изменению амплитуда иЬсчастотами Х, т. е. биениям в осевых колебаниях. Наличие демпфирования, которым мы пренебрегли при получении формулы (3.190), помогает избежать резонанса системы.
3.7. динамика сепараторов в комплекте с шариками
Низкочастотные осевые биения, связанные с переменностью углов контакта. При экспериментальном исследовании осевой вибрации маховиков гидродвигателей на радиально-упорных шариковых подшипниках можно заметить биения с частотой около 1 Гц, При этом все характеристики подшипникового узла (собственная частота осевых колебаний, амплитуда вибрации на данной частоте, мощность, расходуемая при вращении маховика, положение центра масс маховика) претерпевают медленные изменения колебательного, иногда нерегулярного характера. На некотором промежутке времени биения могут и отсутствовать. Тогда говорят о режиме самосинхронизации, но он наблюдается довольно редко. В этом подразделе изложена расчетная модель осевых биений, развитая Б.В. Федосовым, и приведены формулы для вьиисления медленных изменений характеристик подшипникового узла.
Дадим качественное объяснение механизма биений. Рассмотрим только осевые колебания ротора. Пусть угол контакта для всех шариков левого подшипника одинаков и равен а, а для всех шариков правого подшипника - а, причем подшипники одинаковы [см. формулы (3.70)], и т= 2. Вес маховика считаем малым по сравнению с усилием предварительного натяга. Вследствие упругой контактной да)ормации шарика на внутреннее кольцо и, следовательно, на вал вдоль линии контакта, соединяющей точки контакта шарика с кольцами, действует сила (по формуле Герца) Р =
3 /2
= А:о5о .гдеАо - постоянная [см. (3.7), (3.8)] ; 5о - упругое сближение. Величина 5о состоит из трех слагаемых: начального контактного сближения 5* которое создается предварительным осевым натягом; контактного сближения - (- l)"zsina*, вызванного смещением Z ротора; контактных сближений 61 и §2 для левого и правого подшипников соответственно, связанных с отклонениями формы дорожек качения и шариков. Предположим, что для всех шариков левого или правого подшипников деформация вследствие взаимодействия шариков и дорожек качения с отклонениям формы и размеров одинакова. Будем считать отклонение (Рз) радиуса дорожки наружного кольца периодической функцией полярного углаi/;, отсчитываемого в плоскости наружного кольца, с периодом l-njZ, другими словами, на наружном кольце отлична от нуля только амплитуда Z-й грамоники в разложении Рз . Кроме того, будем считать, что отклонения от сферической формы шариков равны нулю. Используя выражение (3,35) для упругой деформации и разложение в ряд Фурье для Рз, получим упругое сближение в и-м подшипнике 188
б* (-l)"zsina*-p3(i")cosa*= 5*-(-l)"zsina*-
-cosa*(.,3e +сгзе"0
(черта означает комплексное сопряжение). Пусть /j = fi„ + 2n{j - 1)/Z, тогда угфугое сближение равно 5*- (- 1) "z sina* + 6 л, где
6„=-cosa*(c23e+C23e""). Уравнение осевых колебаний маховика имеет вид
Рассматривая вибрацию в подразд. 3.6, мы предполагали, что z, 6i, 62 много меньше 5* и после линеаризации правой части (3.191).
(б*-(-l)"zsina* + S„)" "«<б°"(1 + пришли к уравнению осевой вибрагщи z + co/z=/(0,
3 (-Dz sina*+.6„
(3.192)
где coz - собственная частота осевых колебаний маховика; ДО - вьшуж-дающая сила, пропорциональная 51 -82.
При вращении вала шарики вместе с сепаратором вращаются вокруг оси узла с некоторыми угловыми скоростями coci и сОс2 для левого и правого подшипников соответственно, причем в первом приближении coci = = С0с2 - • Следовательно, именно 5i и 52, являясь периодическими функциями времени, вызывают высокочастотную вибрацию маховика. При таком подходе полностью игнорируется нелинейность роторной системы, в частности нелинейность закона Герца, и, естественно, модель (3.192) биений не описывает.
Теория биений, излагаемая в данном подразделе, основана на двух положениях: нелинейности закона Герца, а также различии углов контакта а и а и их изменении во времени, вследствие чего различны и переменны угловые скорости coci и сосг- Опишем качественно причины низкочастотных автоколебаний роторной системы, наблюдаемых экспериментально и интерпретируемых как биения. Отклонения формы колец обусловливают смещение маховика от положения равновесия на (Si - S2)/(2sina*). При этом среднее значение Zq смещения вследствие нелинейности закона Герца не равно нулю. Следует также отметить, что значение Zq зависит от разности угловых скоростей сОс2 - Wci
Смещение среднего значения положения равновесия изменяет средние
значения углов контакта а и , что влечет за собой изменение разности
Таким образом, либо все изменения со временем устанавливаются, тогда наступает самосинхронизация, либо процесс не устанавливается, тогда он имеет автоколебательный характер, т. е. в системе наблюдаются биения.
Перейдем к расчету параметров движения маховика. Введем переменную и по формуле
(3.193)
где/, =5,/(25*); /2=62/(26*).
Уравнение (3.191) можно записать в виде
tOz 3/2 3/2
"+/2-/, = - [(1+Л+/2-и) -(I+/1+/2+") ]. После линеаризации в окрестности и = О
W + COz (l +
)и=/l-/2.
(3.194)
В этом уравнении, в отличие от (3.192), имеется множитель 1 + (fi +/2)/2, характеризующий переменную жесткость узла и подтверждающий нелинейность закона Герца. Заметим, что уравнение, аналогичное (3.194), но более общее, было получено при рассмотрении параметрического резонанса в подразд. 3.6.
