где - нагрузка в контакте в состоянии предварительного натяга.
Определим слагаемые, квадратичные по отклонениям геометрических параметров и линейные по координатам:
Пз, = - (-1)" Б 1 [(xcosa* + i-l)"m cos; +
86* „=1,2 /=1
+ Cvcosa* - (-!)"/«) sm,>; - (-l)"zsma*] (/„У.
При учете этих слагаемых в правой части системы (3.167) появится слагаемое
ЗР* -
П= 1,2/=1
- cosa:*cosi/y
- cosQ!*sini" (-l)"sma*
(-l)"/sin -(-l)"/cosi/f
(3.185)
Определим его спектральный состав.
Воспользуемся комплексной формой (3.1) разложения отклонений геометрических параметров колец в ряд Фурье и введем комплексные амплитуды
= (cosa*- 1)ск"т + (-l)"cosa*c,V.,„)- (-1)"""х X sma*c;t(4 + т)
Обозначим Um ~ <с -т- Тогда 182
(Рп) = <\ sf ехр I /• (2sc07*/ + а/ )
Б Б Q«exp m= 1, 2 к = -оо
= Б Б dPj dj ехр j / [2 (. -h Л) со,*Г + а у- -h ajj ]
i= -оо Л= -оо I
оо ОО
-Ь2Б Б Б djQmexp /[(2sco7*+Лсо)/-ь т= 1, 2 Л= -оо j= о
+ Ло2 + а?/ + л (/- 1)][ + 2 Б Б Q,"," X X ехр /[(Лсо! -I- SC02) f + (Л s) V00 +(* + «) О - 1) ]
оо оо
+ Б Б Б СА:;;,С,„Гехр \ i(ks)X m=i,2fc=-0° s= -00
(3.186)
В зтой формуле слагаемые (колебания) обусловлены взаимодействием различных деталей подшипника с отклонениями геометрических параметров: первое слагаемое - взаимодействием шариков с указанными отклонениями; второе - взаимодействием шарика и колец; третье - взаимодействием наружного и BHjrrpeHHero колец; четвертое - взаимодействием одноименных колец с отклонениями геометрических параметров.
Определим дополнительный спектр радиальных и угловых колебаний, обусловленный первой, второй, четвертой и пятой строками выраженга (3.185). Если воспользоваться формулами Эйлера (3.172), то слагаемые первых двух групп в (3.186) приводят к появлению частот вида
2(5 + Л)С07* ± со*; 2SCJ7* + ки>гп ± "с-
Умножение на cosi/ , sini/: , эквивалентное умножению на е*/ - = ехр ±/ j [со*/ + (»оо + -(/ - 1) ] , приведет к появлению в третьем и
четвертом слагаемых в (3.186) сомножителя ехр j(s+ Л +1 ) 27г(/ - l)/zj. Но поскольку в (3.185) ведем суммирование по /, то ненулевыми будут лишь те слагаемые, для которьсс s + Л ± 1 = rZ. Поэтому третье слагаемое в (3.186) дает спектр вида fcco, + scoj ± со* ,гдеs± l=rZ,r - целое
число, при этом либо Wi, либо W2 равно со*. Пусть для определенности (выводы от этого не изменятся) coi = со* , coj = со* - fi. Тогда
Четвертое слагаемое в (3.186) имеет спектр, состоящий из частот вида
(к + s) СОт ± = (rZ + 1) com ± со*= rZcom + (oJm - , или, в более полной записи,
rZ(co*-fi) ± fi, т = т.
Таблица 3.4
{k + s)<m ± =
Найдем дополнительный спектр осевой вибрации, обусловленный параметрами в третьей строке выражения (3.185). Первое и второе слагаемые в (3.186) обусловливают частоты вида
2(s + fe)607*; 2soj* + k<uim.
Третье и четвертое слагаемые не равны нулю при Л + s = rZ, а их спектр состоит из частот fecoi + ХСО2, {к + s) сот - rZcom. Представив А; и s в виде
в табл. 3.4 приведены собственные частоты вибрации в кубическом приближении, которые отличны от частот, содержащихся в табл. 3.2.
Применение изложенного выще метода разрежения осевого спектра ведет также к разрежению спектра в квадратичном по отклонениям геометрических параметров приближении.
Параметрические колебания ротора. Слагаемые, квадратичные по координатам и линейные по отклонениям геометрических параметров в выражении (3.184) для П, имеют вид
ЗР* Г
Пз2=- Б S [xcosa*+(-1)"/3] cosi/; +
86 л= 1, 2 /= 1 L
Угловая частота вибрации
Взаимодействующие
осевой
радиалыюй и угловой
детали
2fcto* + s(u>*- 12)
2sto* + A:(cj(, - 12) ± со* 2SU!* + fccjj
Шарик - кольцо ротора Шарик - кольцо ста-
pI2 + i,ZcjJ+Sj2(toJ- n)
s2toJ - кп
тора
Наружное кольцо - внутреннее кольцо
Примечание. A, s, p, s,, - целые числа.
