Пример 3.4. Определим основные характеристики биений. К основным характеристикам относятся период биений, среднее значение смещения центра масс маховика, изменение амплитуды огибающей высокочастотных колебаний маховика (амплитуда биений), медленное изменение собственной частоты осевых колебаний, суммарная мощность, расходуемая при работе подшипников, и разность мощностей, расходуемых при работе левого и правого подцшпников. Рассмотрим узел с подшипниками 106074 при следующих числовых данных: р° = 2 мм,= р" = 1,08 мм, pJ = 5,42 мм, р° = = 3,3985 мм; 2=7; материал шариков и колец - сталь ШХ15, модуль упругости Е = = 2,1-10" Па, коэффициент Пуассона v = 0,3; угловая скорость ротора П = = 3142 рад/с; усилие предварительного осевого натягаIFI= 18 Н; масса маховика Mf - 230 г; амплитуда седьмой гармоники отклонений формы наружного кольца соответственно левого и правого подшипников такова, что 4а,6* = 0,16* и 4а,6* = = 0,26* (6* - контактное сближение в условиях предварительного натяга).
Решение. Проведем статический силовой расчет, используя метод последовательных приближений.
В первом приближении принимаем 6, = О и определяем последовательно
Перейдем к динамическому расчету. Определим частоту биений. Период биений -наименьший интервал времени, через который изменяется на тг. Из (3.205) получаем, что в единицах безразмерного времени а период равен п,/ С. Пересчет в исходное время t дает для частоты биений выражение
p»6*cosa*
г)= - 1 -0,5г]М1а, + 12 1)
(3.206)
гдеп = /г/(г/с).
Из исходных данных получаем, что а, = 0,025, = 0.05. Тогда
Определим среднее значение смещения центра масс. Выражение для z (f). согласно (3.193), (3.197). (3.199), имеет вид
о* . *. ...
lijJfft - - -ICJQt
["о + («. +fi)e + («!+?,) е
Отсюда среднее значение смещения центра масс
(3.207)
lz„l =
sina
6* a, - la.ll sina* (?, -(?jC0s2(v„ - 7)
при этом минимальное значение lolmin -
максимальное значение
sina* т) - 1 - Q,5rf (la, Г - а, ) 1а,= - la.ll
sina* n - l-0,5n4a, + a,)-
Для рассматриваемого узла
1,2 0,05 - 0,025=
lomin = lolmax =
(3.208)
(3.209)
(3.210)
0,506 1,275 - 1 - 0,637 6,25-10" 1.2 0,0019
= 0.164 мкм.
= 0.0162 мкм;
0.506 О, 271
На рис. 3.22 приведен характерный график зависимости и от ui%t.
Найдем амплитуды биений. Из (3.207) следует, что амплитуда А (t) огибающей высокочастотных колебаний равна 2б*«, + f, /sina*. Из формулы (3.200) без отброшенных кубических по ?, и f j членов получаем
Определим сдвиг собственной частоты. Амплитуда колебаний z„ [см. формулу (3.208) ] становится бесконечной, если т)= - 1 - 2 fl т)" = 0. При отсутствии отклонений геометрических параметров (f j = 0) резонанс наступает при т) = 1. т. е. при ш = = Ztog = toz; при наличии же указанных отклонений знаменатель обращается в нуль при
Это можно интерпретировать как сдвиг частоты собственных колебаний, который ие постоянен, а зависит от времени через функцию Vp. Резонансная угловая частота медленно колеблется между
"max = tOzVl - 0.5 (la, I - ia,l)
"min = tozVl-0,5(Ia, + a,l), все Время оставаясь меньше toz- Относительное изменение частоты "max - "min
= Vl - 0,5 (la, I - la,l)= - Vl - 0,5 (la, I + a,)=.
Потери мощности в подшипниках обусловлены тремя основными причинами:
трением сепаратора о базу, сопротивлением качению шариков, угловой скоростью ш„ и дифференциальным проскальзьшанием шариков. Первые две причины приводят к тому, что в точках контакта шариков с внутренним кольцом к последнему приложена некоторая сила, тормозящая вращение маховика. В рассмотренной модели биений эта сила не учтена. Если считать указанную силу постоянной, то ее момент относительно оси вращения маховика пропорционален плечу, т. е. R*. Таким образом, это слагаемое момента сопротивления вращению
Pj sina*cosa*
(Р4 +Р2 -P2°cosa*)v
где М„ - момент (без учета динамических эффектов), обусловленный только скольжением в центрах контактов и моментами качения, действующими на шарики.
