От тороидальной (для колец, закрепленных на роторе)
Уравнение осевых колебаний ротора
Z + uiz= Б арcosicjpt + ар) + bp %\n{oipt + Др) . (3.175)
Частное решение этого уравнения дает известная формула
Z = 2 -"-- cos(a)pf + ар) + --sin(wpf + /Зр).
р О)/ - и>0 -
Сюда следовало бы добавить общее решение однородного уравнения (3.175) (с нулевой правой частью). Однако в реальных узлах, например, из-за трения в контактах шарик - кольцо, имеется небольшое демпфирование, приводящее к появлению в левой части уравнения члена hxZ, где - логарифмический декремент колебаний. Вследствие этого общее решение однородного уравнения является затухающей функцией и, следовательно, не влияет на вибрацию. Подставив найденное решение в первую формулу (3.174), получим
1 т
-----cos (wpr + а„)
(w/ - u,p)»
lar,b
pDpip
("# -
z - "p
- <x>%(wpt + ttp) sin(a)pf + /Зр) +
+ 2 S
Шр CJ
p, q iz - p ) ("г* - ) P*4
X [apfe,cos(wpf + Up) %\a{Uqt + Pq) + apu,cos(Wpr + ap) X
При получении этой формулы учитывали, что средние по времени значения cos (copf + ар), sin (сорГ + /Зр) равны 1/2, а средние значения сомножителей, стоящих в квадратных скобках, равны нулю.
Оценим среднестатистический уровень осевой вибрации, считая, что
моменты перечисленных случайных величин не зависят от « и /. Обозначив <%> среднестатистическое значение %, получим
<К> =
+ - S
2Z sinа*
<dk>{2kw*) 2 ------"t*
к (ш/ - 4A:u;*) <Акт > + <вкт>
8 k = sZ т= 1,2 -кПт - <t)]" Хк\Пт-с*,)]. (3.176)
Использовав формулы (3.63), получим выражения для <Afm>,<Bkm>-
<Акт > <Врт>
+ sina*
= (cosa* - 1)
<akl4 + m)> <bk(4 + m)>
<akm>
+ cos a*
<bkm>
<ak\2 + m)> <bk\2 + m)>
Аналогично можно получить выражение для среднего уровня радиальной вибрации
Zcosa*
<dkb (2kco* + cot) * <Vm> + <Bkm>
2 2
(3.177)
Как видим, общий уровень вибращ1и зависит от близости собственной частоты к спектру вибращ1и.
Одна из важных практических задач - снижение общего уровня вибрации узла. Как следует из формул (3.176), (3.177), этого можно достигнуть, либо уменьшая погрешность изготовления колец и шариков, либо рациональным выбором конструктивных параметров и усилия осевого натяга. Для узла, имеющего неоптимальную конструкцию, спектр вибрации можег оказаться настолько плотным, что не будет свободного диапазона для помещения в него собственных частот cjz, сог- Поэтому задача конструктора - по возможности разредить спектр собственных колебаний.
Рассмотрим осевую вибрацию. Исследуем возможность разрежения спектра осевых колебаний в соответствии с теорией В.Ф. Журавлева.
Кинематическая угловая скорость сепаратора
(3.178)
Аналогично
П-ш*=<72П=(1- <7i)n,<72 = 2R*R*
R*+R*
(3.179)
Для разрежения спектра осевой вибрации, состоящего из частот вида sZq iSl, sZqiQ., IsqQ., необходимо, чтобы три указанных множества пересекались. Это дистигается, если qiMi, qsMi - рациональные числа. Подставляя формулы
R,* = R* + 0,5р7° cosa*; R=R* - 0,5р? cosa*
(R* - радиус окружности, проходящей через центры шариков) в выражения для <7i ,q2,Q3f получаем требование рациональности чисел
R* + 0,5cosa* /г* + 0,5p?cosa*
R* - 0,5р? cosa*
Fl I
иличисел- cosa* и- + 0,5cosa*, или чиселp?/*. cosa*. Заметим,
R* p»
что максимальное число шариков в подшипнике (без сепаратора, когда соседние шарики касаются друг друга)
тах ~-
2-nR*
arcsin(p,V(2/?*)l
Таким образом, для разрежения осевого спектра можно рекомендовать такой выбор параметров, чтобы PtJR*, cosa* были рациональными и, кроме того, значение Zax допускало размещение в комплекте заданного числа шариков Z{Z < Zjnax). Поскольку а* не является исходным конструктивным параметром, а зависит от осевого натяга, то для приблизительной оценки при небольших начальных углах ао контакта достаточно, чтобы число costto бьшо рациональнь»!.
