При этом условии система (3.229) - (3.330) - динамическая система на двумерном торе, без положений равновесия. Точного решения (3.229), (3.330), по-видимому, нет, однако из теории таких систем известно, что наиболее типичным случаем является эргодический, при котором любая траектория представляет собой плотную обмотку тора, а решение является почти периодической функцией времени. В частности, эргодичность обеспечивает полное равноправие начальных условий.
Можно, однако, получить приближенное решение системы (3.229 -
- (3.330) при р> V. Действительно, как следует из (3.213), Ixlv = = 4Z(R*/p°). В рассмотренном числовом примере это отношение приблизительно равно 84. Это означает, что в меняется медленнее и в правой части уравнения (3.330) в можно считать постоянным параметром. Тогда (3.330) отличается от (3.221) только тем, что угол 2я(/ - 1)/Z можно заменить произвольным углом в. По формуле, аналогичной (3.226), частота биений
/б=~ [23,92 - 4,54cos20] " 10" Гц.
Отсюда максимальная и минимальная частоты биений /б щах = 0,0017 Гц, /бп11п = 0,0014 Гц. Качественно решение системы (3.229) -
- (3.330) выглядит так: переменная в монотонно возрастает или убьшает в соответствии с (3.229), где получено из (3.330) при в = const. В соответствии с формулой (3.217) на колебания с несущей частотой 2cjf-
- w* наложены биения, частота которых плавно меняется в пределах от /gin до /бmax- РИ- 3-25 изображено изменение во времени х-коорди-наты центра ротора; Тщ и Тбтах ~ соответственно наименьший и наибольший периоды биений.
Рассмотренная модель радиальных биений маховика, в основе которой лежит шариковый резонанс, дает приемлемые условия существования биений. Частоты биений в примере расчета существенно меньше интересующих конструкторов частот, равных примерно 1 Гц. Однако при учете отклонений геометрических параметров всех шариков возможно увеличение расчетной частоты биений примерно в Z раз. Модель позволила обнаружить в примере нестабильность частоты биений 2 (/"б щах -/бт 1п)/(/бтах + + /бпИп) 0.19. Расчет амплитуды вынужденных колебаний маховика с частотой 2cof - со* дает большое значение, сравнимое с контактным сближением 5* в условиях предварительного натяга, равным 0,89 мкм. Таким образом, более точный расчет требует учета нелинейности формулы Гер-
Рис. 3.25
ца для сближения, что может сильно повлиять на результаты. Можно также сделать вьшод, что шариковый резонанс - явление весьма нежелательное и от него следует избавляться, меняя усилие предварительного натяга или диаметр шарика.
Для расчета нестабильности мощности и момента сопротивления вращению маховика необходимо знать скорость проскальзывания шарика в контакте с внутренним кольцом
Р ,
«и/ = -R* (V„ - W?) + - [Ф/-с- (fn - со*) cosa*].
В этой формуле л = 1 соответствует левому подшипнику, л = 2 - правому. Сила трения в контакте /-го шарика п-го подшипника с валом при w = 2
и„1« -
где Мэфф ~ эффективная вязкость (3.135) смазочного материала в контакте шарика с внутренним кольцом, которая, как считаем, примерно такая же, как и в контакте шарика с наружным кольцом.
Суммарный момент всех сил трения, действующий со стороны шариков,
М(0 = Ri . Jl- Ы (Vl + V2 - 2co*)Z +
[Д (/-cof) + (\5?-cof)]
(3.331)
Для определенности, аналогично предьщущему, рассмотрим случай 2: пусть в каждом подшипнике имеется по одному шарику с отклонениями формы (/-й в левом, /-й в правом). Тогда в системе (3.218) - (3.219) нетривиальными будут уравнения для <2. , ф (индексы, указывающие номера шариков, опутцены):
Таким образом, переменная составляющая момента, обусловленная проскальзываниями в контактах шариков.
M{t) = --J- Bdldf, (- +-) cos(2t4 +
Zcosa* к " " " R* -
(3.332)
Если считать отличной от нуля только первую гармонику отклонений от сферической формы шариков, т. е. положить с?} = , = c?i, с?? = с?, = = с?2, и использовать введенные выше обозначения ? и 9, то
R*K.d,d R* 4
- [5i(-+ )cos(2? + 9) +
+ 5-1 (
.b =
/J.J Rtlrd.d, Zcosa* RtKfd.d, Z cosa*
-)cos(2? -6)] =acosecos2?-bsm9sm2S;
-)];
-)]•
в связи с тем, что iT <11ив меняются гораздо медленнее 2, на периоде колебаний 2 можно считать в постоянным параметром. Амплитуда колебаний момента
AM = у/0,5(а +Ь) +0,5{а -Ь)cos20 медленно меняется с изменением в от min !я,
до maxjlal, \b Подстановка числовых значений из рассматриваемого примера дает
Низкочастотные радиальные биения маховика, связанные с разнораз-MqraocTMO шариков. Негармонические биения простейшего типа возникают в шарикоподшипниковых опорах маховиков вследствие разноразмер-ности шариков. Амплитуда этих биений невелика, но может стать заметной, если частоты вращения сепаратора и собственных радиальных колебаний маховика достаточно близки. Рассмотрим радиальные колебания маховика. Пусть единственньпм отклонением геометрии подшипников является разноразмерность шариков, а угол контакта для подшипников равен а*. Считаем, что вес маховика и центробежная сила малы по сравнению с усилием предварительного натяга и слабо влияют на контактные деформации.
