следует учитывать демпфирующие свойства стыков, особенно прн оценке уровня вибрации узла.
В процессе работы на ротор и элементы подшипников действуют внешние силы и моменты, в частности, от привода, вращающего ротор. Отдельные элементы подшипника взаимодействуют друг с другом по сравнительно малым областям контакта. Возникающие здесь силы взаимодействия будем считать внутренними. Выделение внешних сил до некоторой степени условно. Так, при включении в состав узла силовой схемы, создающей осевой натяг, силы со стороны стяжки и упругой крьшпси становятся внутренними.
Элементы подшипников с достаточной для практики степенью точности можно считать жесткими телами, локально упругодеформируемыми в малых областях контакта. Аналогичное предположение часто верно для ротора, если его длина не слишком велика и можно пренебречь упругим прогибом. Однако при расчете радиальной жесткости узла важно учесть прогиб. Глобальная упругая деформация колец подшипника во многих случаях может привести к перераспределению нагрузок в контактах с телами качения. Этот эффект особенно значителен, если радиальная нагрузка, действующая на подшипник, велика, толщина кольца мала по сравнению с его длиной и, кроме того, отсутствует жесткая заделка кольца по его поверхности, свободной от контактов с телами качения. Номинальная форма желобов колец шарикоподшипника - тор. Отклонения геометрических параметров дорожек качения, а при напряженной посадке - отклонения от правильной геометрической формы посадочной поверхности, непосредственно влияют на вибрационные характеристики узла: уменьшение отклонений ведет к улучшению этих характеристик.
Сепаратор подшипника служит для разделения (сепарирования) тел качения и удержания их на определенном расстоянии друг от друга. Сепараторы различают по типу базирования. Если сепаратор в процессе движения касается наружного (внутреннего) кольца, то говорят о наружном (внутреннем) базировании. Если же касание отсутствует, то сепаратор базируется относительно тел качения. Возможен также случай смешанного базирования, т.е. касания сепаратором двух колец. Окна сепаратора могут быть различной формы. Наиболее распространены сепараторы с окнами в форме сферы илн цилиндра. Иногда встречаются более сложные формы: например, конус при базировании относительно тел качения. Для этой цели возможно использовать окна в виде скошенных цилиндров, что имеет неоспоримые преимущества. В некоторых шариковых подшипниках сепаратор отсутствует. Как показывают эксперименты, прецизионные узлы с подобными подшипниками имеют хорошие характеристики, особенно по стабильности момента сопротивления вращению и толщины пленки в контактах шарик-кольца.
1.3. уровни моделирования и эксплуатационные характеристики узла
К эксплуатационным характеристикам подшипникового узла относят нагрузки и давления в контактах; осевую, радиальную и угловую жесткости; толщину смазочной пленки в контактах; кинематику тел качения и сепараторов; момент сопротивления вращению вала; уровень и и спектр вибрации; нагрузки, действующие на сепаратор со стороны шариков и центрирующих поверхностей; тип движения сепаратора; уровень нестабильности динамических параметров; долговечность. Для расчета перечисленных характеристик необходимо разработать математическую модель узла, включающую все существенные на выбранном уровне факторы. Степень сложности модели следует выбирать, исходя из потребностей расчета.
Так, например, для расчета номинальных нагрузок в контакте шарик-дорожка при чисто осевом нагружении достаточно рассмотреть равновесие шарика между идеальными кольцами (рис. 1.14). На кольца извне действует сила Fz, приводящая к относительному осевому перемещению центров кривизны поперечного сечения желобов колец Oj и Ог- Единственной неизвестной величиной в этой задаче является длина отрезка . Определив 0x0-1 из уравнения равновесия одного из колец, можно найти значения всех функционально зависимых величин: угол контакта а. (с наружным кольцом); нормальную нагрузку Р в контактах; а и д - большую и малую полуоси эллиптической площадки контакта; Р - максимальное давление в контакте; 5i (62) - упругое сближение центра шарика с наружным (внутренним) кольцом. Угол контакта (см. рис. 1.14) отсчитывают от вертикали против часовой стрелки, и для наружного кольца он отриизтелен (либо превышает 1,57г ), а для внутреннего кольца равен а + тг, так как при отсутствии центробежной силы центр О шарика лежит на отрезке ОО. При расчете нагрузок Рщ в контактах шарика используют формулу Герца Р = A:m5m где Кщ - коэффициенты, зависящие от типоразмера подшипника и упругих постоянных м.атериала колец и шариков.
При учете вращения каждого из колец подшипника модель усложняется. Если в центрах контактов шарика с кольцами, имеющими угловые скорости 1 и предположить идеальную кинематику (т.е. отсутствие проскальзывания в этих точках), то можно определить угловую скорость движения центра шарика по круговой орбите
сос = (Л?П, +2*"2)/(2/?*),
где 1R* = + - диаметр окружности центров шариков, и проекцию uj угловой скорости шарика на линию, перпендикулярную линии контакта 0,02:
где Dw - диаметр тела качения (шарика или ролика).
