где p.- - вероятаость разрушения /-го элемента (/ = 1, .... q). Поскольку Pj<i, вероятность разрушения частищ»! dV
p = l- S<=> Pi.
/=1
Пусть V* - характерный объем стр)тстурного элемента, полученный некоторым усреднением. Тогда число q элементов в объеме dV равно dV/V*. Введя среднюю вероятность Ро разрушения элемента, получим
P=PoQ=Po
dV V*
Видно, что вероятность разрушения частиЩ)! пропорщ€Ональна ее объему, а Po/V* есть вероятность разрушения единичного объема.
Выразим вероятность безотказной работы кольца в течение Т оборотов через вероятность разрушения частицы за один цикл. Для этого найдем сначала вероятность неразрушения фиксированной частицы в течение одного оборота. Поскольку число циклов нагружения за один оборот равно от, причем от > 1, ар (A:,Z)ot 1, то
[1 -p(l,r)dF] [1 -p(2,L)dV] ... [1 -p(m,L)dV] «
«1-2 p{k,L)dV>l- ip(k,L)dkdV=l-g(L)dV, k=l 0
где (Z) = / p{k, V)dk - вероятность разрушения частицы в течение о
Z,-ro оборота.
Вероятность неразрушения этой частицы в промежутке [Г, L + dL\ {\-g(L+\)dV\ [\-g{i: + 2)dV\ ... [\ - g(L + dL)dV\ «
1- 2 g(k)dV 1 -g{L)dLdV . k = L + 1
Эти выражения получены с учетом того, что в течение dL оборотов g(L) меняется незначительно иg(Z)<l.
Шгсть вероятность неразрушения данной частицы за L оборотов есть Д5(Г), тогда вероятность неразрушения этой частицы 3zL + dL оборотов
AS(L+dI>f =AS(L) [1 -g(L)dLdV], откуда
dAS(L)
Д5(Г)
= -g(L)dVdL.
Проинтегрировав зго выражение от О до Z., получаем
In-= [ !g(L)dL]dV. AS(L) о
Для определения вероятности 5 неразрушения всего кольца надо знать произведение вероятностей неразрушения всехМ его элементов
S= ASiASi ... AS.
Тогда вероятность безотказной работы кольца в течение L оборотов определяем из соотношения
In-L = JdF )g(L)dL = [dv] fp(k,L)dkdr, (4.1)
S V 0 кос
где V - объем кольца. Таким образом, определение вероятности безотказной работы кольца в течение L оборотов свелось к вычислению вероятности разрушения частицы в течение одного цикла и интегрированию.
Получим сначала выражение для вероятности разрушения частицы за один цикл. Предположим, что микротрещины зарождаются под действием касательного напряжения г, а предел вьшосливости материала частицы определяется допускаемым касательным напряжением т«, причем т, зависит от свойств материала частицы, предыстории ее нагружения, а также является функционалом F{r(Jc, L), т, L) от распределения амплитуды касательных напряжений по числу циклов на всем интервале времени работы кольца. Рассмотрим самый простой расчетный случай: т« зависит только от числа п циклов нагружения данной частицы за время работы. Типичная зависимость г, ог п имеет вид
1 - g«
г.(«)=г2(1+«)~. (4-2)
где Тщ, е, и с - постоянные, причем е, > 1, с > 0.
Эмпирические коэффициенты е. и с, определяемые по результатам испытаний на усталость, характеризуют снижение предела вьшосливости материала вследствие накопления повреждений. При « = О напряжение 7-(0) = т%, так что т\ характеризует начальный предел вьшосливости. Поскольку т« - медленно меняющаяся функция, рассмотрим ее изменение в зависимости от числа оборотов:
Полагаем, что вероятность разрушения частицы материала за цикл
(4.3)
где т{к, L) - касательное напряжение, возникающее в частице в данном
цикле; F, - характерный объем структурного элемента материала кольца (размер зерна, включения, карбида и т. д.). Таким образом, г,(Z,) - касательное напряжение, при котором в объеме F, за один цикл нагружения вероятность возникновения микротрещины равна единице.
Критерием выхода кольца из строя считаем появление первой микротрещины на поверхности или щелушение поверхности. Однако не каждое разрушение частицы dV приводит к разрушению поверхности, так как далеко не каждая микротрещина, образовавшаяся в материале, до-ходат до поверхности. Вероятность распространения микротрещины от точки с координатой г до поверхности можно учесть введением в правую часть (4.3) эмпирического множителя вида (z,/z) , где - характерный размер структурного элемента вдоль оси Oz, направленной перпендикулярно к поверхности в глубь материала; h - положительная постоянная. При этом фактически получим вероятность такого разрушения частицы, которое приводит к разрушению кольца. Направим оси Ох иОу соответственно вдоль малой и большой осей эллипса контакта шарика с желобом кольца. Зависимость максимального по у значения Тд от z аппроксимируется формулой
Tfl = Го
- ехр (1 - -
где То - максимальное для кольца касательное напряжение, достигаемое на глубине Го.
Зависимость от у nz касательного напряжения, достигаемого при прокатывании шарика по точке (у, z), аппроксимируется формулой
T=T„exp
где а - большая полуось эллипса контакта; /- постоянная, определяющая скорость убывания касательного напряжения по оси Oy{f 1).