В соответствии с (3.82) потенциальную энергию системы (с тсшостью до несущественных слагаемых, не содержащЕК координат), при т„ = 2 вычисляем по формуле
Zcosa*
Zcosa"
Z ,
+ (/-1)1 +
+ dg/cos[<p2 -b-i(.
Zcosa* /=1
dlj sin [ipi +
, V , (3.333)
где dof - амплитуда нулевой гармоники разложения отклонения формы /-го шарика в и-м комплекте; р,, - угол поворота сепатора.
Уравнение радиальных колебаний можно записать в комплексной форме с учетом демпфирования:
(i\ i-hr(x +iy)+c4ix + iy)= i4(Cle"" + C2e");
Z „ f 27Г10-1) 1
c„ = --L- 2 cfS/exp Zcosa* / = 1
Уравнение вращения сепараторов
М Q„ - со*) = - КЪп [ {х - iy) с„ е""] - Мо,
/1 = 1,2,
(3.334) (3.335)
(3.336)
где Мо < дсо* - момент сил трения сепаратора о направляющий бортик.
При приближенном решении системы (3.334) - (3.336) полагаем, что угловые скорости ip„ меняются медленно, так что ускорениями можно пренебречь. Решение уравнения (3.334) ищем в виде
где А я В - медленно меняющиеся функщ1и времени, подставляем в (3.334), пренебрегаем А, 6 вследствие их малости, полагаем \р\ ~ (i2
» coj и приравниваем коэффищ1енты при е», е. В результате
х + /у =
(3.337)
Эта формула описывает смещение ротора при заданных угловых положениях сепараторов. При со* < со, смещение (3.337) мало отличается от статического, получаемого из (3.334), если пренебречь динамическими эффектами (скоростями и ускорениями). Общее решение уравнения (3.334) отличается от (3.337) только общим решением однородного уравнения (3.334), которое является экспоненциально затухающей функцией и не рассматривается, так как интересен только установившийся режим. После подстановки (3.337) в (3.336) получаем уравнения
Vl -со*=-
(3.338)
V2 -СО* =
(3.339)
где Ьп - мнимая часть; черта сверху означает комплексное сопряжение;
б = Vl - V2 •
Вычитание (3.339) из (3.338) приводит к одному уравнению для медленно меняющейся величины в
в =Яо -?isin(6 -во).
(3.340)
"71 =-z-
бо = argcj - argci.
Для полученного уравнения типа
в =т (3.341)
с тригонометрическим полиномом /(в) следует рассмотреть два существенно различных случ:
1) /(в) = О при 0 = 9/ (/ = 1,2,...). Тогда в (О = б, - решение (3.341) и с учетом (3.338), (3.339) Vi = V2 = const. Таким образом, получаем стационарный режим, устойчивый при/(б/) < О и неустойчивый при /(б/) > > 0. Если все нули простые, то обязательно имеется устойчивый стационарный режим (может быть, не один). В этом режиме сепараторы вращаются с одинаковыми угловыми скоростями и со сдвигом фаз б/. Это и есть режим самосинхронизации сепараторов, впервые рассмотренный В.Ф. Журавлевым и А.А. Лапиньил;
2) /(в) Ф 0. Стационарный режим в этом случае невозможен. Решение уравнения (3.341) в неявной форме имеет вид
7(в)
= t-to.
(3.342)
где fo - постоянная интегрирования.
Функция в (t) может быть представлена (см. рис. 3.24) как
в{0= {t-to)u{f),
где и (?) - функция с нулевым средним значением и периодом
т= Y .
о /(в)
Действительно, поскольку интеграл в левой части уравнения (3.342) является монотонной и непрерывной функцией верхнего предела и, кроме того, при замене верхнего предела б на б + 2я величина t заменяется на f + 7, то это уравнение можно решИть относительно в : в = ip (t - to), причем.v(f +7 - to) = tp(t - to) + 2ir. С другой стороны, вычтя из обеих частей (3.344) линейную функцию Тв/ (2п), получим
(3.343)
(3.344)
271 271
(3.345)
Функция if" (в) является 2я-периодической, поскольку