+ [;»;cosa* - (-1)"/а] sin,>; - (-l)«zsma*
П
Наличие полученной составляющей потенциальной энергии приводит к появлению в уравнениях движения произведений отклонений геометрических параметров и координат. Это значит, что матрица коэффициентов системы дифференциальных уравнений движения ротора (интерпретируемая как матрица жесткости) зависит от отклонений геометрических параметров D", Ту, которые вследствие переменности углов уГ, у" зависят от времени. Это приводит к тому, что в системе при определенных условиях могут возникнуть либо параметрический резонанс, либо биения низкой частоты.
Для простоты ограничимся рассмотрением только осевых колебаний, т. е. положим X = у = а = fi = 0. Тогда справедлива формула
!1= -Jzsma* Б I/>((-!)"«*; Эг 46 п=1,2 /=1
ЛГЛ2")= zsmV(5/+5,). 46
Уравнение собственных осевых колебаний при = О имеет вид ЗР* -,
46- 2Zsina
Разделим обе части этого уравнения на :
ЗР - - Г- 1 1 "if
Mrz +[Kz+ ~ (Di +/)/) sina*] z= JLii li(5/ -5/).
z + h,z + со/ [ 1 + />,(0] = 0z -Dz).
2Zsina
(3.187)
Здесь введено обозначение (О = (D +D*)/(4Z8*) и учтено наличие демпфирования (слагаемое hz, определяемое экспериментально).
Общее решение линейного уравнения (3.187) складывается из частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного (с нулевой правой частью). Рассмотрим лишь однородное уравнение
z+hzZ + coill+Pz(.t)]z = 0
(3.188)
и определим условия, при которых его решение описывает параметричес- ! кий резонанс.
Функщш Pz(.t) задается тригонометрическим рядом, коэффивденты которого зависят ог отклонений формы и размеров колец и шариков. Спектр этой функции совпадает со спектром правой части уравнения
(3.187) и, следовательно, со спектром собственной осевой вибрации (см, ) табл. 3.2). Последний же состоит в общем случае из трех серий угловых чао- тот, кратных CJ* , - со* , 2со* . Решение уравнения (3.188) при = О, м Pzit) - /coscor (уравнения Матье) описывает параметрический резонанс при близости угловой частоты со к частотам вида 2сог/и» п - натуральное число. Аналогично уравнению Матье, решение (3.188) может также описывать параметрический резонанс.
Исследуем основной параметрический резонанс (и = 1). Предположим, что в функцию (О в качестве слагаемых входят гармоники с частотами 2со2 + 2е, близкими к удвоенной собственной частоте осевых колебаний (е < Icol). Вследствие того, что функция Pit) содержит серии кратных частот, в ней могут содержаться также гармоники с частотой со + е:
Pz it) = Yo2 cos(2coz + 2e)t + 602 sin(2coz + 2e) Г + roi cos(coz + e) f + 6oism(coz + e)r-bFo(0.-
где коэффициенты 7o 1) 7o2, 601 ,602 вычисляем из формулы (3.171) для Dz , причем Poit) - функция времени, в разложение которой не входят слагаемые с частотами coz + е, 2coz + 2е. Будем искать решение уравнения
(3.188) в виде
z = a (г)cos(coz + e)t +Ь(0sin(coz +e)t + c(t),
где a (г) ,b{t), c{t) - медленно меняющиеся функции времени.
Подставим z(r) в уравнение (3.188) и пренебрежем вторыми производными по времени от функций а, Ъ, с вследствие их малости:
- 2а (coz -ь е) sin(coz -ь с) Г - в (coz + е) cos(cOz + е) Г +
Пренебрежем вследствие малости членами порядка e/coz и после преобразований получим систему с постоянными коэффициентами, линейную относительно медленно меняющихся функций д, Ъ, с
Согласно теории систем линейных дифференциальных уравнений с постоян-ньюли коэффициентами, решение (3.189) представим й виде линейной комбинации экспоненциальных, функций от произведения времени на характеристические числа матрицы, соответствующей данной системе. Характеристические числа связаны с амплитудами отклонений геометрических параметров посредством 702, §02, 7oi, 601, коэффициента демпфирования и е - разности возмущающей и собственной частот. Предположим, что hz =0. Тогда последнее уравнение (3. 189) становится алгебраическим. Выразив из него с и подставив в первые два уравнения, получим систему двух дифференциальных уравнений относительно а и Ь. Его характеристические числа
Х=±
«0 +~Уо1
(Г01 + 8о\) +
+ - (5о1 Го2 - 2701601602-Го1 Г02) i
(3.190)
Если выражение в фигурных скобках положительно, то одно из чисел X также положительно, и, следовательно, амплитуды а, Ъ являются экспоненциальными функциями. Это, в частности, достигается при больших значениях коэффициентов 5о2 и 702, непосредственно связанных с амплитудами гармоник отклонений геометрических параметров, которые порождают частоту, близкую к 2coz, и при точной настройке на резонанс (т. е. при e/coz « 1). Когда подкоренное выражение отрицательно, характеристические числа чисто мнимые, что соответствует медленному гармоническому