Задача разрежения спектра радиальной вибрации более сложная, однако для ее решения необходимо удовлетворить условию разреженности осевого спектра. Предположим, что мы добились совпадения отдельных частот радиальных колебаний. Пусть эти колебания возбуждаются кольцами на роторе и статоре (см. табл. 3.2). Тогда существуют целые числа Г1,Г2, ... и г/, Гг,... и т.д., такие, что
TiZw* =?-iZ(n-a)*) -П;
?-2Zcj* =A-2Z(n-w*)-П.
Вычтя второе равенство из первого, получим
(г, - ) W* = (rl - ri) (П - CJ*) .
Отношение (П - cjDIcjI = 2/1 равно рациональному числу (fl - Г2)Кг{ - rl ). Пусть частоты колебаний, вызванных отклонениями формы и размеров шарика и колец статора, совпадают. Тогда при некоторых целых Л и S (см. табл. 3.2) должно выполняться равенство
Приведенные рассуждения не дают однозначного ответа на вопрос, какими должны быть рациональные числа cosa* и Р7/Л*, чтобы конструкция была оптимальной. Однако учет того, что указанные величины рациональны, уже позволяет обеспечивать частичную оптимизацию. Рассмотрим один из способов выбора параметров, позволяющий достичь значительной степени разрежения, во всяком случае для спектра осевой вибрации. Примем для частот, приведенных в табл. 3,2, условия
(3.180)
где / - рациональное число; со - абсолютное значение угловой скорости движения сепаратора относительно т-то кольца.
Очевидно, при соблюдении условий (3.180) три набора частот из табл. 3.2 сводятся к двум, обусловленным отклонениями геометрических * параметров внутреннего и наружного колец. Используя формулы (3.178), (3.179) и условия (3.180), можно записать при т=2:
При любом / > 1, как легко проверить, выполнено необходимое условие
2itR*
>2(
- cosa*).
Из соотношений (3.181) найдем
cosa = - (/ - 1) 4
(3.182)
Поскольку обычно Z > 4, то / должно удовлетворять неравенству 1 </ < 2.
Пусть / = piq - несократимая дробь. Тогда в диапазоне первых р частот колебаний, возбуждаемых отклонениями геометрических параметров внутреннего кольца, имеется {q - 1)-я частота, обусловленная отклонениями параметров наружного кольца. Следовательно, относительная плотность (на р частот внутреннего кольца) результирующего спектра равна
р + <? - 1 q - I
- - 1 +- , /
При фиксированном q параметр р принимает значения + 1, -, 2q - 1, позтому минимальная плотность спектра, достигаемая при р = 2 -1, равна 1 + ( - \)l{2q - 1). Последняя величина монотонно изменяется в зависимости от и достигает минимального ненулевого значения 4/3 при q = 2. Тогда p = 3,j= 3/2 и необходимо, чтобы cosa* = Z/8.
При этих параметрах достигается наивысшая степень разрежения спект-
Таблица 3.3
2R*lp°
max
(p + q -
-DIP
60,00
2,500
1,333
51,32
3,125
1,333
41,41
3,750
1,333
28,96
4,375
1,333
70,53
2,333
1,500
65,38
2,917
1,500
60,00
3,500
1,500
54,31
4,083
1,500
48,19
4,667
1,500
41,41
5,250
1,500
33,56
5,833
1,500
23,56
6,417
1,500
48,19
2,667
1,400
33,56
3,333
1,400
pa осевой вибрации. В табл. 3.3 приведены характеристики некоторых подшипников, рассчитанные по данной методике.
При получении уравнений (3.167) были учтены квадратичные члены в разложении потенциальной энергии. Перейдем к рассмотрению спектра вибрации в кубическом приближении. Учет кубических слагаемых приводит к обнаружению некоторых новых эффектов. Кубические слагаемые распадаются на четыре группы:
первая группа - квадратичные по отклонениям геометрических параметров и линейные по координатам;
вторая группа - квадратичные по координатам и линейные по отклонениям геометрических параметров;
третья группа - кубические по координатам;
четвертая группа - кубические по отклонениям геометрических параметров.
Слагаемые четвертой группы не войдут в уравнения движения, поскольку их производные по координатам равны нулю. Учет слагаемых второй группы приводит к тому, что в системе оказывается возможным параметрический резонанс.
Спектр собственной вибрации в кубическом приближении. Потени>1аль-ную энергию ротора на двух одинаковых подшипниках вычисляем по формулам (см. подразд, 2.2): , ,