Рис. 1.14
Рис. 1.15
Для подшипника, собранного с осевым натягом, проскальзывание практически отсутствует. На шарик массы тъ в связанной с ним системе координат (рис. 1.15) действует центробежная сила инерции = тйЫс.Л*. Учет этой силы в уравнениях равновесия приводит к смещению центра шарика с отрезка ООг- Углы контакта с кольцами в этом случае не связаны соотношением = ttj + тг, а для определения положения центра шарика необходимо решить систему трех нелинейных уравнений (два уравнения определяют положение точки О при заданном положении колец, а третье - осевое расстояние между центрами и О). После этого находим силы и максимальные давления в контактах, размеры площадок контакта и углы «], «2.
Дальнейшее усложнение связано с необходимостью учета смазочной пленки в контактах, толщина которой зависит от переменных Wc, W/, со„, сОт.где соя - составляющая угловой скорости шарика, перпендикулярная области контакта; cj - составляющая угловой скорости, направленная вдоль касательной к окружности центров. Кроме того, толщина пленки зависит от нагрузок в контактах. С другой стороны, изменение толщины пленки приводит к изменению нагрузок. Моменты, действующие на шарик со стороны колец (с учетом гироскопических моментов), должны уравновешивать друг друга. Эти моменты определяются полем касательных напряжений на площадках контакта, которое непосредственно связано с полем скоростей проскальзывания, в свою очередь, выражающихся через со, <ju <пу т- Таким образом, получаем систему уравнений, из которой определяем две координаты центра шарика и его кинематику. В этой модели необходимо иметь выражения для касательных напряжений по площадке контакта и формулу для расчета толщины пленки, полученные из эластогидродинамической теории смазки.
При расчете потерь мощности возникают дополнительные усложнения. В частности, если предположить, что сепаратор занимает центральное поло-
жение и взаимодействует с шариками, то в уравнения равновесия шарика добавляются силы и моменты со стороны сепаратора, которые зависят от указанных выше переменных и еще двух дополнительных неизвестных: осевого положения сепаратора и углового положения шарика в окне, для определения которых, в свою очередь, имеем уравнение равновесия сил, действующих на сепаратор, в проекции на ось Oz и условие равенства нулю осевой проекции момента, действующего на сепаратор.
Модель можно дополнительно расширить для определения поля температур всех элементов узла. При этом следует рассмотреть распространение теплоты во всех элементах с учетом теплообмена на границах и источников тепловой энергии как внутри, так и вне узла. К числу основных источников относят подвижные контакты с тепловыделением, обусловленным трением (без смазочного материала либо гидродинамическим, происходящим в тонких смазочных слоях из-за сдвиговых напряжений), обмотки электродвигателей привода с выделяющимся в них джоулевым теплом, токи Фуко в массивных телах. Перенос теплоты осуществляется внутри тел, газовой средой или охлаждающей жидкостью, в многофазной среде (при смазывании масляным туманом), а также посредством излучения. В общем случае задача определения поля температур ставится совместно с задачей нахождения кинематических и геометрических переменных. В результате получаем систему уравнений, включающую уравнения в частных производных (теплопроводности) и ненинейные соотношения статики.
Иногда с удовлетворительной степенью точности можно схематизировать сложную геометрию узла и заменить непрерывное температурное поле конечным набором неизвестных температур отдельных поверхностей и элементов конструкции (мегод конечных элементов) с учетом сосредоточенных тепловых сопротивлений в сопряжениях. В результате указанной процедуры модель упрощается и сводится к системе нелинейных соотношений. Однако тепловой расчет уже сам по себе представляет весьма сложную задачу в том смысле, что очень трудно учесть все тепловые источники и стоки и правильно описать их количественно. Так, например, используемый часто в таких задачах закон конвективного теплообмена на границе твердого тела и газа, видимо, неточен. Более правильно было бы рассматривать теплопередачу в окружающей тело атмосфере. Однако эта задача еще сложнее, особенно если твердое тело вращается и, следовательно, газ в его окрестности движется. Для определения же температуры в потоке необходимо знать поле скоростей потока. Таким образом, задача становится чрезмерно сложной. Для упрощения ее обычно пользуются экспериментальными значениями температур в нескольких точках. Это позволяет получить решение, но, как правило, с невысокой точностью. Кроме того, определение температурного поля представляет собой весьма специальную задачу, и не для всех узлов ее решение является необходимым.
Все описанные выше модели по существу статические. Хотя кинематика шарика и учитывалась, она была заданной, не зависящей от времени.
