ОСЬ подшипника и центр шарика, и перпендикулярна линии, соединяющей точки контакта с кольцами; ф/ ~ угол поворота шарика вокруг этой оси в системе координат, связанной с сепаратором.
Кроме вращения вокруг оси /у, шарик участвует во вращении вместе с сепаратором вокруг оси подшипника. Проекция вектора полной (в неподвижной системе координат) угловой скорости шарика на ось /у равна \pj - фсова*, где а* - угол контакта в условиях предварительного осевого натяга. Действительно, если при неподвижном сепараторе поверхности наружного кольца и вала движутся так, как показано на рис. 3.23, то вектор относительной угловой скорости CJ* шарика направлен по стрелке вдоль оси Ij. В то же время вектор переносной угловой скорости шарика, центр которого неподвижен относительно сепаратора, направлен на рис. 3.23 влево. Сложение двух векторов дает приведенную выше формулу, первое слагаемое в которой определяет момент сил трения, действующих на шарик.
4. Из всех отклонений размеров и формы учитываем только отклонение от сферической формы шариков. При этом отклонение среднего диаметра шарика есть функция угла ф:
Pv ( ) = 2 u?fc/exp \Ц2кф1 + akj)
где d.j = = 0,5j7 {к Ф 0) - йоловина амплитуды к-й гармоники; dgj = Aqi - Рт - разность между средним и номинальным диаметрами шарика; aj = - а kj - постоянная фаза.
Отметим, что разложение в ряд Фурье р, содержит только четные гармоники. Суммирование по к проводится от - оо до °°, xoto на практике учитывают только несколько первых гармоник.
5. Рассматриваются только два вида сил: упругое взаимодействие шариков с кольцами по линеаризованному закону Герца и силы вязкого трения в контактах шариков с кольцами. Потенциальная энергия ротора, как следует из формулы (3.82),
П = Кг(-- + Re
(JC - (» S S Ck) X к / = 1
X ехр {2kфj + Vl) I + ехр i{2k ф} +
+ -1 2 2 S dfc" ехр 1 1{2кф1 + а;- )}. +
3Zcosa* „ = ,,2/=1 к I
+ -2 2 dkjdljX
2Zcosa ,г= 1, 2 / = 1 k,l
X ехр I /• {2к ф," + 21ф" + akj + а," )
(3.212)
cfc/ = г-- ехр
Zcosa
2" , п
Считаем, что сила и момент, действующие на шарик, линейно связаны с отклонениями cjc.cj; откинематическихзначений [см.формулы (3.163)]. Кроме того, положим в (3.163) Ai ал =/Tjsi. тогда
где со* - номинальное значение фj для шарика, который катится без прост кальзывания.
Силы, действующие на сепаратор со стороны каждого шарика, равны - Fg, а момент относительно оси симметрии подшипника, действующий на сепаратор,
М= - р (f- сос*); р = 2Zi «51?*
Обозначим v = 0,5Ki ар?- Использовав выражение (3.135) для Km, получим
д =2nZR---кцаф;
=0.5я(рО)-°;>"-где а,, Ь, - большая и малая полуоси эллипса контакта.
(3.213)
Поскольку момент М обусловлен силами, действующими на сепаратор со стороны шариков и возникающими вследствие трения в контактах шариков с кольцами, можно считать, что М - момент, действующий на систему сепаратор + комплект шариков со стороны колец. Заметим, что v 1р =
При указанных предположениях уравнения движения маховика, сепараторов и шариков имеют вид
... 1 ЭП .. . 1 эп
x+hrX=----; y-hry---;
Mr дх Mr Э.)
эп эп , д..
; = -; M/=--iii- ; Mf =
(3.214)
где - угол поворота сепаратора в п-м подшипнике; Л - момент сил трения, действующих на шарик со стороны колец; дИ/дф) - момент упругих сил, препятствующих качению некруглого шарика.
Координаты центра масс ротора хиу меняются гораздо быстрее, чем угловые скорости сепараторов i, 2 и шариков i / , ф/. Поэтому при опре-
делении X
и из первых двух уравнений (3.214) можно считать, что vl ,Ф1 Ф] cj*,!! Чг* Ф1 1 «0. Тогда
Мг(х + hrx) = ~Кг [x + Re S S (c/t; ехр 11(2кф- + ¥?,) + ск/ ехр z-(2fei / -t-vj)]) ] ;
ЛгЬ + гУ)= -Krly + lmi: S (Ск) ехр ((Ткф- + J,)
- -jfc /=1 .1.
+ 4-ехр }Ц2кф]+2)р],
или в комплексной форме
Mr [ - (x + iy) +hr -(х + iy)] +Kr(x + iy) =
= -/C, S I [4 exp /(2A:/ +¥,) +
+ cfc/exp z42feii +v?2)
Решение этого уравнения строится в виде Z I ,
х + г>= 2 2 Hfc/exp J/(2fci / +,/7,)[ +Bkiexp
mtAkj,Bkj - медленно меняющиеся функции.
