(3.111), (3.112), которая нелинейна по переменным сос, U п- Действительно, в левую часть уравнений этой системы входят произведения переменных. Кроме того, в правых частях (3.111) имеются коэффициенты 1 от. учитывающие температурные эффекты в смазочной пленке и вычисляемые для каждого кольца по формулам (3.128), (3.129), причем в последнюю входит неизвестная величина Штп I - абсолютное значение составляющей угловой скорости, перпендикулярной области контакта щарика с т-ы кольцом. Таким образом, в общем случае систему уравнений кинематики следует решать численно.
Для проведения аналитического исследования сделаем дополнительные предположения: пренебрежем величинами порядка - со J /со? и. со/ -- ayji/co* , при вьиислении коэффициентов к примем со„ = --nilsina/2.
Первое предположение не вызывает сомнений в своей справедливости для большинства подшипникой, работающих в нормальных условиях. Для приборных подшипников отличие cOg от со*, по-видимому, не превышает 1 %, Второе предположение означает, что абсолютное значение составляющей угловой скорости, перпендикулярной области контакта колец, равное I (2 - J2i) sinal, распределено поровну между областями контакта с наружным и внутренним кольидми. Это предположение несет в себе определенную погрешность, однако позволяет априори, не решая задачу, оценить значение коэффициентов Rim-
Введем обозначения:
~ м(0,Г) от ~ -:-~1отот >
Vm = (сос - соЭЛ*- (-1)« .(со, - со?) ; Fgm = Km arm (w* - ncosa) ;
Мк =M!ci +Mki+(Pki +Fk2);
Иэ%ф=И(0,Тт)к1т<т.
(3.135)
Величина Мэфф играет роль эффективной вязкости смазочного материала при скольжении с учетом тепловых эффектов.
Систему уравнений (3.111), (3.112) можно записать в виде
Слагаемое обусловлено силами базирования, Mj - моментами качения шарика по дорожкам, вызванными несимметричностью распределения данления в контактах, обусловлено составляющей co„ угловой скорости шарика, Мц - составляющей со. Если момент инерции шарика пренебрежимо мал (как, например, в приборных подшипниках), то слагаемым Мц можно пренебречь, а слагаемое Мз при 1=0 принимает более простой вид
Мз = г(П2 -ni)sina[ Б
= 1,2 °гт (От + т)
Слагаемые М2, М, Мц можно рассчитать по формулам (3.144), момент же Ml, обусловленный силами базирования, возникающими в области контакта сепаратор - кольцо, оценить сложнее. Характер и значение зтих сил определяющим образом зависят от количества смазочного материала и режима движения сепаратора. Обычно при расчете кинематики шариков и момента сопротивления вращению предполагают, что сепаратор занимает центральное положение, а момент сил базирования вычисляют по формуле 11,11. Петрова
2niiR\b. Msf- =--{Пт-<с),
где Rs - радиус базы сепаратора; fej - ширина базового пояска; Д - радиальный зазор базирования; ц. - вязкость смазочного материала.
Однако допущение о центральном положении сепаратора часто оказывается неверным, поскольку такое положение неустойчиво и сепаратор совершает сложное движение под действием сил со стороны шариков. Следовательно, априори, не решая задачи о движении сепаратора, невозможно оценить момент базирования. Иногда значение Л/i можно определить экспериментально. Представим весь момент сопротивления в виде суммы
Mrot(Z) =М,+ZMft, (3.145)
где Мь - момент, обусловленный движением одного шарика. Тогда для комплекта без одного шарика получим
rot(-l) =Mi +(Z-\)Mb.
Умножив соотношение (3.145) naZ - 1 и вычтя из него выражение для Mjot(Z- 1), умноженное на Z, имеем
Ml =ZMrot(Z - 1) - (Z - l)Mrot(Z),
(3,146)
Наглядный геометрический смысл формулы (3,146) состоите следующем. Измеряем два значения момента сопротивления при двух значениях
Z и по этим двум точкам проводим линейную экстраполяцию на нулевое число шариков. Полученное эначение и считаем равным моменту Mj, обусловленному силами базирования. Данный метод, предложенный А.В, Бауэром, требует экспериментальной проверки. Действительно, соотношение (3.145) не является очевидным. Так, если в комплекте, содержащем, скажем, семь шариков, оставить всего три (при меньшем числе шариков кольца смогут совершать неограниченные радиальные перемещения одно относительно другого), то это может привести к радикальному изменению режима движения сепаратора, а следовательно, и значения Mi - момента, обусловленного базированием. Правильность формулы (3.145) можно проверить, определив значение Mjot при трех значениях Z:Z, Z - 1,Z - 2. Если полученные три точки лежат на одной прямой, то, по-видимому, формула (3.146) дает правильное значение Mi.
Опишем разработанный В.П. Ковалевым метод нахождения силы и момента, действующего на сепаратор. Перейдем в правую систему координат, в которой контакт неподвижен. Направим ось Оу к центру сепаратора перпендикулярно поверхностям сепаратора и кольца, ось Ох перпендикулярно оси Оу и осям колец, ось Oz параллельно осям. Предположим, что в контакте осуществляется гидродинамический режим смазки, а деформации по-" верхностей малы. Пусть Л j - радиус сепаратора, - радиус кольца, fej -ширина контакта по оси Oz. Будем считать, что течение смазочного материала одномерно, т. е. пренебрежем потоком вдоль оси Oz. Пусть толщины пленок на поверхностях на входе в контакт равны hi и . Толщина пленки
А(д:) = ( 1)« + 1 (
1 , dp q = - --/г(х)- +uh,
(3.147)
где ho =h (0) - минимальная толщина.
Зададимся определенным режимом движения сепаратора. Предположим, что сепаратор касается базы и его центр совершает орбитальное движение по круговой траектории с радиусом Д, равным радиальному зазору базирования, при угловой скорости О)* так, что со стороны кольца на него действует сила, радиальная составляющая которой равна msA{cof), где rris - масса сепаратора.
Данный режим движения выбран не случайно. Как следует из эксперимента, он характерен для приборных подшпников.
Для отыскания распределения давления р{х) в области контакта воспользуемся уравнением
где объемный расход смазочного материала" в единицу времени q- Uihi + + Uihi, и= («1 +«2)/2; Ui - скорость движения поверхности сепаратора; «2 - скорость движения поверхности кольца.
Пусть Xi и Х2 - абсциссы входной и выходной границ контакта, Гра-
иичными условиями задачи являются условия равенства нулю давления и жидкости, т. е,
p(Xi) =Р(Х2) =0,
и кавитационное условие равенства нулю градиента давления на выходной границе
= 0.
dx x = Xj
Перепишем уравнение (3.147):
dp uh - q
JL = 12д- .
dx Л
(3.148)
Отнесем линейные размеры вдоль оси Ох к характерной длине \/2Я5гЛо,где
Введем обозначения для безразмерных координат входной и выходной границ:
72/г srht " Rsrho В безразмерных координатах контактный зазор
h{0 =hoil+e).
Введем безразмерное давлениер = phiI{\2р.\и/2Щ). Уравнение (3.148) в новых переменных примет вид
dp 1 + i-fg
(1 + iy
щаи,
где fg = q/(uho). Учитывая кавитадаонное граничное условие, получаем \ + \1 = fq. Таким образом, абсцисса выходной границы контакта определяется только расходом и минимальной толщиной пленки смазочного материала. Условие равенства нулю давления на границах контакта имеет вид
