Ro = 2£"rg/(3fj) = 448 мм, что мало отличается от ранее выбранного значения Rq. На этом процедуру подбора Ro заканчиваем. Угол отвала бортика находим по формуле (3.106) : 5 = 0,0256 1°28.
Рациональное профилирование ролика. Пусть эффективная длина дорожки (см. рис. 3.14, а) lg = 49 мм (длина ролика 52 мм, по 1,5 мм занимает каждая канавка для выхода шлифовального круга). Тогда методом, изложенным в подразд. 2.2, выберем оптимальные параметры двухрадиусного меридиана - большой радиус R, малый радиус г и координату а точки сопряжения дуг. При радиальной нагрузке на ролик f; = 15 кН и тг1 < 2,2 • 10"" радиус /? = 60 м, г = 300 мм, д = = 21 мм. Используя параметры торца и меридиана, можно указать рациональную форму ролика (рис. 3.16) (разработка е.м. Филатовой), сечение которого плоскостью, проходящей через ось, представляет собой кривую, составленную из сопряженных дуг окружностей четырех различных радиусов R, г. Го, Ro и двух отрезков прямых. На торцах ролика имеются две плоские круговые области радиуса pi; фаска радиуса Го может быть технологической. Для изготовления ролика необходимо дать количественное описание поверхности. Введем функцию
1,х>0,
О, х<0.
Тогда в цилиндрической системе координат Optpz уравнение поверхности ролика примет вид
j \ me Q<P<r; Pi,L,Ro,r,R,r,p4 заданы; Рз выбираем для обеспечения требуемого радиуса фаски, аго и р2 определяем из условий сопряжения фаски с окружностью радиуса Л о:
Рг = [Рз -ro/Vl + 2( + )]/(1 - -У> (3-108)
о
Vrr(-,;i.-)/[i.2(.
= l-y/2R{r -Р4) [1 -~у/(У +
•w-P*
(3.109)
Для получения приближенного решения этих уравнений в (3.108) положим Р2 я5 Рз, что дает формулу для г о; затем определяем рг по формуле (3.109). В рассматриваемом примере для вагонного подшипника 42726 Pi = 4 мм; Z, = 52 мм; Ro = 450 мм; г = 300 мм; Л = 60 м; = 16 мм;
= - 01 {2R) = 15996,3 мкм; рз = 15970 мкм; Го = 736 мкм; Рг = = 15234 мкм. Поскольку roJRo < 0,002; pj ? o = 0,032; {рг/Ro) « =« 0,0009; (r - Pa,)IR < 10"; (P4 - Рз)1г < Ю то соответствующими членами в (3.108) и (3.109) можно пренебречь. Тогда
Го L-s/2Rir -Р4) -\/2г(р -Рз); РгРз-Го-
При других значениях параметров поверхности (3.107) для нахождения Рг и Го могут потребоваться точные соотношения (3.108) и (3.109).
3.S. ТРЕНИЕ в ПОДШИПНИКАХ
Момент сопротивления вращению ротора - одна из важных количественных характеристик узла - складывается из моментов для отдельных подшипников, которые в свою очередь слагаются из составляющих момента, обусловленных трением шариков о кольца, закрепленные на роторе, и трением сепаратора о базу того же кольца (при базировании относительно колец). Трение шарика о кольцо определяется полем скорости в области контакта и толщиной пленки. Толщина пленки в контакте зависит от нагрузки или давления на контакт и скорости качения (которая в свою очередь определяется кинематикой шарика). Следовательно, задачу определения кинематики шарика, сепаратора, толщины пленки и задачу определения нагрузок необходимо рассматривать совместно.
Проведем аналитическое исследование, в котором сделаем ряд упрощающих предположений. Рассмотрим шариковый подшипник без отклонений формы и размеров, угловые скорости колец которого равны fi (рис. 3.17). Предположим, что решена задача определения толщины пленок и нагрузок в контактах, т. е. проведен силовой расчет подшипника в предположении идеальной кинематики шарика и без учета центробежной силы. Будем считать также, что отличие переменных со., со/от кинематических значений мало. Это отличие объясняется воздействием сепаратора, который вследствие трения о базу (при базировании относительно колец) тормозит движение шарика по окружности и замедляет его собственное вращение из-за трения в окне сепаратора, а также воздействием гироскопических моментов шарика, возникающих в результате регулярной прецессии вектора угловой скорости шарика.
Однако сила, с которой сепаратор воздействует на шарик, невелика. Кроме того, вязкость в контакте шарик - кольцо, вследствие ее зкспонен-циальной зависимости от давления, значительна, а толщина пленки мала. Последнее приводит к тому, что уже малые проскальзывания шарика о дорожки качения обусловливают большие силы трения. Поэтому воздействие сепаратора и гироскопических моментов вызывает лишь незначительные проскальзывания и кинематика шарика остается почти идеальной. Далее, силы трения, возникающие в контактах шарик - кольцо, шарик - сепаратор для подшипника, собранного с осевым натягом, пренебрежимо малы по сравнению с упругими силами.
Таким образом, задача определения кинематических переменных со, СО/, со„, 0}j (см. рис. 3.17, 3.18) отделяется от задачи определения положения центра шарика, нагрузок и толщины пленок в контактах. Именно в такой упрощенной постановке, не теряющей тем ие менее физического смысла, и будем решать задачу.
Пусть все шарики вследствие симметрии находятся в одинаковых условиях. Будем следить за движением одного из них, центр которого в данный момент лежит на оси Ох. Тогда вектор угловой скорости шарика при
Рис. 3.17
w = coe + co„e„ + a;,e„
где е„ = е coso; - esina - единичный вектор вдоль линии контактов; е/ = ecosa + sina - единичный вектор, перпендикулярный линии контактов, лежащий в плоскости Oxz; е, е, е - единичные векторы системы координат Oxyz.
Поскольку составляющие угловой скорости со„, со и со/не зависят от времени, го вектор угловой скорости шарика прецессирует вокруг оси Oz, а вектор угловой скорости зтой прецессии равен cOje. Уравнение момента импульса шарика имеет в этом случае вид
н/[со e,w] =М.
(3.110)
где / = 87гр/?* /15 = ImjjR /5 - момент инерции шара радиусом R и массой р - плотность материала шарика; М - момент сил относительно центра, действующих со стороны колец и сепаратора; [а, Ь] - векторное произведение векторов а и Ь, Представим последнее уравнение в проекциях на векторы €.,6,6:
+ /сосо, [е,, е,] = Л/е + Ме + М,е .
Умножая полученное уравнение скалярно на единичные векторы е,», е, е/, образующие правую тройку, т. е. [е, е/] = е, получим
-/сОрСоcosa = cosa - sina = ;
Рис. 3.19
/со (cj„ cosa + cosina) = = Л/ ; - /cj„cj, sina = sina + М cosa = М„
L Т X Z /
(3.111)
где Л/„, Af.r> / ~ проекции момента сил, действующих на шарик, на векторы е„, е., е/ базиса, соответствующего движению шарика. Кроме того, вследствие равномерного движения шарика по окружности, проекции на вектор сил, действующих на него со стороны сепаратора (Fg.) и колец (F., должны быть уравновешены, т. е.
F +F =0. гт ст
(3.112)
По соотношениям (3.111), (3.112) можно определить неизвестные кинематические переменные cjp, cj„, coj, to..
Получим вьфажения для М„, Mj, М., F.. Определим силу и момент, возникающие в контакте шарика с ш-мкольцом. Рассмотрим распределение скоростей скольжения на указанном контакте. Введем прямоугольную систему координат Orjlf, которая связана в данный момент с контактом (рис. 3.19). Оси Ог], Of направим вдоль малой и большой осей эллиптической площадки контакта, а также по нормали к ней. Единичные векторы введенной системы координат е, е, ej. связаны с векторами е„, е., е, соотношениями е = е., = (-1) "с/; Cj. = (-1) ""e и образуют правую тройку: [е, е] = ej.. Найдем распределение скоростей поверхности шарика и кольца в области контакта. Для этого опишем геометрию поверхностей в контакте как без учета, так и с учетом деформации.
Радиус-вектор г, начало которого есть центр шарика, а конец - точка на его поверхности с координатами т?, дается формулой
t=i-- +5.+
t2 Т)
(3.113)
где r, r. - радиусы кривизны поверхности деформированного шарика; 6j - упругая деформация шарика в центре контакта.
Найдем эти величины. Обозначив радиусы кривизны поверхности кольца в центре контакта через ,г°, запишем уравнения начальных форм поверхностей кольца и шарика
2г"
2/
Заметим, что г > О, г ° > О для наружного кольца и > О, г ° < О для внутреннего кольца. Обозначим через г j, rj радиусы кривизны деформированной поверхности кольца и зададим деформированные поверхности кольца и шарика соответственно функциями
Гг,а,т?) =
гт"
(3.114)
(3.115)
где г,Вь - комбинации упругих констант материалов кольца и шарика; 5 5 упругие деформации кольца и шарика в центре контакта (см. подразд. 2.1);
G у/а - (5?- 1?)
Условие соприкосновения тел в каждой точке области контакта имеет вид fj, - f;. = 5, где 5 - упругое сближение шарика с кольцом. Таким образом,
= 8 + fi-
2 г"
-) +
2 г:
Из этого соотношения определяем /и подставляем в формулы (3,114), (3.115):
