Теория Герца рассматривает статический контакт двух тел при следующих предположениях:
материалы соприкасающихся тел однородны, изотропны и идеально упруги;
область контакта мала по сравнению с радиусами кривизны поверхностей;
трение отсутствует.
При взаимном перемещении тел контакт можно считать статическим, если относительная скорость невелика по сравнению со скоростью распространения МШ1ЫХ возмущений в телах.
В силу второго предположения, при определении перемещений точек поверхности тело можно считать полупространством. Из теории упругости известно, что нормальное перемещение w под действием давления р(х, у), распределенного по области (рис. 2.1),
(2.1)
me Е - модуль упругости материала; v - коэффициент Пуассона.
Для определенности первым полупространством считаем нижнее, а вторым - верхнее.
После перехода к полярным координатам г, (р с полюсом в точке (х,у) выражение (2.1) принимает вид
(V)
w(x,y)=~lf f p(p,)dp, (2.2)
<.<P)
где ro{\fi) и r(ip) - координаты точек пересечения луча ip = const с границей области (если точка с координатами х, у лежит вне П); и 1)2 - крайние значения i, при которых луч = const пересекает область П. Если точка (х, у) принадлежит П, то ii= О, i/>2 = lir, го{) = 0. Далее рассмотрим именно этот случай. Если в (2.2) взять интеграл по р от О до r(ip) при ip = const, а затем от О до г(<р +7г) вдоль луча то сумма интегралов будет представлять собой площадь S(ip) сечения области под графиком р(х, у) плоскостью, проходящей через линию *р = const. Эту площадь затем надо проинтегрировать по (/) от О до тт.
Указанный прием упрощает расчет перемещений по формуле (2.1). Пусть, например, границей области П является эллипс
(2.3)
где а, b - его большая и малая полуоси, а давление р{,г\) распределено согласно полуэллипсоидальному закону
Рис. 2.1
У1 / Г
р(?,т,) = Ро s/l-aiar-(vlb)\ (2.4)
Уравнение границы г = г (</>), когда начало полярной системы помещено в точку (х, у), получаем подстановкой = л: + г cosip, 17 = j +rsin </> в (2.3). В сечении полуэллипсоида плоскостью, проходящей через линию ip = const, получается полуэллипс с горизонтальной полуосью (ri +Г2)/2, где Г1 = г{<р), ti = г (ifi + ir). Чтобы найти вертикальную полуось, надо определить середину хорды if) = const эллипса fi. Этой середине соответствует г = Г1 - Гг 1/2. По формуле (2.4) вычисляем значение в точке = X + * sgn (ri -Г2) COS ip,r} = у + sgn (ri -Г2) sin<p. Oho равно длине вертикальной полуоси рассматриваемого полуэллипса, площадь которого
5() =
праЬ (д-х) sinV + (ft) cosip + x>sin2ip
После замены tgtp = (6/a)tg ф выражение (2.2) приводим к виду
1,е;
I о
тг аЬ-
-~~х sin ф -cos ф + ху 5т2ф
(2.5)
I о
(1ф.
Перемещение Wj{x, у) поверхности полупространства является квадратичной функцией координат для точек, лежащих внутри fi. Интеграл (2.5) сводится к полным эллиптическим интегралам первого рода
К= / [1-(1--)sinv]°d
(2.6)
и второго рода О
И формула для Wj принимает окончательный вид
у) = (РоЬ/Ер[К - Dx/a-(K - D)y jР],
к - L
(2.7)
(2.8)
1 - (Ыа)
Вблизи точки контакта О (рис. 2.2) уравнения номинальных поверхностей = j. (к, j) при/= 1,2 могут быть представлены отрезками рядов Тейлора
(2.9)
где Rj (т = 1;2) - главные радиусы кривизны, измеряемые в плоскостях Oxj zj, Oy/zj главных нормальных сечений тел; т = 1 для оси Oxj, т = 2 для оси Oyj.
