Но поскольку - 27г-периодическая, а /(г + Г - /о) = vC - о) + + 2я, то м(Г) - Г41ериодическая. Итак, соотношение (3.343) доказано. Проинтегрировав (3.343) по периоду Т изменения t, получим, что u{f) имеет нулевое среднее значение.
Таким образом, один из сепараторов обгоняет другой со средней угловой скоростью lit/T, причем скорость обгона не постоянна, а меняется с периодом Г. Как следует из уравнения (3.337), при различных постоянных угловых скоростях сепараторов ix = <Oci соз = Я>2 возникают низкочастотные гармонические биения маховика. Если же, как при рассматриваемом режиме, разность угловых скоростей сепараторов непостоянна, то амплитуда не является простой гармоникой.
Для уравнения (3.340) случай 2 соответствует неравенству <7о1 > > 111, откуда получаем условие существования режима биений
(3.346)
где ka I > ki I; > w* Период биений находим по формуле
(3.347)
Чтобы найти амплитуду биений, надо подставить vl (О и (г) в (3.337). Из (3.338), (3,339) следует v>„(0 = со*/ + „(г) при w = 1, 2, где функция (t) такова, что ф„ (t) < со* Тогда из формулы (3.337)
, ехр1/(со*/ + г)Ь,е* +
где г = arg(co - со** - гНсо*). Эта функция представляет собой гармонические колебания с угловой частотой со*, модулированные низкочастотными колебаниями, т. е. с св-ибающей
Л(0 = x + z> =
+ 2kiC2COS(0-0o)]*
При этом
min ~
амплитуда огибающей
я(к2 1 -kil).
max niin
Конец вектора jc + iy задает на плоскости Оху положение оси маховика. На рис. 3.26 изображена характерная траектория оси маховика в течение одной четверти периода биений, на рис. 3.27 - график зависимости смещения jc + z> от времени t.
Для оценки мощности, расходуемой при работе подшипников, полагаем (см. выше), что касательная сила в контакте шарика с кольцом пропорциональна скорости скольжения. Тогда момент сопротивления вращению сепаратора равен Мо +/1( - со*). Из (3.338), (3.339) следует, что суммарная мощность
где О. - угловая скорость маховика. При получении этой формулы считали, что силы трения, действующие со стороны колец на шарик, равны между собой. В противном случае возникал бы момент относительно центра шарика, который нечем было бы уравновесить. Разность мощностей, теряемых в правом и левом подшипник ах,опреде ля ем по формуле
N2 (t) -Nx (t) = О. X
+ 0,5ii:;,coJ;.co*
(3.348)
Таким образом.
<Л =
<N2>-<Ni >= -
(cj? - CO*) + A?w*»
]; (3.349)
(3.350)
Среднее no периоду значение <g> функции g [в (t) ], где 0 (О - решение уравнений (3.341), определяем по формуле
т о т о /(в)
Атах X
Рис. 3.26
Рис 3.27
Амгаштуды колебаний N vl N2 - N1 (полуразности их максимальных и минимальных значений)
(3.351)
A(N2 -М) ./.c(o.-c.g)(e,c,«
R* (w - cj*»)» + Aco*
Решив уравнение (3.340), получим вьфажения для cos(a - во), вт(в -- о), входяыщх в формулы для амплитуды огабающей мощности и разности мощностей:
при различных значениях к = qx/qojk = - 0,5\/3- кривая 1; к = 0- кривая 2; к = 0,5- кривая 3; к = 0,5 V3- кривая 4). На рис. 3.29 изображены характерные графики изменения А (кривая 1), N (кривая 2), Л, - N2 (кривая 3) во времени. Видно, что при А: =?t о колебания отличаются от гармонических.
Из условия (3.346) следует, что биения возможны, если k,/c, I > 1
Это отношение тем ближе к единице, чем ближе со* к со (резонанс), а также чем больше постоянная демпфирования h. При увеличении cil и С2 I в / раз Г уменьшается в / раз, М увеличивается в / раз, AN, N2 - N\ увеличиваются в f раз. Пусть теперь кг = const, а ci меняется от нуля до критического значения, определяемого из (3.346). При ki О
AA,AN,A(N2 -Nx) 0, <Л2>-<Л1>-
2Л*[(ы - <.;*)+ A?a;*I
Есж ki I стремится к критическому значению, то Г «>, а значения остальных величин стремятся к конечньп пределам. Отметим еще, что период биений пщ)порционален /Г [см. формулу (3.347)] , а ойтальные характеристики от д не зависят.
пример 3.6. Маховик массой Mj, = 2,59 кг вращается на двух радиально-упорных шариковых подшипниках 100609510 с угловой скоростью П = 12 391 рад/с (частота вращения 1,2 * 10* мин). Подшипник имеет следующие параметры:.;?? = 1,16 мм; р1 = 1,05 мм; рЧ = 5,37 мм; р1 = 3,3655 мм; =2 мм; Z = 7; материал шариков и колец - сталь 111X15, модуль упругости £" = 2,1 * 10* Па, коэффициент Пуассо-
Рис 3.28
\ 7Г/Л \ \ JT А
I Ik у
*--V
Рис. 3.29
на V = 0,3; усилие предварительного осевого натяга F*= 40 Н; отклонения средних диаметров шариков: dj = 1 мкм для / = 1, 2, 3, df == - 1 мкм для/ = 4, .... 7, coi =0,4мкм,/о/=0 для/ = 2,.... 7.
Решение. Проведем статический расчет.
В первом приближении принимаем бо =0; затем последовательно вычисляем:
Вычисляем кинематическую угловую скорость сепаратора
12391 • 3,46
= 4911 рад/с.
2R* 2 - 4,365
Постоянную демпфирования шределим из формулы (3.224) по найденному в эксперименте на вибростенд? относительному уменыиению резонансной часто1ы. Пусть (ojf. - ш»)/ш = 2,4 %, где - резонансная частооа. Тогда oijojf, =0,95, и по формуле (3.224) Л/ш, = 0,308.
Собственная Угловая частота радиальных колебаний
о} =yjKj. = л/6,3 - 10У2,59 = 4932 рад/с Значения , Ic, I оцределяем по формуле (3.335) :
Таким образом, неравенство (3.346) - условие существования режима биений - соблюдается.
Для определения частоты биений необходимо знать значение Jul Подшипник смазывается синтетическим маслом ВНИИ НП-7 так, что обеспечивается режим обильного смазывания, а средняя томпература дорожки качения равна 333 К. Масло имеет следующие диаметры при температуре 333 К: =0,017 Па - с; а- = 1,2 • 10"" Па"*; 6 =0,0152 К-*; к =3,3 - 10-»» К-*. Па-*.
ранее, биошй
Используя формулу (3.213) и проводя вычисления, аналогичные проведенным е, для м получаем значение 3,73 - 10"* Н • с - м. Поформуле (3.347) период