Кроме того, нагружение сохраняло осевую симметрию подшипника, что позволяло ограничиться рассмотрением одного шарика. На практике ротор на подшипниках может подвергаться действию внешних радиальных нагрузок (в общем случае распределенных) и поперечных моментов, нарушающих осевую симметрию. Для учета этих факторов в модель необходимо ввести дополнительные степени свободы ротора - два радиальных перемещения и два угла перекоса оси ротора. Симметрия может нарушаться также вследствие неидеальности опор, а именно волнистости их поверхностей. Поэтому в модели следующего уровня сложности естественно учесть как силовую, так и геометрическую асимметрию. На этом уровне можно рассчитать радиальную и угловую жесткости узла, а также решить полную задачу статики при комбинированном нагружении.
На следующем этапе можно рассмотреть задачу динамики узла, причем динамические модели могут иметь различные степени сложности. Так, согласно линейной теории вибрации В.Ф. Журавлева, ротор вращается с постоянной угловой скоростью, а угловая скорость движения шариков по орбите предписана и равна кинематической. При этом уравнения движения деталей узла сводятся к уравнениям движения ротора по пяти переменным (линейным перемещениям центра масс и двум углам перекоса) под действием внешних сил, приложенных к ротору, и сил, обусловленных отклонением формы и размеров рабочих поверхностей (шариков и дорожек качения). Эта модель позволяет рассчитать собственную и вынужденную вибрацию ротора. Однако момент сопротивления вращению остается в этой модели неизвестным, поскольку кинематика шарика частично предписана (известны сОс, w/, а составляющие угловой скорости cjn и (jJj неизвестны). Единственная составляющая момента сопротивления, которая может быть найдена, обусловлена отклонением формы и размеров колец и не зависит от скорости вращения ротора (момент не равен нулю даже тогда, когда ротор не вращается). Этот момент может оказаться источником погрешностей узлов, работающих при малых частотах вращения (чувствительные опоры, стабилизированные платформы).
Следующий по сложности уровень моделирования - включение в рассмотрение вращения сепаратора. При этом полагаем, что сепаратор занимает по-прежнему центральное положение, но может вращаться с произвольной угловой скоростью, причем комплект шариков вращается по круговой орбите с такой же скоростью. Если скорость вращения отличается от кинематической, то возникает момент сопротивления, действующий на систему комплект шариков + сепаратор. Этот момент обусловлен проскальзыванием комплекта шариков относительно дорожек качения и линейно зависит от отклонения скорости вращения от кинематического значения. В общем случае учитывают также и момент трения о базу. Эта модель, предложенная В.Ф. Журавлевым для описания режима самосинхронизации движения сепараторов в системе ротор на двух подшипниках, оказалась весьма плодотворной при изучении низкочастотных движений указанного узла.
Многие экспериментальные и расчетные исследования свидетельст-
вуют о сложном движении сепаратора в шариковом подшипнике. Центральное положение сепаратора неустойчиво, и вследствие этого центр сепаратора совершает определенное движение под действием сил со стороны шариков и базы. Режимы движения могут быть различными в зависимости от режима смазывания в зазоре плавания. Так, если смазывание обильно, то режим движения аналогичен режиму "полускоростного вихря" в подшипниках скольжения. При этом угловая скорость движения центра сепаратора примерно в 2 раза меньше угловой скорости вращения сепаратора. Для приборных подшипников с одноразовой закладкой смазочного материала этот режим маловероятен. Так, стробоскопические наблюдения, проведенные в Загорском филиале ВНИПП, показали, что центр сепаратора движется по круговой орбите, касаясь базы, причем частота этого движения (в указанном эксперименте около 200 Гц) отличается от частоты вращения сепаратора примерно на 1 Гц.
Наиболее полной моделью узла является механическая система твердых локально деформируемых тел с большим числом степеней свободы. Силы взаимодействия отдельных элементов этой системы определяются законами эластогидродинамической теории. Пространственные формы движения не предписываются (или предписываются лишь в самых общих чертах), а получаются в результате решения уравнений движения всей системы как единого целого при заданных внешних воздействиях. В такой модели в принципе возможно учесть все факторы, поддающиеся количественному описанию. Полная система уравнений, скажем, для ротора на двух подшипниках, содержащих по семь шариков, включает более ста дифференциальных уравнений первого порядка, правые части которых являются весьма сложными нелинейными фзшкциями фазовых координат системы. Решают эти уравнения с применением наиболее быстродействующих ЭВМ. При этом получают большой объем информации о ха- рактеристиках узла. Однако для инженерных расчетов такой подход не всегда удобен. В данной книге изложены простые аналитические методики, позволяющие получать как количественные, так и качественные результаты на большом интервале времени работы подшипникового узла.