Приближенная формула для наибольшего касательного напряжения (по всем площадкам, перпендикулярным плоскости Oyz) имеет вид
Зависимость касательного напряжения то, а следовательно, т{у, z) от X, числа Л циклов и числа L оборотов устанавливаем исходя из распределения нагрузки между телами качения (шариками или роликами). Окончательно вероятность возникновения микротрещины, приводящей к разрушению поверхности кольца,
pdV =
Вероятность S неразрушения дорожки качения кольца определяем из следующей формулы:
X (-
-)dkdL
-ехр
Эта формула распространяется на любое тело при циклическом контактном нагружении.
Исходя из общей фо{»улы (4.4), получим прежде всего вьфажение для вероятности безотказной работы в случае, когда каждый шарик действует на дорожку .качения кольца с одинаковой силой Р = const. Тогда То, Zo и а не эависятот k,L.
После интегрирования покиЬ с учетомLm>\ находим
ехр с
е.(т1)
zL тп
. "z-dsdydz.
где ds - дифференциал длины дорожки качения.
Поскольку То, Zo и а не зависят в данном случае от 7 и г, интегрирование по {-a,d\ HZ& [О,«»] дает
= Z4,
Z« L m
(4.5)
где AI - безразмерная постоянная, зависящая от с, Л и/; S2» - характерная площадь сечения структурного элемента материала плоскостью, параллельной поверхности дорожки качения; / - длина дорожки качения.
Так как То, Zo и а при постоянной Р не зависят и от s, окончательно получаем
in-JL =
.()(-
(4.6)
5 П. т :
Поскольку с > о, л > 1, из этой формулы следует, что S увеличивается с ростом и уменьшением z,. Поэтому лучше, если волокна или зерна материала вытянуты в направлениях Ох и Оу п имеют малый характерный размер по Oz. В формулу (4.6) вместо То следует, вообще говоря, вводить напряжения на опасных площадках, ориентация которых зависит от структуры материала.
Если напряженное состояние в объеме V однородно (не зависит от координат), интегрирование формулы (4.1) по объему и по числу циклов с учетом соотношений (4.2) и (4.3) при п>1 приводит к зависимости
1п- =
(4.7)
из которой можно найш т;, проведя испытания образцов. Следует отметить, что в кольце, в отличие от образца, максимальное напряжение возникает не сразу во всех точках, а поочередно, при прокатывании над ними тела качения.
4.2. ДИНАМИЧЕСКАЯ НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ и ДОЛГОВЕЧНОСТЬ ПРИ постоянном НАГРУЖЕНИИ ШАРИКА
Формула (4.6) позволяет определить вероятность неразрушения S кольца, находящегося под действием нагрузки, равномерно распределенной П£ шарикам и постоянной во времени. Число циклов нагружения N =mL. В качестве то могут быть выбраны различные напряжения (максимальное касательное, максимальное растягивающее, октаэдрическое). В излагаемом методе расчета то - максимальное касательное напряжение, возникающее на глубине Zq . Тогда в соответствии с (2.131), (2.129)
То = Tpo,Zo =ib,
где Ро - максимальное контактное давление, определяемое по формуле Герца; b - малая полуось контактного эллипса;
2r(f + 1) (г+ dVITt
а t определяем из уравнения -l)(2t-l) = (b/ay. Согласно (2.17) - (2.19),
1 . РЕ\
(4.8)
где Лд, кг,, кр + {\-Л)1Е2;
- функции от RJRx (см. табл. 2.1); 2lBf = (1 - v?)/! + Ej VI Vj (/ = 1,2) - модули упругости и коэффициенты Пуассона контактирующих тел; R = Rfiyl (Rx + Ry); Rx Ry - приведенные радиусы кривизны в сеченияхх = const иу = const, определяемые по
формулам = Rlxi2x/(RlX + Rix); Ry = Rly]2yl(Rly +R2y); Rjx
и Rjy (/=1,2)- радиусы кривизны поверхностей в указанных сечениях.
Наряду с табл. 2.1 для вычисления kg, kj, используют приближенные формулы (2.20), из которых следует формула для отношения полуосей
= 1,03()
1 0.6 3 6
С учетом приведенных завишмостей формула (4.6) принимает вид
2яг5,
2паЬт% --JT-
c + h-1
c-h-l c-ft-t-1
где df = l/7T~ диаметр дорожки качения. Из формул для аиЬ следует, что
аЬ ЯкдЦ С учетом тождества
2С+А-2
с-Л + 2
где Dy - диаметр тела качения (шарика или профилированного ролика), и формулы (4.8) для а получим
"1--* ,/.-1,с-1;,с./,-1 (-Г-Р .<?в.
2С + А-2
X(-)*d,Dl-(mL)*
и. - размерная постоянная, зависящая от свойств материала, q = (с --Л + 2)/(Зе.)],или
-1п-И.,А-1,с-1с + А-1 X
ED Х()
2С + А-2
Для заданной вероятности безотказной работы динамическая несущая способность дорожки качения определяется как нагрузка Р, которую дорожка выдерживает (с вероятностью S) в течение = 10* оборотов вращающегося кольца подшипника. В рассматриваемом случае нагрузка на тело качения пропорциональна нагрузке на подшипник. Поэтому при S = 0,9 по Р определяем нагрузку Fg на подшипник, выдерживаемую 90 % из партии идентичных колец за расчетный срок службы, в течение которого вал (ротор) совершит 1 млн оборотов, при заданных условиях работы.
Динамическую несущую способность дорожки качения определяем по формуле
