Для большинства подшиш1иков выполняются приближенные равенства
«0,5.
Вследствие высокой степени прилегания поверхностей шарика и кольца в направлении большой оси контакта
2/рО 1/г««2/р?.
поэтому кривизны деформированных поверхностей кольца и шарика вдоль оси О % незначительно отличаются от начальных кривизн (1/гС = = 1/4*2/7°).
Воспользуемся выражением (3.113) и найдем распределение скоростей поверхности шарика на площадке контакта:
v = w/*e+[w,r]=w*e +
11+5 +-=- + -
2 " 2. 2.;
Проекции скорости на плоскость otj вычисляем по формулам
vJ = a;,*-( l)"[a;„S + a;,(-5,---)]; ,
2-е 2/-;
2 К
В последней формуле можно пренебречь слагаемыми в скобках, поскольку, как правило, cj. « со„ и полуось b площадки контакта вдоль 0г\ больше характерных значений 5, Ь/(2г ), д/(2г ), где а,Ь - большая и малая полуоси контакта. Кроме того, b 1(2г ) - меньше д/(2г ). Используя формулы Герца (2.17) - (2.20), определим 5/, aa/ilr ) :
PR г/3 PRf
1п(47),
где R - приведенный радиус кривизны площадки контакта; j - отношение полуосей площадки контакта. Тогда
2R-f 2г ~ г*1п(47)
»1,
Здесь использованы асимптотические формулы для коэффициентов вытянутой площадки контакта:
л„ = 1,240773, *г,= 1.2407г->
= 0,31017т- = 0,769677-31п(4т);
поскольку Л »/ , 7» 1.
Таким образом, проекции скорости поверхности шарика рассчитываем по формулам:
< = "c«*-(-l)"(co„S + c.,°-a;/l).
(3.117)
Найдем скорость поверхности кольца в области контакта. Расстояние от центра контакта до оси подшипника равно R* (без учета деформации кольца). Тогда скорость в этой точке равна ПЛе. Вектор угловой скорости кольца равен (-1) ""Л (-е. sina + ecosa). Вектор г с началом в центре контакта и концом на поверхности кольца с координатами ri
r = 7je + ?e, + (-«, + +)е,.
Тогда скорость поверхности кольца
у=П„,Я *е + т т 1\
о cosa sina
Пренебрегая, как и выше, 5 ит j(2гр, получаем
5 cosa
= "А* +n„(-l)"asina +
2/-:
Таким образом, скорости скольжения поверхности шарика относительно поверхности кольца в области контакта распределяются в соответствии с соотношениями:
Ду,. = Ду° + cj„77: 5 5 тп "
Ду = Ду" - CJ +
л п тп „о
(3.118)
Ду° =
Р7°
= (со-а;*)Л*-(-1)
проскальзывание в центре контакта; со* , cJj - кинематические значения cjg и СО/, т. е. такие, при которых скольжения в центрах контактов равны
проекции угловой скорости шарика относительно ш-го кольца соответственно на векторы е„ и е/,
Третье слагаемое во второй формуле (3.118), так называемое дифференциальное проскальзывание, обусловлено кривизной контактирующих тел в плоскости, перпендикулярной скорости центра шарика. Составляющая Ду скорости проскальзывания обращается в нуль в точках с координатами
"„,„P7 ± V
п(Р7)
7V- 4
,/Р7
Такие точки существуют только при положительном значении подкоренного выражения. При со„ = со. = О, как следует из первой формулы (3.118), на линиях S = Si, S = Ь скорость проскальзывания равна нулю.
Распределение скоростей проскальзывания в соответствии с (3.118) вызовет касательные напряжения г = те + те на поверхности шарика. Эти напряжения следует рассчитывать на основании термогидродинамической теории смазки, т. е. с учетом тепловых явлений в тонком слое смазочного материала. Кроме того, высокие контактные давления и малое время
♦ f
пребывания частицы в контакте приводят к тому, что смазочный материал приобретает свойства, отличающие его от обычных жидкостей, для которых справедлива линейная связь между касательным напряжением и производной скорости поперек слоя, а именно проявляются релаксационные свойства, т. е. при данной скорости сдвига напряжение устанавливается не мгно-нснно, а,как правило, зависит от времени по экспоненциальному закону. Вязкость жидкости зависит от давления и температуры, и погрешность в оценке реальной температуры в области контакта, например на 10 К, может привести к занижению значения вязкости и, следовательно, сдвиговых напряжений на 30 ... 40 %. Следует также учитывать снижение пьезо-коэффициента вязкости при повышении температуры. Для правильного определения температуры необходимо учитывать разогрев смазочного материала в области контакта вследствие выделения теплоты.
