Это уравнение служит для определения абсциссы входной границы контакта, i
Таким образом, если задан режим движения сепаратора (т. е. заданы скорости «1, «2. и), то, зная толщины пленок на каждой из поверхностей при входе в контакт, можно найти расход q, а по нему Ь = VW(«o) - 1-Из уравнения же (3.149) находим значение Jj. Однако это уравнение не имеет аналитического рещения, В дальнейшем рассмотрим два предельных случая - обильное смазывание и масляное голодание, при которых удается найти приближенное решение уравнения (3.149). а
Со стороны смазочной пленки на сепаратор действуют: "
нормальная сила Р= ( !)«+ ьеу jWsgn(x2 -X,); момент относительно центра контакта М= (-l)""- »й,ег J%xdxsgn(x2 -X,); касательная сила
(3.150)
(3.151)
+ -( - +
) S pxdx]X
X n(X2 -Xi).
(3.152)
Используя введенные выше безразмерные величины, эти три формулы можно записать в виде
ill МА,
V.\u\Rr bs
= (-1)" Vp«i,b)e,;
= 2(-l)"(S,,b)e,;
H\u{Rsr bs
№.b).+
Rr ~ Rs
(3.153) (3.154)
fmai,h)]ex, (3.155)
(3.156)
Заметим, что sgn(b - ?i) = sgn(x2 -x,) = «nu.
Ярм обильном смазывании i = Из уравнения (3.149) численно найдено Ь = 0,47513. Следовательно,/ = ql{uha) = 1 + Й = 1.2257. По (1)0рмуле <7 = 1,2257ийо определяем максимальный расход смазочного материала за единицу времени. Значения коэффициентов
/р « 4,89; fm 4,6; «2,85 (3-157)
были найдены численным интегрированием (3,156).
При масляном голодании i , ?2 I «1- Пренебрежем величиной % в знаменателе подьштегрального выражения в (3.149), тогда
f 51) = ( il - Й?) = (11 - %1) - %1 (Ь - =
«1 3
= -(Si +2b)(Si -%г).
Приравняв зто выражение к нулю, получим %i = -2Ь - Затем находим значения коэффициентов
/; = 3V21Ы ; /р = 54Ь*; fm = Ь . (3.158)
Кроме того, поскольку 121 « 1, то /(ийо) = 1 + Й«1.
предположим, что в контакте сепаратор - кольцо имеет место масляное голодание. Найдем скорости поверхностей в этом контакте. Перейдем в такую движущуюся систему координат, в которой контакт неподвижен. Очевидно, эта система вращается с угловой скоростью w* так, что центр сепаратора в ней фиксирован. Абсолютные скорости поверхностей кольца и сепаратора равны Ощг ( - номер кольца, относительно которого осуществляется базирование) и Oitr соответственно, а их скорости в системе, связанной с контактом,
= {р.т - (4) Rr; «1 = 0; « = (Пт - w5r/2.
«2
Поскольку центростремительная сила, действующая на сепаратор, должна возникать со стороны смазочной пленки, то
и\и\ ии
шДсОс*)Д = 54-Rsrbsi = 54-Rsrbsi}.
Ао \Я\
Отсюда находим 52-1
(3.159)
Вычислим момент сил со стороны базы относительно
ттт-
центра кольца
е. +
-Г7?-ez =
--- (Tm + 2ffsgnu) e, = Ь1"т -
Г72--- л
I? I
X (/w + 2/)rsgn«)ez.
(3.160)
/0 Д%Г(Г™Л/Г?,- V использованы соотношенш!
(3.161)
Таким образом, задавшись количеством смазочного материала на поверхности кольца, можно найти q, положив Ui = О, и.подставив полученное значение расхода в (3.161), определить момент, действующий со стороны базы. Использовав формулы (3.161) и (3.144), можно определить Л/,.
Рассмотренный случай масляного голодания характерен для подшипников с ресурсным смазыванием. Для того чтобы узнать, реализуется ли данный режим смазки в конкретном подшипнике, следует, во-первых, экспериментально определить толщину пленки на базе кольца, во-вторых, вьиис-лить расход q смазочного материала, в-третьих, рассчитать 2 по формуле (3.159). Если полученное значение мало, то в контакте реализуется скудное смазывание, и для вычисления момента можно пользоваться формулой (3.161).
Следует заметить, что гидродинамический характер контактирования (на чем были основаны все приведенные рассуждения) является предположением. Фактический режим смазки в контакте может оказаться значительно более сложным из-за шероховатости поверхностей сепаратора и кольца. Если толщина Aq пленки окажется меньше характерной высоты неровностей, то возможен контакт смешанного типа: на части поверхности будет 166
осуществляться гидродинамическое трение, а иа оставшейся части - граничное или даже трение без смазочного материала.
