представляет собой эффективную вязкость смазочного материала при со„ Ф Ф 0. Если бы вязкость в области контакта не зависела от давления и бьша равна а.ц (О, Т), то она обусловила бы момент, вычисляемый по формуле (3.127), Для доказательства этого утверждения достаточно показать, что при Ро О (когда значение давления на всем контакте стремится к нулю) коэффициент будет стремиться к единице. Но при Рл О параметр Q также стремится к нулю. Разложим aiQ) в окрестности 6 = 0:
аД0 =4
1 6
+---
Q* J
= 4[
е с* 6 6
-+ -+0(G*)](---
---+- +
3 11
+1+--1 + - +0(1) + -
Q Q 4
---+
2 3 - +-
] =1+0(1).
Таким образом, lima;. (2) = 1, Аналогично можно показать, что
lima,(0 = 1.
G-0
Величина ajp(0, 7) представляет собой эффективную вязкость смазочного материала при чистом скольжении. В формулу (3,126) входят два слагаемых: первое - составляющая силы, обусловленная скольжением в центре контакта, второе - сила, пропорциональная угловой скорости качения, причиной возникновения которой является дифференциальное проскальзывание. Даже при чистом качении шарика по желобу кольца возникает сила трения качения [см. (3.126)].
Коэффициенты и а характеризуют увеличение вязкости, обусловленное высокими контактными давлениями. Для подшипников характерно G = 6 ... 20. Коэффициенты а,, и а принимают в зависимости от параметра нагружения Q следующие значения:
Q----б
а,. . . . 52 aj. . . . 112
250 652
1286 3965
6970 24 865
94 535 406 811
8,32-10« 4,6110
Экспоненциальная зависимость вязкости от давления приводит к изменению эффективной вязкости смазочного материала в контакте. Коэффициент сиг для данного диапазона изменения Q примерно в 2 ... 7 раз меньше ttj. Указанные коэффициенты можно использовать лишь при весьма грубой оценке состояния смазочного материала в контакте, поскольку при получении формул (3.126), (3.127) мы предполагали, что скорости скольжения в контакте достаточно малы и Ао « 1. При произвольном Ао аналитическое вычисление интегралов (3.122) с использованием нелинейной зависи-
мости (3.121) касательного напряжения от локальных скорости скольжения и давления невозможно, поэтому учтем указанную зависимость попра-вочньш! коэффициентом. Будем считать, что в формулах (3.120) для касательного напряжения коэффициент А постоянен и равен характерному значению на площадке контакта, вычисляемому по характерному значению Ао. Найдем среднее значение Ду квадрата локальной скорости проскальзывания, причем в формулах (3.118) примем Д= Лч° = cjj - 0:
S О
jdr jr{acosip+ b sinifi) dtp = nab 2s 0 0,
->mn
(a + b) irdr =
Вычислим средние значения 5 + кр и Vm(p» Т).
1 , ri 111
-я [S + KPo(l- - ---) ]d%dn = s a b
= 2Jr{b + кро>/ГТ=)dr=2[- + -Po jy/rdr] = 0 2 2 0
= 6 +
l / r, - a Po VI ------
X J/exp G 1
X Jexp
d\dц = xp
-S (Г- 7-.)
dr = Po exp
-s (7-- T-j
Таким образом, характерное значение Ао ш в контакте
-бЧТГо)
Лот = - !com„lc%(fVJTbX[rexp • 4 2kf
X(64i)]
(3,128)
Тогда поправочный коэффициент, учитывающий снижение касательных напряжений вследствие прогрева смазочной пленки,
--=
arshAom
(3.129) 153
Таким образом, выражения для силы и момента принимают вид
F =
-8(Т-То)
а,(ДУ5% + Ду°еч) +
(3.130)
М = -
+ - (Ду°е5-Ду?е,
причем Дv , Ду° не обязательно равны нулю, Мэфф = м(0,10 /я- эффективная вязкость смазочного материала в контакте при чистом скольжении.