Будем считать, что зависимость вязкости от давления и температуры описывается формулой, учитывающей уменьшение пьезокоэффициента при повышении температуры:
nip.T) = Но ехр
[ар-к(Т-То)]р-б(Т-То)
(3.119)
гдемо =М(0, То),
В соответствии с термогидродинамической теорией смазки, с учетом прогрева смазочной пленки найдем распределение касательных напряжений в контакте. Примем вектор касательного напряжения постоянным в поперечном направлении пленки и коллинеарньп вектору скорости проскальзывания:
= -Ац(р, Т) ,т = -Ац(р, Т)
(3.120)
Здесь И - локальная толщина пленки (которая, как мы считаем, постоянна в контакте), а Л - коэффициент, вьгаисляемый по формуле
arshAo
AoVl + Ло У М(Р, Л (5+кр)
(3.121)
V(Avp + (Ay) ,
где kj - теплопроводность смазочного материала; Т - равные по значению температуры поверхностей контактирующих тел.
Отметим, что формулы (3.120) не учитывают релаксацию касательных напряжений. Зная распределение касательных напряжений, можно найти силу F и момент М, действующие на шарик:
Р = Я(ге + %е)с??с?т?;
% h
(3.122)
T. e. вычисляя указанные интегралы по области контакта G, которая является эллипсом с большой и малой полуосями а тлЬ. При вьгаислении М мы вновь пренебрегли слагаемьил j (2rJJ). Распределение давления в контакте вьмисляем по формуле
P(S, 7?) = Ро Vl-5Vfl -Vlb\
Вследствие сложности подьштегральных функций в (3.122), для вычисления F и М получим приближенные формулы. Предположим вначале, что скорость проскальзывания настолько мала, что Ло «1. Тогда arshAo « Aq ,
VI +Ло » 1 и Л » 1. При а = ар - k(T-To),Q = a ро получим F = *»Р [-s(.T-TJ
[eg;/Avf/(S,7j)c?dTj + G
+ eJJAv/(£,r,)dSd7j]; G
(3.123)
[efJJ(vjT,-Av«/(S,T})dgdTj + G
+ Я km. T?)
G P?
(3.124)
где/(?. Tj) = exp { QVl-S/a -Vlb
Подстановка вторых слагаемых в формулах (3.118) не влияет на значение F (3.123) вследствие антисимметричности подьштегральных выражений. По этой же причине подстановка первых слагаемых (3.118) в первый интеграл (3.124) не меняет значения М. При вычислении второго интеграла в (3.124) пренебрежем квадратом малой величины J/p?. Учитывая все это, получим
Г=: охр {-8(Г- Г„)
[{Ahiv) im,ri)dkdn + G
+ е nem,ri)dkdn]; Рп G
Проведем замену
5 = arcos(p; tj = brsaap; ddri = abrdrdip и введем обозначения
".(0 = - [еШ-1) + 1];
Or (О) = 4 Ге* (---+ -) +---7 1 ;
S = тгоЬ - площадь контакта. Тогда
(3,125)
Пт, П) dm = abSdri г exp { Qy/l-i ]d,fi-
G 0 0
= s Jexp { eVb) d{r) = sasiQ);
Sn\]fMdkdv = abidr fr[ Jexp GvT-P
6sinv
G ri
=,-[J Jrexp {eVr}d(.*) = f [Ja,(0. Теперь вьфажения для силы и момента примут вид
dip =
-s(r- Г„)
М.ехр {-8(Г-Г,)} /2хьП 4.
(3.126)
(3.127)
Из полученных формул следует, что в момент входят два слагаемых, обусловленных составляющей угловой скорости шарика, перпендикулярной области контакта, и дифференциальным проскальзыванием. При этом
