятия сети в литературе все чаще используется более общее понятие графа. - Прим. ред.
Записывая силы, действующие во всех (в трех для рассматриваемого случая) узлах элемента а, в виде матрицы), получим
{рг=-
(1.1)
а для соответствующих перемещений узлов
(1.2)
Если предположить, что элемент упругий, то основные соотношения всегда могут быть записаны в виде
{fr=[&r{6r-b{f};+{f}:, (1.3)
где {Р}р~ силы, уравновешивающие действующие на элемент распределенные нагрузки, {F},- силы в узлах, обусловленные начальными деформациями, которые м.огут возникать, например, при изменении температуры без перемещения узлов. Первый член в этой формуле представляет собой силы, вызванные перемещениями узлов.
Предварительный расчет или эксперимент позволяет однозначно определить напряжения в любой заданной точке через узловые перемещения. Записывая эти напряжения в виде матрицы {а}", получаем соотношение в форме
{аГ = [5Г{бГ-Ь{а};-Ь{а}:.
(1.4)
где последние два члена - напряжения, обусловленные распределенными нагрузками, и начальные напряжения при отсутствии узловых перемещений.
) Для понимания материала, изложенного в книге, требуется знание основ матричной алгебры. Это необходимо для краткости и удобства изложения. Для читателей, не знакомых с матричной алгеброй, необходимые сведения приведены в небольшом по объему приложении 1,
Матрица {kY называется матрицей жесткости элемента, а [S]" - матрицей напряжения элемента.
Соотношения (13) и (1.4) проиллюстрированы на примере элемента стремя узлами, в каждом из которых действуют только две компоненты силы. Ясно, что все рассуждения и определения справедливы и в более общем случае. Элемент b в рассматриваемом случае связан с соседними только в двух точках, хотя другие элементы могут иметь таких точек и больше. С другой стороны, - если соединения элементов считать жесткими, то требуется рассматривать по три компоненты обобщенной силы и обобщенного перемещения, причем за третьи компоненты следует принять соответственно момент вращения и угол поворота. Для жесткого соединения в трехмерной конструкции число компонент в узле равняется шести. Таким образом, в общем случае
(1.5)
где Р{ и б,- имеют одинаковое число компонент или степеней свободы.
Ясно, что матрицы жесткости элемента всегда будут квадратными вида
и {6} =
(1.6)
где kii и t. д. - также квадратные подматрицы размерности / X а I - число компонент силы в рассматриваемых узлах.
В качестве примера рассмотрим двумерную задачу о шар-нирно опертой балке постоянного сечения А с модулем упругости Е (фиг, 1.2). Балка нагружена равномерно распределенной поперечной нагрузкой р н подвержена однородной температурной деформации
8о = аГ.
Если концы балки имеют координаты д:,-, (/< и Хп, Уп, то ее длина может быть вычислена как
L = <s/{{x„-Xif+iy,-yif}, а ее угол наклона к горизонтальной оси
В каждой узловой точке необходимо рассмотреть только по две компоненты силы и перемещения.
Очевидно, что узловые силы, обусловленные пдперечной нагрузкой, записываются в виде матрицы
Ui\ -sina> Vi cos a
(/„ - sin a
V„)p V cos a J
\pL
Элементы этой матрицы равны соответствующим компонентам реакций опор балки, т. е. рЦ2. Для компенсации температур-
Фиг. 1.2. Шарнирио опертая балка.
ного расширения ео нужно приложить осевую силу ЕаТА, компоненты которой
