рических параметров кольца [см. (3.1)], то угловая частота колебаний силы, обусловленной этой гармоникой, равна к{0, - со") и Л:со*" при отклонениях формы и размеров кольца ротора и кольца статора соответственно. Кроме того, имеется составляющая )шругой силы, обусловленная отклонением от сферической формы шарика. Так, к-я гармоника в разложении в ряд Фурье значения диаметра шарика приводит к силе, действующей с частотой 2ки*", где со*" - угловая скорость собственного вращения шарика в системе координат, вращающейся вместе с центром шарика так, что линия контактов в зтой системе неподвижна. Величину со *" получим, воспользовавшись выражением (3.14) для со/ и перейдя в указанную систему, угловые скорости колец статора и ротора в которой равны - со*" и - со*" соответственно. Тогда
со*" = ± [R~ (П - со*") + Я*тУс"].
(3.164)
где т„ {т„ - номер кольца, закрепленного на роторе (статоре).
Если выбрать fc < 5, что почти всегда соответствует гармонике с наибольшей амплитудой, то четвертое предположение вьшолнимо только при
> 5тах(со*", П - со*", 2со*")
для любого п. кроме того, даже гармоника с большим порядковым номером может возбудить колебание шарика в том случае, если обусловленная ею частота является резонансной. Поэтому для вьшолнения четвертого условия необходимо также, чтобы частоты \/К„1ть, y/Ki" /ть не были кратны ни одной из частот со*", со*",2о>".
Вследствие сделанных предположений действующие на ротор силы сводятся к упругим силам, действующим со стороны шариков. Последние же обладают потенциальной энергией, причем шарики между кольцами подшипников находятся в равновесии под действием упругих сил. Поэтому можно пользоваться выражениями для потенциальной энергии узла, полученными в подразд. 2.2.
Указанные вьпые предположения лежат в основе теории вибрации ротора на шарикоподшипниках, разработанной В.Ф. Журавлевьпл. Изложим основные результаты зтой теории, относящиеся к ротору на двух одинаковых шариковых подшипниках (см. рис. 1.13) как наиболее распространенному узлу.
Обозначим А, С,М соответственно продольный, поперечный моменты инерции и массу ротора; О., Л, О, - проекции угловой скорости на оси,
связанные с ротором [см. формулу (3.23)] ; х, у, z - координаты центра масс ротора в неподвижной системе; а, , у - углы поворота ротора; Fj, Fy, F - внешние силы, приложенные к ротору, а Q, Q, - обобщенно
ные силы, выраженные через моменты внешних сил М.М.М, действующих на ротор. Для Qa, Qp, Qy были получены выражения (3.25). Кинетическая энергия ротора
Г= 0,5>т + 0,5С(П + П) + 0,5М, (х-н у + ?) = = 0,5vl(cisin + r) +Q,5C(acos0 + )+0,5М(х +у +?). (3.165) Уравнения движения ротора (уравнения Лагранжа второго рода) запишем в виде
dt Ъсц
ЭГ Э<7,-
эЯ э<г,-
= Qi.
(3.166)
где / = 1 ... 6, а (q, Q,-) принимают последовательно значения {х, F), (у, Fy), (z, F), (а, QJ, iP, Qp), {j, Qy).B дальнейшем будем считать, что моменты сил, обусловленных отклонениями формы и размеров дорожек качения [см. (3.50)], нМ настолько малы и (или) продольный момент инерции ротора настолько велик, что угловая скорость ротора постоянна (у = Я). В этом случае достаточно рассмотреть пять первых уравнений системы (3.166). Без учета слагаемых d/df(9r/6q/ ) - 6J/6q; уравнения (3.166) совпадают с уравнениями статики ротора на двух подшипниках. Вычислим указанные слагаемые в четвертом и пятом уравнениях:
d дТ ЫТ d . . ,
- ( - ) - = - [Аsinj3(asin/3 + П) + Cacos/3] » dt За За dt
Здесь мы считали, как и ранее, что о;, р « 1, и пренебрегли вследствие малости членами квадратичными и более высокого порядка, обусловленными перекосами. Для описания движения ротора воспользуемся уравнениями статики (3.85), добавив к ним инерционные слагаемые
Мгх +Кгх = -(-1)-.Фх D)+Fx; Z cosa
МгУКгУ = -(-\) -1фу +D)Fy; Z cosa
MrZ+KzZ= (-1)
2Zsina
-(5 -dD+Fz-,
(3.167) 171
гдеН = АО. - кинетический момент ротора; £)/ ,£>",£)" (и = 1,2) -функции времени.
Действительно, в вьфажения (3.60) - (3.62) входят углы Ущ поворота колец и углы ifo поворота комплектов. Но ущ = Q.t, 7,5? = О, а = w* следовательно, правые части (3.167) являются функциями времени в виде суммы кратных гармоник. Рассмотрим вибрацию ротора при отсутствии внешних возбуждающих сил и моментов. Введем обозначения:
"г
fJl [kZ Н
где СО;., сог, со о, - собственные частоты радиальных, осевых и угловых колебании ротора (при П = 0),
Таким образом, вибрация ротора на двух одинаковых опорах описывается системой дифференциальных уравнений: ч т + 1
X + со; X = СОг
(-1)
Z cosa*
У + = фу +D);
Zcosa
m.+l
Z + CJz Z =
(-1)
2Z sina*
(3.168)
OC + OJ + coi ОС = ui ---ф-D}) ;
Введем плоскость, проходящую через ось подшипника и линию контактов. Вследствие качения шарика по окружности наибольшего радса угол iij его поворота вокруг линии, лежащей в этой плоскости и перпендикулярной линии контактов в системе отсчета, вращающейся относительно оси подшипника с угловой скоростью со*, зависит от времени: ф/ = со*t + i /o. Запишем выражение для вычисления отклонений от сферической формы шарика, используя комплексную форму представления ряда Фурье и формулы (3.4):
р7/(¥)= S d/c/exp i{2k\jf+aic7j)
Здесь doj = AoTj - р°; dicj = d fc/; акт/ = -°-к-у> kf =А:7 2 - половина амплитуды к-й. (к > 1) гармоники. Вследствие вращения шарика рт/ является функцией времени:
»палт.\1.уп. j ..---"Г-------
Используя действительную форму разложения отклонений формы и размеров колец, для функций времени, входящих в правые части (3.168), получаем явные выражения:
Р -0a+uip=ui
(-1)
т + 1
-Ф1-о).