Поскольку смещения шариков в окнах сепаратора не учитываем, угловая скорость центра шарика одинакова для всех шариков и совпадает с угловой скоростью сепаратора
СОс = Л2П/(2Л*),
(3.195)
где П - угловая скорость маховика; /?2 и R* - расстояния от оси вращения маховика до точки контакта шарика с внутренним кольцом и до центра шарика соответственно.
Значение R-i, = pt Pi (1 - cosa) зависит от угла контакта. Изменение угла контакта а" в и-м подшипнике при осевом относительном смещении Z колец
Да= -zcosa*/v*,
где V* - расстояние (в состоянии предварительного натяга) между центрами кривизны сечений наружного и внутреннего колец плоскостью, проходящей через центр шарика и ось узла.
Значение Л2 = р1 + pi - cos [ (-1) " а* + Да] « 2* + (-1)"Х Xsina P2A.0L Из этого выражения и формулы (3.195) следуют формулы для угловых скоростей со, cjc2 сепараторов левого и правого подшипников:
Wen = "с
l-(-l)
р1 sin 2a*z
2v*[p» +J>? (1 - cosa*)]
где со* - номинальная угловая скорость сепаратора, равная R*ni{2R*).
Орбитальное движение шариков и вращение сепараторов описываются уравнениями
„ p°6*cosa*
Кв = сОс- ,
[Pl+Pl (1 - cosa*) ]v*
Вследствие учета лишь отклонений формы дорожки наружного кольца /1 и /2 являются известными функциями углов ifii = if) - eviif)2=>P + 0. Итак, приведенное осевое смещение и маховика, полусумма Р и полуразность в углов поворота сепараторов удовлетворяют следующей системе уравнений:
Для дальнейшего анализа используем наиболее простой вид функций /1 и/2 (черта сверху означает комплексное сопряжение) :
fn=a„c» +а„*"; и=1,2; д„ =-сгзС08а*/(25*).
(3.197)
Этот вид соответствует наличию только Z-й гармоники отклонений формы наружного кольца. При s = и v = Z6 система (3.196) принимает вид
+ т?Ч1 + f2 (V ) е" f2 (V) е-]м= - [f, (v) е + f,(v ) е-*] "; (3.198)
v = -e[« + ri(v)e + f,(v)e "],
r} = 0JzKZojt); e = Kelut; ri(v) =д2е"-Д1е"
Г2(У) =0,5(й2е"+а,е "),
a штрихом обозначено дифференцирование по безразмерному времени х. Значение е для приборного шарикового подшипника имеет порядок 10", поэтому при решении первого уравнения системы (3.198) v можно считать практически постоянным параметром. Решение ищем в виде
- IS , ~is
(3.199)
где Uo и «1 - медленно меняющиеся функции, причем Uo - вещественно-значная, а Ui - комплекснозначная.
Смысл зтих функций следующий: Uo определяет медленное смещение среднего значения положения равновесия, 2\Ui\ - амплитуда высокочастотных колебаний, argu, - фаза зтих колебаний. Подстановка (3.199) в первое уравнение (3.198) с учетом малости ио , иЦ , ии и" и приравнивание постоянных составляющих и коэффициентов при дают
Ио=2Ке(Г,Г2)/т?;
"1 = (Г1 -Г2т?«о)/(т? - 1);
т,- 1 n
(3.200)
Формулы (3.199), (3.200) описывают вынужденные колебания. Слагаемые, обусловливающие собственные колебания (решения однородного уравнения), не приняты во внимание вследствие наличия демпфирования в подшипниковом узле, которое мы для упрощения уравнений не учитываем. Формулы (3.199), (3.200) являются приближенными, поскольку коэффициенты при старших гармониках в разложении и не учтены, хотя они не равны нулю. При параметрическом резонансе собственные колебания могут и не быть погашены демпфированием, однако в подшипниковых узлах, как правило, условия параметрического резонанса не вьшолняются. После подстановки выражений (v) и 2 (v) в формулу (3.200) для Мо приводим ее к виду
"о =
1а, I -la, I
- Й2 COS 2(v- 7)
(3.201)
где qi =77 i 0,57?(k, + 12 I) ; ?2 = t? a,a2 I; 7 = 0,5(argai - argaj).
Выражение в знаменателе (3.201) может обращаться в нуль, что соответствует резонансу (не параметрическому), мы же рассматриваем режим, при котором резонанса нет.
Подстановка выражения (3.199) во второе уравнение системы (3.198) приводит к уравнению
Для приближенного решения (3.202) проведем усреднение по "быстрому" времени s. В результате получим сумму медленно меняющейся функции и быстрых осцилляции малой амплитуды:
v = vo (о) + ev, (о) е" + eV, (а)е\ (3.203)
где о = ех - "медленное" время. Подстановка (3.203) в (3.202) с учетом только членов нулевого порядка по е дает уравнение для определения vq :
(3.204)
do q - jcos 2(v„ - 7) и выражение для v,:
V, =-/[u, (Vo) +ri(vo)].
Итак, задача о биениях свелась к уравнению (3.204), решение которого удовлетворяет следующему алгебраическому соотношению:
i(vo - г) - 0,52sin2(vo -7) =С(а-ао),
(3.205)
гдеС= 121 - 111; Оо - константа интегрирования.
При отсутствии резонанса левая часть этого уравнения является возрастающей функцией, поэтому (3.205) однозначно решается относительно vq. На рис. 3.21 приведены характерные графики функций vq (а) (штриховая линия) и у (а) (сплошная линия), причем v отличается от vq лишь высокочастотными колебаниями малой амплитуды порядка е.