Второе важное предположение касается режима движетия сепаратора. При движении центра сепаратора по круговой орбите с угловой скоростью, равной скорости собственного вращения, точка контакта сепаратора с кольцом неподвижна относительно сепаратора. Такой тип движения не является единственно возможным. Однако, как показывают эксперименты, проведенные для приборного подшипника 106074 и численные расчеты динамики ротора на шариковых подшипниках, такая форма движения действительно реализуется в условиях скудного смазывания или кулоновского трения.
Отметим, что проведенное исследование кинематики и момента сопротивления подшипника можйо обобщить для учета центробежной силы, действующей на шарик. Основной эффект центробежной силы сводится к изменению нагрузок и значений давления в контактах шарика с кольцами. Если считать, что угловая скорость шарика равна кинематической, а это предположение действительно выполняется с большой точностью, то можно, используя методы, изложенные в подразд, 2.2, определить изменение нагрузки на наружное (внутреннее) кольцо и рассчитать соответствующие значения максимального контактного давления, изменение которого приводит к изменению значений Qm =осрот[а=ар-к{Т - Го)], а следовательно, и aff,, ат, im. Влияние же центробежной силы посредством изменения углов контакта менее значительно.
В заключение рассмотрим следующую задачу. Дан подшипник с шариками малой массы (например, приборный). Пренебрежем эффектами, обусловленными дифференциальным проскальзыванием и наличием пленки смазочного материала между шариком и сепаратором, в области контакта которых реализуется режим гидродинамической смазки, т. е. будем считать Fgm = Fkm = = О, /и = 1, 2. Пусть на шарик действует только сила со стороны сепаратора и момент Л/;. Тогда вследствие малой массы и момента инерции уравнения движения центра шарика и его собственного вращения сведутся к уравнениям равновесия сил и моментов. Действительно, если силы и моменты, приложенные к шарику,не уравновешены, то вследствие малости массы и момента инерции ускорение шарика и производная его угловой скорости должны быть очень велики, в пределе бесконечны. Очевидно, что это невозможно. Таким образом, уравнения движения можно записать в виде
л:, •a„Fi-fA:2a,2K2=Fc;
Кг аг Уг - ./Г, а,, Fi = -IMi/p?
(3.162)
[см. уравнения (3.136), (3.137)]. Используя связь (3.135) Vm с величинами Wc, со/, получаем
(3.163)
матических значений. "».лоншиями и со/ от кине-
3.6. ДИНАМИКА РОТОРА НА ПОДШИПНИКАХ
Перейдем к исследованию движения ротора на шариковых подшипниках с учетом отклонений формы и размеров, обусловленных изготовлением. Анализ динамики основан на следующих предположениях.
1. Силы трения в контактах шарик - кольцо малы по сравнению с упругими силами, и ими можно пренебречь.
2. Движение комплекта шариков в каждом подшипнике задано, причем угловые скорости орбитального движения шариков в каждом подшипнике одинаковы и близки (или равны) кинематической скорости со (верхний индекс обозначает номер подшипника).
3. Траектория точки контакта на шарике - окружность наибольшего радиуса, причем смены траектории в процессе движения не происходит.
4. Жесткости К, К" [см. формулу (3.13)] таковы, что частоты собственных колебаний шарика в направлениях вдоль и поперек линии контакта достаточно велики и при рассмотрении можно пренебречь собственной динамикой шариков под действием упругих сил со стороны колец. Иными словами, будем предполагать равновесие шарика между кольцами.
Первое предположение вьшолняется для узлов, собранных с oceebnvi натягом. При этом значительные нагрузки в контактах шарик - кольцо всегда превосходят силы трения в том же контакте, являющиеся следствием взаимодействия сепаратора с базой.
Второе предположение для узлов с осевым натягом также не вызывает сомнения, поскольку заметное отличие от кинематической скорости привело бы к проскальзываниям в контактах с дорожками качения и вследствие жесткой зависимости сил трения от проскальзывания [см. формулу (3.163)] - к значительньпл силам, действующим на шарик в окружном направлении. Эти силы нечем было бы уравновесить в нормальных условиях работы узла.
Из эксперимента известно, что в большинстве случаев траектория точки контакта на шарике действительно совпадает с окружностью большого радиуса. Однако вполне возможна ситуация, когда таких траекторий две или более и в процессе движения в случайные моменты времени происходит перескок с одной траектории на другую. Этому явлению в настоящее время нет удовлетворительного объяснения. По-видимому, указанный эффект - следствие неустойчивости вращения шарика на некоторых режимах работы подшипника.
Точность вьшолнения четвертого предположения можно оценить количественно. Пусть ть - масса шарика. Тогда угловые частоты его собственных колебаний в направлениях вдоль и поперек линии контакта равны соответственно \/К"1тъ, у/[]ть. Пусть - угловая скорость ротора. Тогда комплект шариков вращается относительно кольца, закрепленного на роторе (статоре), с угловой скоростью - со*" (со*"). Упругие силы, действующие со стороны колец на шарик, обусловлены волнистостью. Если к - номер гармоники в разложении в ряд Фурье отклонений геомет-
