Рассмотрим теперь кольцо, вращающееся относительно линии действия постоянной силы F, приложенной к валу. В этом случае фиксированный элемент кольца испытывает в течение одного оборота циклы нагружения с различными амплитудами, но зато другой элемент кольца, отличающийся от первого только угловой координатой ф, испытывает практически ту же последовательность циклов нагружения, только с некоторым сдвигом фаз. В течение одного оборота Го = То (Р/с), = (Рк). - <(Рк) > где Рк - сила, с которой шарик, ближайший к данному элементу кольца, действует на дорожку качения в к-ы цикле. Обозначим индексом ц величины, относящиеся к кольцу, которое вращается относительно линии действия силы F. Проинтегрировав (4.4) сначала по V, а затем по 2, получим
Как и в предьщущем случае, имеем вектор [то, в, о] = i, Ац, А]. Рассматриваемый элемент кольца в к-м цикле нагружения расположен под углом фк ~ 21тк/т, причем фо = 0. Поскольку при достаточно большом числе Z шариков нагрузка на элемент кольца, занимающий положение с угловой координатой Фк,1е меняется от цикла к циклу, то
РГ [Лг,
2»r
(4.19)
относительно линии действия силы F кольца при вероятности неразрушения и эквивалентной нагрузке Р получаем
Ls=S)(PJPeX (4-20)
где Р - динамическая несущая способность рассматриваемого кольца.
Замечания: 1. Точность полученных выражений для Pg и Pg зависит от точности вьшолнения условия Z > 1. Как правило, достаточно того, чтобы Z> 5.
2. Формулы для Pg, и Pg совпадают. Причина этого заключается в выборе приближенной зависимости (4.2) допускаемого касательного напряжения т» от числа циклов. В действительности т« является функционалом от распределения амплитудных касательных напряжений по числу циклов на всем интервале времени работы данного кольца. В более точной теории предел вьшосливости должен с ростом числа циклов снижаться для циклов большой амплитуды заметнее, чем для циклов малой амплитуды.
3. Во всех рассмотренных случаях углы контакта шариков с кольцами подшипника предполагались одинаковыми для всех шариков и неизменными от цикла к циклу и от оборота к обороту. В действительности в выражениях для динамической несущей способности колец и для эквивалентных нагрузок надо использовать эффективный угол контакта офф, получаемый усреднением реализуемых в процессе работы подшипника углов контакта по шарикам, циклам и оборотам. Углы контакта могут быть различными при комбинированном нагружении и, тем более, при нагружении, меняющемся во времени. Однако погрешности в определении афф не приводят к существенным погрешностям при нахождении Р и Pg (не более нескольких процентов).
Здесь Рф, - сила, действующая со стороны шарика с угловой координатой ф/ на дорожку рассматриваемого кольца. Введя эквивалентную нагрузку
1/(<7е.)
аналогично предыдущему случаю, для долговечности Lg вращающегося 248
4.4. ДОЛГОВЕЧНОСТЬ ПОДШИПНИКА ПРИ НАГРУЖЕНИИ, МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩЕМСЯ ВО ВРЕМЕНИ
Ранее был рассмотрен случай, когда действующая сила постоянна во времени. Пусть теперь сила зависит от времени, выраженного в единицах периода вращения вала, однако не меняется в течение одного оборота от цикла к циклу нагружения. Предположим, что угол контакта одинаков для всех шариков и постоянен. Тогда, проинтегрировав (4.4) по числу циклов Л и по объему V, получаем в соогаетствии с (4.14), (4.15)
I "Км).%) () ()] -dL. (4.21)
Значение к определяем из условия
%(м)е1(м)
Получаем
Введя эквивалентную нагр)/зку
emv
1/(<7е.)
(4.22)
4.5. ПРАКТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ДОЛГОВЕЧНОСТИ ПОДШИПНИКОВ
Применим приведенную методику к подшипникам, работающим при умеренных частотах вращения. В силу относительной малости центробежных сил полагаем, что распределение нагрузки со стороны шариков на дорожку качения по всему периметру дорожки такое же, как при статическом нагружении. Используем данное предположение для расчета долговечности радиально-упорного подшипника при комбинированном нагружении - радиальном и осевом. Обозначим через бд относительное упругое смещение колец в осевом направлении, через б - в радиальном направлении. Предположим что перекос колец отсутствует и все шарики имеют одинаковые углы контакта а. Как и выше, будем отсчитьшать угол ф от линии действия радиальной нагрузки. Решение, предложенное Шовалем, дает зависимость нагрузки на шарик от ф
=o[l-(l-cos\i/)]
€ = 0,5(1+ -tga).