Подставив этр выражение в (3.215), учитывая мшюсть значений Ак] , Ак) ,Вк/ , Bkj, , ф" и при » CJ*, ) " CJ7* получим выражения
- (2fctj* + «J)+ i(2fc« * + «J) Л;.
где CJ;. = VKrlMf. Решение уравнения (3.215) принимает вид
А: /=1 ir - (2кш* + ш*) + 1(2кш* + ш*)Иг
(3.217)
Третье и четвертое уравнения системы (3.214) можно записать так:
М (Фг- СОс*) = Jm [(х - iy) 2 Б с/ ехр J /{2кф] 2)\ ] •
Подставив (3.217) в эти уравнения, усреднив по интервалу времени, много большему периодов обращения шарика и сепаратора, и учтячто все произведения ехр ii{2kфj „) ехр \-i{2lф, Ргп)} равны нулю при кФ1, получим дифференциальные уравнения
Р (Pi -(t)= Krlm Гб б ck) (Cki ехр \ i [2к(ф- - /) + к 1,1=1
+ -"ckiexp i2ik[ф -ф1]\ )(Ak+iBk)\ ; (-l)
Р (}Р2 - CJ = Krlm "б б Ckj (ск, ехр / [2А: (j -, /)+ ] j +
+ ехр 2/А[4
(Ак + /5fc)
(3.215) I i
fc + iBk =
- U>r
Шг ~(2кш*+ш*) - 1{2кш* + ш1)кг
Теперь последние два уравнения системы (3.214) имеют вид X 2 2кск) (Ckitxp \{[2к{ф} н
V (ф/ - oj = Krlra
(3.219)
+ Vl - Vail + Ckl exp ik [ф] {Ak + iBk)
V (ф] - o> *) = KM 2 E 2kcki (Ckl exp i(2k(ф} ~ф]) + L kl=i
+ V2 - Vl) + Ckl ещ, 2ik [ф] - ф]] ) {Ak + iBk)
Третье слагаемое в (3.212) при fe = О обращается в нуль после дифференцирования, а при кФО - после усреднения. То же относится и к последнему слагаемому в (3.212) соответственно при fe + /= OHfe + /=?to.
Решение системы из 2(Z + 1) уравнений (3.218), (3.219) затруднительно. Рассмотрим два простых частных случая.
1. Правый подшипник идеален, в левом имеются два шарика с отклонениями формы - 1-й и /-Й. Тогда в системе (3.218), (3.219) правые части обратятся в нуль во всех уравнениях, кроме уравнений для Vi. "А i hi / , в которых правые части завият только от г? = i / - i ,. Почленное вычитание уравнений для ф-аф] приводит к одному уравнению для г\ = ф i~ ф\-
Zcos
-f xk\Bkidk, -4i) +
osa к I
+ 2Akdkidj, sin [2ferj + cxki - 0*1 + (/ - 1)].
(3.220)
Пусть отлична от нуля только первая гармоника отклонений от сферической формы шарика (шарик овальный) , т. е. fc может принимать значения ±1. Введем обозначения:
di = dii =dii, u?i =dii =d ii, a/ = ai/ = -а-ц;
= ail = -a i}, f = r? + 0,5(a/-ai);
Zv cosa* 4Kr
{d] -di)(Bi
Г2»
did у (A I A i) sin-(l -I)
Zv cosfle
- didyAi + ,)cos
Г27Г
(/-1)
lit.
Уравнение (3.220) примет вид
k=qo +iCOs2t + 2sin2 = y/qy + ?2%in2( - to) • Его решение не устанавливается со временем при условии
Период колебаний скорости вычисляем по формуле
(3.221)
(3.222)
о Чо + \/ Ях + (?/sin2(t-H t,)
s/ql -Ql ~Я1
График характерной зависимости от f представлен на рис. 3.24.
пример 3.5. Рассмотрим совмещенную опору с подшипниками 106082 (внутренние кольца выполнены на роторе). Параметры подшипника: pJ = pJ = 0,75 мм; Рз = 3,1 мм; р1 = 1,7765 мм; р° = 1,3 мм; Z = 6; материал шариков и колец -сталь ШХ15; частота вращения ротора 310* мин" (П = 3141 рад/с; усилие предварительного осевого натяга11= 6 И; масса маховика Mf = 162 г; амплитуды первой гармоники отклонений формы 1-го и 1-го шариков соответственно 2d, = 0,05 мкм, 2d/ = 0,1 мкм. Подшипники смазаны перед началом работы на ресурс смазочным материалом Униол (ТУ 201150 - 73) с базовым маслом МС-20 (ГОСТ 21.743 - 76), загущенным комплексным кальциевым мылом синтетических жирных кислот. Температура дорожек качения равна 323 К. Вязкость м (0,293 К) равна 0,114 Пас, пьезо-коэффициеет «р масла МС-20 при той же температуре равен 2,25-10"* Па".
Решение. Проведем статический расчет, применив метод последовательных приближений.
В первом приближении принимаем 5, = О и последовательно вычисляем