В полученных выражениях учтена лишь часть всей силы и всего момента, действующих на шарик, обусловленная локальным проскальзыванием в контакте. Мы считали, что распределение давления в контакте является эллиптическим. Фактическое давление отличается от контактного давления, определяемого по формуле Герца, вследствие наличия в контакте смазочной пленки переменной толщины. Это приводит к созданию результирующей силы, направленной против направления скорости качения, и момента относительно оси 0%, для определения которых (точнее, силы и момента, действующих на единицу длины) воспользуемся аппроксимационньпи формулами для указанных величин, полученными численньп расчетом зластогидродинамического контакта двух цилиндров радиусами Ri, (рис. 3.20) при чистом качении со скоростью ы.Тогда сила F, и момент М, (относительно начала координат), действующие на единицу длины цилиндра, в режиме обильного смазывания вычисляем по формулам
F.=3.01L1(4)°\)°%
/г, +Л, а £-"Л Е
Т) >
(3.131)
. - М(0, Т)и 0.S4
М. =6,02gj?4 ~1.Л ) (-
а ER
«=,-.4=-(
Е 2
1- V? 1- ul
Ро - максимальное контактное давление. Скорость качения в этих формулах считаем направленной вдоль положительного направления оси О т?. Видно, что момент всегда действует в сторону, npoTHBononoxiyro качению, сила же может оказаться направленной против вектора и, если (Кг - Ri)l(R2 + Rl)
если цилиндр 154
радиусом
< 0. Последнее возможно в двух случаях: 1 внешним образом касается второго ци
Рис 3.20
линдра (именно этот вид касания изображен на рис. 3.20), при этом Ri, R2 > О и Л > R2, если цилиндр радиусом R2 внутренним образом касается цилиндра радиусом Rl, при этом R2 > О > Л,,
Предположим теперь, что область контакта, изображенная на рис. 3.20, представляет собой поперечное сечение BbiTHHjrroro эллиптического контакта с большой полуосью а. Предположим также, что скорость и качения на всем контакте постоянна. В сечении плоскостью I = const силу и момент, действующие на единицу длины, вычисляем по формуле (3.131), причем ро (для линейного контакта) следует заменить на Ро V 1 - (S/д) . где ро - максимальное давление в эллиптической области контакта, определяемое по формуле Герца. Величины R2, Ri представляют собой радиусы кривизны контактирующих тел в плоскости OtjJ. Интегрированием силы и момента, вычисляемых по формулам (3.131), ндоль большой оси контактного эллипса, получаем силу Р. и момент М., действующие на тело с поперечным радиусом R i:
Fk = 5,53aERkH--- (--:-) (-г) е„;
а EiR
M,n.06-R4,iJf\lLy- [,,,,. (3,32)
Коэффициаи kfj, учитывающий наличие масляного голодания в контакте,
k,=0,14(fl(l-0.26()),
где ho - фактическая толщина пленки в контакте; h„ - расчетное значение толщины при обильном смазывании.
В контакте шарика с кольцом с высокой точностью можно считать скорость и качения постоянной на всем эллипсе контакта и рассчитывать по формуле (3.16), предполагая кинематику идеальной. Можно использовать формулы
л,--, R2 = -
2 cosa
; л = ( -ь р?
(-l)"cosa
подставляя вместо ро максимальное значение давления ро „, определяемое по формуле Герца. Таким образом, формулы (3.132) в применении к шариковому подшипнику дают значения силы и момента сопротивления каче-, нию, в первом приближении не зависящие от фактической кинематики шарика. Если обозначить эти величины (коэффициенты в формулах (3.132), стоящие перед векторамиет,и [е, ej] ) через/ иЛ/;. то результирующая сила и момент, действующие на шарик в контакте с т-м кольцом, определяются соотношениями:
F„ = -" kiгг,srr, [asm ((-1)Avg%е, + Aw%,е,) +
+ cve,] + (-l)"F*me.sgn(i72 - П.) ;
8Р7»
(3.133)
Входящая в эти формулы функция sgn(x) - знак числах, т. е. направление действия силы и момента качения, возникающих вследствие несимметричного распределения давления в эластогидродинамическом контакте, зависит от знака Q.2 - fij. Рассмотрим качение шарика (см. рис. 3.17) по желобам колец. Пусть, например, fij > П,. В этом случае шарик катится относительно наружного кольца против часовой стрелки, а относительно внутреннего - по часовой стрелке. Тогда сила треяия качения, действующая на поверхности наружного кольца, направлена против, а действующая на поверхности внутреннего - по вектору е. Момент на каждом кольце имеет положительную составляющую, направленную вдоль оси Oz подшипника, т. е. вдоль вектора е/. Аналогично и для JiJj < fti. При 0,2 = Q.\ качение отсутствует, а сила и момент равны нулю. Используя выражения (3.133), можно найти момент ЬИ относительно центра шарика [поскольку именно он входит в уравнения (3.111)] :
Используя формулы (3.133), можно вычислить момент сопротивления вращению m-ro кольца. Предположим, что сепаратор базируется относительно колец и моменты трения, действующие на сепаратор со стороны каждого
из колец, равны Afj е. Тогда можно определить силу F., действующую на шарик со стороны сепаратора. Поскольку сепаратор вращается с постоянной угловой скоростью, то из условия равенства моментов получаем
(Мг + Мг) ег - ZR*F., [Их, е] = 0.
Отсюда
Если базирование осуществляется относительно, одного из колец,скажем наружного (внутреннего), то М] = О {М1 = 0).
Момент сопротивления вращению т-го кольца обозначим через M(i е. Очевидно,-(Af/ot + M/ot )ez представляет собой суммарный момент сил относительно оси Oz, действующий на систему сепаратор + шар ига. Но поскольку момент импульса этой системы не меняется, то Л/rot = -rot = = Afjot- Тогда, используя выражения (3.133) для силы и момента (относительно центра контакта), действующих на шарик, можно, просуммировав моменты, действующие на кольцо по всем контактам, а также учтя момент со стороны сепаратора, получить выражение
rot = -Afjr+Zsgn(n2 -ni)(i»/*:iCosa + F,/?*) +Z Z*"4,,! X
i*[("c-co?)*+ (co/- cof)]a,i -Rt 2
X (со/ - fil cosa)----1-- (co„ + 1 sina) sina
При получении этой формулы предполагали, что
Л, -агг X
(3.134)
£«;,« J COSQt
«1.
Таким образом, для определения момента сопротивления вращению необходимо рассчитать кинематику шарика, решив систему уравнений