(4.24)
(4.25)
находим
Связь нагрузки Pq на наиболее нагруженный шарик с F, F (осевая и радиальная нагрузки соответственно) дается выражениями
/; = ZPo/,(e)cosa; (4.26)
F=ZPo4(e)sina, (4.27)
-к 1«*рЯе*
(4.23)
В последней формуле учтено, что проекции на ось подшипника сил, действующих на кольцо со стороны шариков, вычисляются умножением только на sina. Здесь (половину угла нагруженной зоны) определяем из соотношений
Ч> = <
arccos [(-6a/6)tgа] при (5J6,)tga<l, я при (5a/5,)tga>l.
Смещения бд и б, определяем из статического расчета подшипника (см. подразд. 3.2), а е можно определить по табл. 4.1. Из вьфажений (4.26)
Таблица 4.1
/,(е)
0,00
1,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,20
0,9318
0,1590
0,1707
0,5100
0,30
0,8964
0,1892
0,2110
0,5427
0,40
0,8601
0,2120
0,2462
0,5673
0,50
0,8225
0,2288
0,2782
0,5875
0.60
0,7835
0,2416
0,3084
0,6045
0,70
0,7427
0,2505
0,3374
0,6196
0,80
0,6995
0,2559
0,3658
0,6330
0,90
0,6529
0,2576
0,3945
0,6453
1,00
0,6000
0,2564
0,4244 0,5044
0,6566
1.25
0,4338
0,2289
0,6821
1,67
0,3088
0,1871
0,6060
0,7160
2,50
0,1850
0,1339
0,7240
0,7777
5,00
0,0831
0,0711
0.8558
0,8693
0,0000
0,0000
1,0000
1,0000
И (4.27) следует, что (FVF)tga = /Де)/4(е) - функция от е, поэтому существует однозначная связь величины {Р/Р) tga, которая может быть найдена из условий нагружения подшипника, с параметром е, а значит, и интегралами/(е) и/д(е).
Теперь с учетом выражений (4.26) и (4.27) значение для может быть найдено по одной из приведенных формул:
Ро =iv/(Z/,cosa); (4.28)
Po=FJ(ZIgSixia); (4.29)
Ро = Fcosaim + Fg sma/(Z4); (4.3О)
0 = 4{рлу (FJIgYJIZ. (4.31)
Таким образом, распределение P найдено. Однако в полученное ранее выражение для долговечности подшипника входит эквивалентная нагрузка на шарик
eiiv) - V-YT ) Рф(и)Ф]
(4.32)
причем показатель степени qe, одинаков для вращающегося и неподвижного колец. Это обусловлено тем, что в используемой теории предел вьшосливости структурного элемента в т-м цикле нагружения не зависит от нагрузок, действовавших на данный элемент в течение предыдущего (/и -- 1) -го цикла, а зависит только от т. 252
Вследствие умеренности частоты вращения выражения для распределения нагрузки по вращающемуся и неподвижному, по внутреннему и наружному кольцам совпадают, т. е.
Подставляя это выражение в формулу (4.32), получим
=о/(.)(е), (4.33)
где в данном случае
. W (в) =/(е) = 1 Ml (1 -cos)] З/с/!
1/(<7е.)
(см. табл. 4.1).
Для вероятности безотказной работы вращающегося (неподвижного) кольца в соответствии с приведенной теорией имеем
= НТ9-) ()*- (4.34)
Введем нагрузку Pocii(v) на наиболее нагруженный шарик, при которой для данных значений е и угла контакта а в течение 1 млн оборотов 10 % одинаковых вращающихся (неподвижных) подшипниковых корц выходит из строя. Естественно назвать PoctiM динамической несущей способностью кольца по наиболее нагруженному шарику. Согласно определению динамической несущей способности вращающегося (неподвижного) кольца, заключаем, что Pocfi(v) - такая нагрузка на наиболее нагруженный шарик, при которой для данных значений end соответствующая эквивалентная нагрузка на шарик равна динамической несущей способности кольца. С учетом Росд (>) и формулы (4.33) получим
РсЩи) =Ро<:(и)1ц{и)()- (4-35)
Подставив выражения (4.33) и (4.35) в формулу (4.34), получим
Поскольку (у) =L, I 1
Ы 1 =1п -i*(/r*.
. v.iv) \ 0,9 / осм(>)
Применив правило перемножения вероятностей, для всего подшипника получим
