касательных сил Fx, Fy и момента Mz. Несущественно, является ли область контакта эллипсом фиксированных размеров, определяемых формой контактирующих тел, или же ее размеры зависят от нагрузки в силу решения Герца. Предполагаем, что проскальзывание в контакте отсутствует. Разности касательных перемещений
и = Ьх -(3/ = аоо + ooi.v; V =6 + )3x = boo + by,
где [Ьх, Ьу\ - касательные смещения; 3 - угол поворота верхнего тела относительно нижнего.
Распределение касательной нагрузки имеет вид
тх = G(doo + doijyVl -ixlaf -(у/ЬУ/ Ту = G(eoo + eioxWl-(x/af -(y/bf, поэтому
Отсюда следует связь с doi. ас учетом выражений для Fy, Mz получаем зависимости
К - vD К - vB
Ьх = --- Fx; by - -Fl
nbG HBD - vLC)
(2.47)
no которым можно определять упругие касательные смещения и поворот шарика или профилированного ролика, например, при оценке момента
начала вращения вала в подшипнике качения. Касательная нагрузка обращается в бесконечность на границе эллипса. Это означает, что в достаточно узкой полоске вблизи границы эллипса касательное напряжение превышает предельное кулоновское напряжение трения fp и при этом возникает относительное проскальзывание поверхностей.
В описанных выше задачах напряжения (нормальное и касательное) имели особенность на границе области контакта. Если границы области контакта неизвестны, то они в процессе контактирования формируются так, чтобы напряжения на границе обратились в нуль. Примером такой ситуации является задача Герца. Пусть после распределения давления согласно этой задаче к одному из тел приложена касательная сила [Fx, Fy] и требуется найти касательное смещение [8х, 8у] верхнего тела относительно нижнего. Предположим, что в конатакте может возникать проскальзывание, причемF= [Fx,Fy]\ </Р. *
Область контакта состоит из области сцепления л. в которой нет относительного движения частиц поверхности, и области проскальзывания Щ, в которой касательная нагрузка достигает напряжения кулоновского трения: [тх, Ту]\ = fp. В области задаем м = бд; и v = Sj,, а в Щ, помимо условия \ [Тх, Ту]\ = fp, требуется, чтобы локальное проскальзывание происходило в направлении локальной касательной нагрузки [х. у]- Приведенное ниже решение удовлетворяет этому последнему условию приближенно, так как считаем, что нагрузка [тх, Ту] направлена так же, как [Fx, Fy], г не в сторону локального проскальзывания. Для построения поля распределенной касательной нагрузки из значения [гх,т], соответствующего полному скольжению, вычитаем значение [тх. Ту], отличное от нуля только в области i2/i и пропорциональное [т, Ту]. Область сцепления при этом является эллипсом с полуосями а", Ь", концентричным и подобным эллипсу контакта и так же ориентированным. Пусть [и, v] и [и", v" ] - разности перемещений тел, соответствующие нагрузкам [т, rj,] и [ т, Ту]. Тогда в области П
[г,=fp = ,у ]7Г:-;1:фГ
г г а D
а вне вектор [т , г. ] = 0. В области
ff tt-i
а вне Пл вектор [тх ,Ту] = 0. Здесь [тх, ] - [т ,Ту] = [тх , Ту]. Для разностей перемещений верны равенства: в области fi
Здесь коэффициенты F взяты для малой полуоси эллипса контакта, а F" Р*? - для малой полуоси эллиптической области сцепления. Из (2.40) и (2.42) следует, что коэффициенты Ff и F" Р" при х, ху и у отличаются только множителями 1/д и 1/д", так как в 58
(2.40) d = - I. Для равенства нулю членов второго порядка по л; и в области nfi, как того требует граничное условие, положим/оо = д"/оо/д-Теперь выразим а" через д с помощью формул для сил F aFyi
Fx = Я dxdj - ; Tidxdy = тф - тхф» =
= [l-( - f]fPFx/F;
Fy = [l-if]fPFy/F
При этом b"/b = д7д = (1 - FI(fP)y, F = V? + F]i . Что касается членов нулевого порядка в перемещениях, то из равенства d = О в (2.40) следует F" = Fa "/а, так что
„ /о"о в" -2/3
Доо - Доо--дооМ ~ -) ;
йoo=&oo(l-F F)
Согласно формулам (2.43), F gO = a/i:/2, F = д£)/2, F * = «5/2. Для 5х и 8у верны формулы
Sx = [l-(l- - r"]{K-uD)-
InbGF
fP 2nbGF
(2.48)
При F О получаем тот же результат, что и при расчете по формуле (2.47). При F = fP формулы (2.48) дают
2nbGF
; max „r>s 3/PF,
(2.49)
2itbGF
где S, SjT** - максимальное предварительное смещение под действием силы [Fx,Fy], равной по абсолютному значению .
При дальнейшем увеличении силы начинается скольжение. При v Ф О направление локального проскальзывания не совпадает с направлением силы [Fx, Fy]. Пусть, например, Fy = О, а Fx возрастает от нуля до fP . Напряжения трения, по предположению, в каждой точке параллельны
оси Ox, то же относится и к проскальзыванию, определяемому вектором [Щх - u)ldt, д(5у - v)/dt], >-компонента которого должна обращаться в нуль. Поскольку при Fy = О смещение 5 = О, то д\1 bt = О в любой момент времени. Это значит, что в конечном состоянии полного скольжения v = О, д" = О, v" = О и v = v = Ьцху, где Ьц Ф О при рф. Таким образом, разность перемещений [ и, v] не везде коллинеарна [Тх, Ту\ - [гх. 0]- Для круговой области контакта наибольший угол между [ы, v] и [тх, 0] равен 9,6° при v = 0,5 и 4,1° при v = 0,25. Это позволяет считать угол между [и, v] и [г, ту] малым. Формулы (2.48) и (2.49) используют для расчета предварительного упругого смещения в контактах подшипниковых узлов при определении моментов сил, необходимых для начала движения.
2.4. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ в ОБЛАСТИ КОНТАКТА
Общие формулы для напряжений под эллиптическим контактом при нормальном нагружении. Напряжение в упругом полупространстве, нагруженном распределенным по области П давлением р(х, у), определяются формулами
+ 21-
ау =
Эу Эн-
---(1-2».)-];
Эг Эх
, Эу Эу 3w
[-Z - + 2р--(1-2»;)-];
а, =
Эу дхЪу
дг Эу
"У,
• + (1 - 2р)
Эи"
Ьхду
(2.50)
Ггх =
2я ЭхЭг Z Эу
dybz
v(x,>..z)=;;
М.Х, У. г) = Я Р(, тг)/и(г + z)dm, а
r=s/a-xy + (v-yf-z\
(2.51)
Начало О системы координат Oxyz и оси Ох, Оу лежат на поверхности, ось Oz направлена вглубь по нормали к поверхности (рис. 2.9). Если область J2 - эллипс, как на рисунке, а давление распределено согласно Герцу:
