r = y/(x~xf{y-yy + z: Из формул следует, что в телах из одного материала {Е = Ej , = v) при Тх = Ту = О касательные (и, v) перемещения равны, но нормальные имеют противоположные знаки. При р = О, наоборот, равны и имеют одинаковые знаки нормальные перемещения, а касательные, равные по абсолютному значению, направлены в противоположные стороны. Для решения контактных задач необходимо задавать в области контакта 12 при z = О разности
касательных и нормальных перемещений поверхностей. Для описания упругих свойств пары тел введем величины
Е.= -(/ = 1,2); Е= -;
1 - f/ е; + я;
",(1 + + "дУЕ,
(1 + v,)E, + (1 )£•,
1 - 2f. (1 - •,),
(1 - •,),
7 ]•
Для тел из одного материала при Е ~ El = £2, i = il = , /t = О из (2.35) следует:
u=0[Fx/iEs)]+ 0[pFyl{Es)]+ 0[kPfiEs)]-
V = 0[vFx/iEs)] + 0[Fy/iEs)] + OlkP/iEs)], w = 0[kFx/(Es)] +
+ 0[kFy/iEs)]+ 0[P/iEs)],
где Fx, Fy, P~ силы, действующие на нижнее тело в направлениях Ох, Оу, О; S - характерный размер области контакта i2.
(Поскольку касательные силы F, Fy имеют тот же порядок, что и fP {А- коэффициент трения), можно пренебречь влиянием Fx, Fy на w, внося щ я этом относительную погрешность порядка kf< 1. Таким образом, даже да и тел из разных материалов можно с большой точностью находить ра шределение давления в контакте, не учитывая влияния касательных сил. Hi пример, для контакта стали с бронзой или алюминием значение к равно нескольким сотым, поэтому kf ~ 0,05 • 0,2 = 0,01. Для тел из одного материала = О, и касательные силы совсем не влияют на значение давления в контакте. При А: = О задачу о распределении касательной нагрузки также можно решать без учета распределения давления. Однако для различных материалов такой подход приводит к существенной погрешности, приблизительно равной klf. Поэтому давление может заметно влиять на разность касательных перемещений в контакте тел из различных материалов. Будем считать, что либо тела из одного материала, либо значения величин kfnk/f пренебрежимо малы по сравнению с единицей. Тогда
и (х, у) =
г 1 - V , v(x - хУ 1 , ( , , [- + J--L. ]тх(х,у) +
dxdy;
1 \vx - х)(у - у ) У(х, У) = - Щ--Txix ,у) +
2 Р(х,у) , , У) = -Г- Я-dxdy.
(2.36)
где 1/G = 0,5(1/Gi + l/Gj); Gy = £/[2(1 + Vj)] - модуль сдвига материалов
тел; R = у/(х - xf + (у- yf /
Связь перемещений с нагружением. Обозначим/(л;, у) = 1/ Vl - (х/а ) -- (у/Ь) , где а и b - полуоси эллипса контакта. Представим вектор [ Тх, Ту, Р] внешних нагрузок полиномом по х,у: М М-т
[Tx.Ty,p]=J{x,yyi [dmq.emq.fmqVy"- (2.37)
m=0?=0
Дж. Калькер показал, что в этом случае разности перемещений внутри Ц вычисленные по (2.36), представляют собой полиномы степени М:
М м-т
[и, V, w] = S Б {йтп, Ьтп, Стп)х"у". m = О п = 0
(2.38) 51
Коэффициенты Отп, Ътп, Стп в (2.38) выразим через dpg, Срп, fr,g в (2.37):
p+q>m+ п
р>0, q > О
Е -РЧ ];
т+ 1;п+ 1
га! п\
р+ q > т + п
р> Q;q > О
(2.39)
2(1 - 1-)
Lran
р > 0;(7 > О
Коэффициенты Е отличны от нуля при четных р + т,д + пи2И + + р +q -т -п> Он выражаются через эллиптические интегралы:
2т+в;25+а; =--(-2)"Х
Г(-)
V V V e)!(2S+c.)!.l
k = 0 1=0 - (2Л+ e)! (2/+Ш)!
X /(с/. A: + a + e , / + /3 + w, e) ,
(2.40)
I(d, i, j, e) = ("- -- - /) "j!(- cos )(- sin
d = A+ a + /3- Y-S > 0;
(2.41)
Г - гамма-функция Эйлера; s = Ъ (малая полуось); е - эксцентриситет эллипса контакта; е и w принимают значения О или 1. При d = 1, -2,... значения величин, вычисляемые по (2.40), равны нулю.