Если в сечении тела плоскостью получается кривая, обращенная выпуклостью внутрь тела, то радиус кривизны отрицателен; если кривая обращена выпуклостью наружу, то - положителен. Б координатах х, у (см. рис. 2.2), связанных с х/, yj зависимостями
Xj = X cosuj - у sinсоу, yj = X sinwy + у COSCOy, зазор Zi + Z2 между поверхностями определяем из выражения
(2.10)
2, + Z2 =
D г.
11 IS Jl
- - ~)sin2coi + ( 1 - 1 ) sm2co2]
+ + Cxy.
(2.11)
Рис. 2.2
Это выражение упрощается, если угол С02 выбрать из условия С = 0: tg2a,2 = a/»-/n)sin2c.
Угол С02 € (-7г/4,7г/4], если
( --)cos2co+ 1 1 <о,
с*>2 е (т/4, 37г/4] в противном случае.
При таком выборе CJ2 большая ось эллипса направлена по оси Ох, а малая - по оси Оу.
По углу CJ2 находим угол coi = CJ2 + W и значения Л. •
«и
+ - +
л а.
+ - +
«11
-Ф);
-+ф),
(2.13)
л,, л„ к.
Перемещения Wj, вычисляемые по формуле (2.1), стремятся к нулю х + у ->°о, и поэтому можно определить сближение 5 тел как относительное сближение двух достаточно удаленных от зоны контакта точек тел
в направлении Oz. В процессе сближения в некоторой точке (х, у) сначала выбирается зазор, затем возникают упругие перемещения точек по-поверхности. Уравнение контактных перемещений для точек (х, у), принад-лежапдих области контакта, имеет вид
5 = Zi + Z2 + Wi + Wj.
(2.14)
Вне области контакта, когда сближение недостаточно для возникновения упругих перемещений, выполняется неравенство 5<zi + Z2 + Wi + w.
Подстановка в (2.14) выражений (2.8) для Wj и (2.11) для Zi + Z2 приводит к равенству
5-(-
(2.15)
Е = ТЕЕЖ + Ei),
которое показывает, что уравнению (2.14) удовлетворяет полуэллипсоидальное распределение давления по эллиптической области контакта. Приравняв свободные члены и коэффициенты при иу в (2.15), получаем формулы для определения а, Ь, ро и 8 по заданным , Rx, Ry и сжимающей нагрузке Р:
В этих формулах
(2.16)
(2.17) (2.18)
кь = / (1 -);
2-nD(\ + RxiRy)
2-nkaki,
11 и
RxRy
Rx + Л,
a отношение alb = у вычисляем из трансцендентного уравнения
(К - D)y
(2.19)
Значения ка, кь, кр,к можно определить из табл. 2.1 (вычисления проведены В.В. Власовым) по заданному значению RxJRy = arcsin е,
гдее=>/ьЧЩ-
Прие< 1 значение D = {К - L)le целесообразно вычислять по асимптотической формуле
£) = 7г S I: п = 1
(2я - 1)!! ,2 2"и !
2п - 1
ехр 2(п - 1)1пе
При 1 <RxlRy <34 (1 <7< 10) коэффициенты ка, кь, кр, к, у можно определять приближенно с погрешностью не более 3 %:
1,4664
.,0,0945
1,4184
1,0,0945"
1<х
-(-)
0,3 1 в .
0,3 1 8 .
fcp= 0,2295 уо-в»; fcs = 1,0401
(2.20)
7= 1,0339(--)
0,636 .
Пример 2.1. Вычислить размеры эллипса контакта, максимальное давление и контактное сближение для контакта шарика с внутренним кольцом подшипника 306. Диаметр шарика = 12,303 мм, диаметр по дну желоба = 45,848 мм, радиус желоба г, = 6,34 мм, нагрузка на шарик Р = 1600 Н; материал шариков и колец -сталь ШХ15, модуль упругости Е = 210 ГПа, коэффициент Пуассона v = 0,33; угол контакта равен нулю.
Решение. Вследствие симметрии угол ш = 0; первое тело - шарик, второе -кольцо:
11 =Ri2 =5и/2 = 6,151 мм; R = ~г; Кг2 =dj2 = 22,924 мм.
Средний приведенный радиус кривизны R = 1/(1/6,151+ 1/6,15 1 - 1/6,34 + 1/22,924) = 4,738 мм;
