При расчете распределения давления в контактах двух упругих *л (в частности, шариков ипи роликов с кольцами подшипники каченш) тела в области контакта заменяют на упругие полупространства, ТоЕда задача определения давления сводится к двухмерному интегральному уравнению. Во многих практических случаях область контакта оказывается вытянутой в одном направлении. Таким свойством обладают контакты шарик - кольцо и ролик - кольцо. Но если в контакте шарика с кольцом давление определяют из задачи Герца, то в контакте ролик - кольцо давление найти сложнее, поскольку ролик в общем случае имеет криволинейный меридиан. При решении этой задачи пользуются методом плоских сечений, предполагая, что профиль давления в поперечном направлении представляет собой половину эллипса.
Область контакта (рис. 2.3, а) считается узкой, если ее характерный размер L в направлении оси Ох много больше характерного размера В в другом направлении {Оу). В этом случае полагают, что в каждом сечении X = const (рис. 2,3, б) происходит контакт двух цилиндров с радиусами Я\уТлК2у. Распределение давления в области S2:
р{х,у) = Ро{х) \П-уЬ(х), (2.26)
где максимальное значение давления ро (х) в сечении и местная полуширина Ь(х) области контакта определяются формулами (2.21), (2.22) для контакта цилиндров:
2iiR,
Hx) = 4/Si.
(2. 27)
Здесь <?(х) = яро (х)Ь(х)/2 - интенсивность распределенной вдоль оси Ох нагрузки, или площадь под графиком р{х, у) в сечеиии х = const,
2Е[ е\
е[ + е:
Riy Riy
Е; = -0=1,2);
1 -V:
Rly + R
В соответствии с (2.1) уравнение для давления в контакте имеет вид
2 pa,ri)didn
-fs(x.y) = wix,y).
= 5 + {х-Хо)в-
(2.28)
где S - суммарное перемещение тел в точке Хо первоначального контакта, равное сближению тел на бесконечности; fs (х, у) = fi (л; у) + /2 {х,у); fj{x,y) при / = 1, 2 - расстояние от поверхности /-го тела до касательной плоскости к телу в точкех; в - угол перекосг.
V /77Z
«а
Рис. 2.3
Подставив (2.26) в (2.28) с учетом (2.27) и приняв = О, получаем уравнение для q{x):
8 f J{x,%)qi%)d\ = yA.x,o\ (2-29)
1 /2
Границы л:-и / области контакта (см. рис. 2.3) заданы, если тела ограничены острыми кромками. Если же тела гладкие, то и х определяют из условий
.(.0=.(-)=0. (2-30)
Условие равновесия имеет вид
где Р - сила, сжимающая тела.
Величину входящую в J(x,), определяют по второй формуле
(2.27). Уравнение (2.29) - нелинейное одномерное интегральное с ней* вестными границами, для численного решения которого, наряду с асимптотическими методами, применяют итерационный (метод последовательны с приближений). Для этого на интервале [х; х*] вводят равномерную сет1 :у
Xi=x-+ (/-1)А, h=(x*-xyn, /=1,...,и+ 1,
и уравнения (2.29) - (2.31) приводят к виду
8Л " + 1 (*-1) (Л) 4i
п + 1 S
I = 1
Ci Jji
= Ф,
п + 1
/= 1
Ci Qi = Р;
(2.32)
(2.33) (2.34)
() ()
где/=1.....n + \;qi =q (ki), J-fi = Ах ), = wixj,Oy, к - номер
приближения; Cj = c„+i = 0,5; с, = 1 для 2</<и (формула трапеций).
При вычислении Jji используют значение <?/, полученное при предьщу-щем приближении, что позволяет рассматривать (2.32) как линейное уравнение. Сначала задают некоторые q и близкие значения х их*. По
<?) вычисляют &Р= йЧ?;) и JJP. В и + 4 уравнения (2.32)-(2.34) входят и + 4 неизвестных: <?Р(/= 1,..., и+ 1),х, х*, S. Значение S вычисляют из выражения для Ф. При решении системы (2.32) - (2.34) находят qp\ увеличивая отрезок [х, х*] до тех пор, пока условие (2.34) не будет выполняться с определенной точностью (х~ уменьшают, ал;* увеличивают на значение шага А). Процесс обрывают при к = т, если q" достаточно близко к q ~ Особенность задачи - необходимость вычисления син -гулярного интеграла. В уравнении (2.29), содержащем сходящийся двойной интеграл, при переходе ко второму интегралу при ? = О или f = О получаем расходящиеся одномерные интегралы. Можно воспользоваться непрерывностью по z интеграла
I{x.z)= f fqia х- о
1 - г»
заменить его суммой типа (2.32) и перейти к пределу при А и z, одновременно стремящихся к нулю. Практически J-- определяют линейной экстраполяцией по двум значениям z = х, где х - параметр настройки метода. Изложенный метод решения задачи полезен при расчете давления в
0,8 0,6 0,4 0,2 О
->
Рис. 2.5
Wx.MM
6(х),мм
8 16 х,мм
Рис. 2.4
0,3 0,2
0,1 О
Рис. 2.6
контакте деталей сложной формы, которую вблизи точки первоначального контакта нельзя описать полиномом второй степени по л; и. Такую форму имеют, например, профилированные ролики, применяемые в подшипниках букс и в опорах главного вала некоторых газотурбинных двигателей. Фогр-ма двухрадиусного меридиана ролика задается функцией
Ш, о)=<
а\ -\/ -{x-a-if, х>а, Ol -у/г -(х+ Дг). х<-а.
а,=Ло[1-(1-)У1- а2=а(1--),
«о Rl «о
а, Ло и Г - параметры меридиана, составленного из трех сопряженных дуг окружностей.
На рис. 2.4 приведены зависимости от х полуширины b области кон-
такта такого ролика и внутретнего кольца подшипника 42726. Диамевр ролика = 32 мм, его длина / = 46 мм, Р= 15 кН, г = 0,4 мм, а = 20 мщ, радиус дорожки качения Ri = 79 мм, материал - сталь; кривая I - Rq = 65 м, кривая 2 - 80 м, кривая 3 - \0*м, кривая 4 - Юм.
На рис. 2.5 и 2.6 представлены зависимости от х интенсивности! распределенной вдоль оси Ох нагрузки и формы области контакта Д1я
= 80 м при перекосе в = 435 мкрад » 1,5 (штриховые линии - расфт по методу независимых плоских сечений).
2.3. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ И МИКРОПРОСКАЛЬЗЫВАНИЕ В КОНТАКТЕ
Упругие перемещения. При расчете нормальных и касательных переме-щ(ний детали подшипникового узла (шарики, ролики, кольца, сепаратор) за меняют на упругие полупространства (рис. 2.7). Ось Oz декартовой системы координат Oxyz направлена внутрь нижнего полупространства.
Пусть на детали, котактирующие по некоторой области i2 плоскости 0)iy и находящиеся под давлением р{х, у) > О, действует распределенная касательная нагрузка с компонентами Тх(х, у), Ту(х, у) для нижнего тела и ~Тх(х, у), ~Ту(х, у) для верхнего. Тогда для составляющих вектора перемещения точки полупространства имеем