Из (2.37) и (2.38) следует, что при произвольном задании локальных относительных перемещений (т.е. функций и, v, w) распределенная нагрузка может оказаться неограниченно возрастающей вблизи границы эллипса. В контактных задачах с неизвестной областью контакта равенство значения давления или касательной нагрузки на границе нулю обеспечивается выбором этой границы. Если граница - эллипс, то полином в (2.37) должен делиться на 1 - (х/а) - {y/bf, т.е. должно быть
„ М М - р
[Гх. Ту Р] =
Нх,у)
S 2 {dpd, р= О О
epqJpq]xPyf.
(2.42)
Разности перемещений при этом задаются формулой (2.38) с заменой М на М+ 2. Связь [ат„, Ьщп, Стп] с [dpq, epij,fpq] дается формулами (2.39), в которых надо заменить [dpq, Cpqjpq] на [dpq, epq, fpq],e на
i -E; -•C/ a суммирование прово-
дить пор + q>m+ п - 2,p>0.q>0.
Полные эллиптические интегралы первого и второго рода даются формулами (2.6), (2.7), эллиптические интегралы
f/2 siniJ; coslidii C= S - ;
0 V(l - esinif-)
"/2 D= f
sin ф<1ф
0 v/l - esinif-
0 Vl - esin
связаны cKmL соотнощениями
K = 2D-eC, L = (2-e)D- eC,
5 =/) - eC= - (1 - e):]/e
D = (K-L)/e\ C=[(2-e)K~2Lye\
Приведем значения e и f для A < 2, p < 2, < 2, m < 4,
и < 4, i - 0; s = b;g = у/1 - e - отнощение длины меньшей полуоси к длине бо.ч- -i; К - см. (2.6) и (2.7Я :
E lijOO/2 = F1-00 = sS/2; E 1= IO/2 = F 1-JO = c)/2; /г1,00= (д С)/5; 1;10/2=/г1;10=2,С/2; FlOO=-CA; Fl,01/4=;,l,01= ,3 5/(g.). F l-,00 = -ф o/s; E 1=01/2 = F 01 = ,/2;
Vo= i" = -/8; E1501/2 = F1 j,oi = .(Л- 0/2.
Решение контактных задач. Изложенный метод позволяет найти распределение давления в контакте двух упругих тел по эллиптической об.-, ласти с фиксированными полуосями (например, если одно из тел является жестким, плоским эллиптическим в плане штампом или если поверхности тел содержат плоские участки, соприкасающиеся по эллипсу, а тела при этом все же с некоторой погрешностью можно считать полупространствами). Приведенное ниже решение, используют для приблизительной оценки распределения давления в контакте торца ролика- с бортиком кольца (рис. 2.8). Область контакта ABC имеет форму луночки, которую можно аппроксимировать эллипсом. Основная погрешность вносится при этом значительным отличием формы тел от полупространства.
Итак, пусть тела сжаты силой Р, приложенной в точке с координатами Хо, у о- Разность w нормальных перемещений задана формулой
w = Coo + С10Х+ С01У,
(2.44)
где Соо - сближение тел в центре; Сю hcqi - углы перекосов в плоскостях Oxz и Oyz. Постоянные Соо, Сю, Cqi определяем из условия уравновешивания внешней нагрузки силой и моментами, возникающими в контакте. Считаем, что трение отсутствует. Распределение давления
To, что тела контактируют по эллипсу, равносильно неотрицательности давления, т.е.
/оо + fiox + /01J =
2-nabG
Зхх- 3vv-(1+-- + -111-)>0.
Отсюда следует условие
(а/3) (6/3)
означающее, что точка с координатами Хо.До должна лежать внутри эллипса, концентричного и подобного i2, так же ориентированного, но длина осей которого в 3 раза меньше. Сближение и углы перекосов определяем по формулам (2.39), (2.43) :
,л/гО;00 (1 - , Соо - 2(1 - !)£ 00 оо---- л.,
1,ЬО
(2.46)
л. in 3(1 - v)Px„
c,,=2{lv)E\l%o - -~-В;
. 3(1 - v)Py
Coi=2(l-i)E-Qfoi = -D.
i,bG
Согласно (2.45), давление обращается в бесконечность на границе области контакта. Это означает, что в узкой полоске вблизи границы напряжения в материале превышают предел текучести, вследствие чего теория упругости становится неприменимой. Для приближенной оценки фактического давления р* следует принять р* = min(p, НВ), где НВ - твердость материала.
Формулы (2.39) позволяют решать задачи о распределении касательной нагрузки в эллиптическом контакте двух тел под действием внешних