Для определения вида фуш<ций, входящих в правые части зтих уравнений воспользуемся формулами (3.64) - (3.66), в которые подставим следующие вьфажения для углов поворота колец и комплектов:
0т = т, 0,т = т ,
где - угол поворота л-го комплекта в начальный момент времени. 172
б"it) = - S S 4jexp I г(2Лсо7* + со*) Г + i [ак" + "о + 2/ = 1 к = ~«,
+ ехр iilku* - со*) Г + I [- vo -
(/ - 1) ] I + - 2 Б ( Лктсов iikOm -
/ 2 k = sZ~\ т=1,2
- (fc + 1) со*) Г - (fe + 1) о"о] - Skm Sin [ (fefim - (fe + 1) coj) Г -
-(fc+1)00]
(3.169)
Dy" it) =
1
- S S ciA- <exp
+ i[ak" + Poo +
2/ /=1 A:=-2я
?fe"/ 4
i(2feco7 + tOc) +
(/-1)]
- exp
2(2feco7 - co*) r +
+ i(akf-00- -(/-1)] j
+ - X
X 2 S
k=sZ-\ m= 1.2
-im COS [ikOm - (fe + 1)CO*) t-ik+\)oo] -
-licm Sin [ (Шт -{k+D CJ*) t-(k+l) ¥7oo ]
f=l k= - a> L
(3.170)
2k=sZ m = i,2 N L
- ffk sin fc [ (i2« - CO*) t - o"o ]
(3.171)
При получении этих выражений были использованы известные формулы Эйлера:
cosi/)=-; sini/) =
(3.172)
Отсюда можно получить выражение дня правых частей системы уравнений вибрации. Однако уже сейчас видно, что спектр вибрации правых частей является дискретным. Видно также, что спектры правых частей в уравнениях радиальной и угловой вибрации одинаковы. Согласно свойствам систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, спектр вибрации совпадает со спектром правых частей в нерезонансном спучае. Как следует из системы уравнений (3.168), осевые, радиальные и угловые колебания ротора независимы. Это свойство присуще только узлам с одина-KOBbmiH опорами, поскольку именно в этом случае перекрестная жесткость Кх р, связывающая радиальные перемещения с угловыми, равна нулю. Однако в любом узле осевые перемещения не зависят от перемещений по другим направлениям.
Собственные частоты угловых колебаний находим из двух последних уравнений системы (3.168) с нулевьпли правыми частями. Представим решение соответствующей однородной системы в виде
«о "
/3(0
и, подставляя в уравнения, получим
СОа - iCJa
-JC0S2q CJa -
Отсюда, приравнивая к нулю определитель (поскольку нас интересуют нетривиальные рещения), получаем уравнение
из которого находим собственные частоты . I «1,2,3,4 = ±0,5[S2„±V"i +4coJ). (3.173)
Используя выражения (3.169) - (3.171) j\flSirPx,Dy,D", можно описать спектр собственной вибрации. Из табл. 3.2 следует, что не все гармоники отклонений формы и размеров колец дают вклад в спектр вибрации. В спектре радиальной и угловой вибрации присутствует угловая частота со*, обусловленная разноразмерностью шариков в комплекте (fc = 0). В этом спектре имеется также угловая частота О., обусловленная первой гармоникой отклонений формы и размеров колец, закрепленных на роторе. Поскольку смещения при посадке колец на ротор также дают первую гармонику отклонений [см. формулы (3.81)] , то они непосредственно влияют на спектр и уровень радиальной и угловой вибрации. В то же время смещения при посадке колец в статор, как следует из табл. 3.2, приводят к колебаниям с нулевой частотой (s = 0), т. е. к постоянным слагаемьп! в радиальных и угловых перемещениях.
При совпадении собственной частоты coz с одной из частот осевой вибрации (см. табл. 3.2) наступает резонанс в осевых колебаниях. При совпадении же собственной частоты со. или собственных частот угловых колебаний [см, (3.173)] с частотами радиальной и угловой вибрации, приведен-нъшя в табл. 3.2, возникает резонанс в радиальных и угловых колебаниях.
Уравнения движения позволяют рассчитать уровень собственной вибрации ротора. Ограничимся рассмотрением осевых и радиальных колебаний, обозначив Vz и Vf соответственно уровни осевой и радиальной вибрации (средние квадратические значения ускорений). По определению,
K/=lim- ](zydt;
F?=lim -Lf[(x) +(Л]rf
(3.174)
Правую часть третьего уравнения (3,168) представляем в виде суммы гармоник
(-1)"cj
----ф] -Dz) = -Lapcosiupt+ocp) + bpsm{o3pt +Рр),
2Zsina р
где Др, bp - амплитуды; рр - фазы; р - целое число; сОр - частоты, указанные в табл. 3.2.