Для определения низкочастотных изменений мощности надо момент умножитьна угловую скорость маховика и усреднить по "быстрому" времени. Тогда мощность
Arot =М„П[1 + (-l)"""
p;6*cosa*
(Р4° +Р? -pJcosa*)v*
Отсюда следует, что сумма мощностей постоянна, а разность пропорциональна медленному осевому смещению центра масс маховика.
Слагаемое, связанное с u)„ Ф Ои дифференциальным проскальзыванием шариков, зависит от нагрузки в контактах и меняется в соответствии с медленным изменением г и фактического осевого усилия.
В изложенном методе расчета не учтены радиальные и угловые колебания маховика, а из всех отклонений формы и размеров рабочих поверхностей рассмотрена только Z-я гармоника отклонений формы желобов наружных колец. Наличие аналогичных отклонений формы внутренних колец приводит к тому, что спектр колебаний функций /, и /2 содержит много несоизмеримых частот. Более полный учет спектра отклонений приведет к обнаружению нестабильности характеристик биений типа почти периодических колебаний. В эксперименте обнаружены колебания маховика, близкие к релаксационным (разрывным). Это, вероятно, связано с попаданием колебаний подшипникового узла, возмущенного всеми видами отклонений геометрических параметров, в резонансную область.
Помимо отклонений формы, функции /1 и /2 зависят от случайных факторов, например, от распределения смазочного материала по поверхности дорожки качения, которое постоянно меняется вследствие миграции масла и срыва капель с сепаратора. Поэтому при изучении нестабильностей имеет смысл считать /1 и /2 стационарными случайными функциями с более или менее известными спектральными и корреляционными свойствами. При таком подходе можно ожидать не только почти периодических нестабильностей. Полученное числовое значение Л max сосгавляет около 70 % осевого сближения 6 /sina колец, обусловленного предварительным натягом. Отсюда следует, что линеаризация не всегда правомерна. На это указывает и возможность резонанса. В частности, шарики могут периодически разгружаться. В данной теории режиму самосинхронизации соответствует случай, когда \ai = кг I, что маловероятно.
Изложенные расчетные формулы описывают такие экспериментально наблюдавшиеся А.С. Райковым и Э.В. Строгановой эффекты, как "плавание" собственной частоты и среднего положения центра масс. В эксперименте замечены биения с частотами примерно 1Гц и ниже. Наблюдалась также убывающая зависимость амплитуды биений от частоты. Пусть кг I = 0,05, а kil принимает значения 0; 0,025; 0,05. Тогда по формулам (3.206) и (3.211)
/б; о =5,52
О, 05
1,275 - 1 - 0,637 0,05
= 0,051 Гц;
/б; 0,025 - 5,52
О, 05 -О, 025 0,265 - 0,637 (0,05 + 0,025)
= 0,042 Гц;
/б; 0,05 = 0; Aq; о - 0;
1,21,275
б; 0,02 5 -
0,075
О, 506 0,275 - 0,637-0,025
0,025
0,275 - 0,637-0,075
) = 0,28 мкм;
б; 0,05 =2,98
0,275
= 1,12 мкм.
Низкочастотные радиальные биения, связанные с отклонениями от сферической формы шариков. Для гиродвигателей некоторых типов частота собственных радиальных колебаний маховика отличается от частоты вынужденных колебаний, вызванных отклонениями размеров шариков, всего на несколько герц (шариковый резонанс). Ниже на простой расчетной схеме, разработанной Б.В. Федосовым, показано, что резонанс может быть одной из причин возникновения нерегулярных низкочастотных биений.
Рассмотрим маховик, вращающийся на двух радиально-упорных шариковых подшипниках, при следующих предположениях.
1. Учитываем только радиальные смещения xv.y центра масс маховика.
2. Массой шариков и сепараторов пренебрегаем.
3. Каждый подшипник рассматриваем как систему с Z -н 1 степенями свободы. Одна степень соответствует вращению комплекта шариков вместе с сепаратором. Пространственные движения центра сепаратора, а также смещения шариков в окнах сепаратора не учитываем. Таким образом, положение центров шариков задается углами + 27г(/ - 1)/Z; / = 1, ...,Z (индекс и, обозначающий номер подшипника, временно опустим). Остальные степени свободы соответствуют качению шариков и задаются углами i /. Ось вращения /-го шарика (рис. 3.23) лежит в плоскости, проходящей через
