внешним радиусом 4 мм и внутренним 2 мм. Площадь поперечного сечения S = = я[(410-) - (210-)Т= 3,77« 10-* м; относительное значение поправки Сг(1-а)
2 • 10 • 2 • 10-=
= 5 • 10-=
3,77 • 10-* • 2,12 • 10"
Следовательно, неучет упругости вала приводит к погрешности при определении жесткости, равной 5 %.
Пусть радиальная перегрузка равна W. Тогда сила, приложенная в точке О, = MW. Рассмотрим рото£ как упругую балку известного поперечного сечения. Предположим, что ш„ = 2 (« = 1, 2), т. е. на роторе закреплены внутренние кольца. Маховик вследствие большой площади поперечного сечения считаем абсолютно жестким, а части ротора, лежащие на отрезках [-0,5/, -0,5д] и [а/2, 0,51] (см. рис. 3.10), - заделанными в точках Z = ± 0,5 а. Введем систему координат, как показано на рис. 3.11, сдвинув начало в центр левой опоры. Под действием радиальной силы ротор получит в точке с координатой z прогиб /(z). В опорах возникнут силы реакции, равные 0,5F, и моменты Af. Рассмотрим левую часть балки. Со стороны отброшенной части действуют момент т и сила 0,5F. Уравнение равновесия моментов относительно опоры имеет вид
Af+m - 0,25F (/ - а) = 0. (3.92)
Запишем уравнение изогнутой оси балки df Q,2SF(l-a) -т-Q,SFi
где / - момент инерции сечения. Проинтегрировав это уравнение, с учетом lz = 0,5 (?-в) - О (поскольку крепление жесткое) получим
1 Рг , а-а)
-z)-i- (l-a) -т)(
При Z = О угол /3 перекоса колец в левом подшипнике 1
1-Тб----
(3.94) (3.95)
Воспользовавшись первым и последним уравнениями (3.40) равновесия подшипника, при б = /(0), 8 = 0, My = М", F = 0,5;, w = 2 получаем
С/(0) +C3/3 = 0,5F,;
V(0) +с,/з=м.
(3.96)
Рассмотрим отдельно левую опору (рис. 3.12). Центр опоры (точка О) находится на линии пересечения оси Oz и плоскости, проходящей через
Рис. 3.12
точки касания шариков с внутренним кольцом. Для вычисления жесткостей, входящих в уравнения (3.95), воспользуемся формулами
48* 3P*Z
46"
/♦соSO*,
полученными из общих выражений (3.41) после отбрасывания вследствие малости величин порядка 6*/v*. Для опоры, изображенной на рис. 3.12, угол контакта таков, что sina* > О и z* = - 0,5p?sina*. Следовательно, /* = z*cosa* + i?*sina* = (R* - O.Sp,cosa*) sina* = Rano, где R - радиус окружности, проходящей через точки касания шариков с внутренним кольцом.
Умножив первое уравнение системы (3.96) на - /*/cosa* и сложив со вторым, получим
.!!!L + л/- = 0; С,/(0) + СхрР = • (3.97)
2cosa* 2
Решив уравнения (3.92), (3.95), (3.97), получим следующие формулы:
m = -f(l-a)-
2cosa*
4 Jl!
Я0) =
(xp ,a-a) a)tgg*
1-- f
1 ••
(3.98)
Проинтегрировав уравнение (3.94) с использованием (3.98), получим смещение центра ротора
(3.99)
2Cr BEJ AEJ SEJ
Определим сумму трех последних слагаемых для ротора, если: Q = 2 • 10 Н/м:
/ - в - 4 см; £• - 212 ГПа; R*=4 мм; а* = 30°; сечение вала - кольцо с внешним радиусом rg = 4 мм и внутренним г/ - 2 мм:
„ .„Ч"" последних слагаемых в формуле (3.99) равна 3,35 -10- » + 1,34 X
X10- - 1.16 10-» = 2,32 10» м/Н. что в 2.5-10-»/(2,32-10-») = 1,08 раза меныде по сравнению с первым слагаемым. Таким образом, жесткость вала при изгибе может быгь сравнимой с радиальной жесткостыо опор. Следователы10, при конструировании равножестких опор следует учитьшать жесткость при изгибе.
3.4. РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ КОНТАКТА ТОРЦА РОЛИКА С БОРТИКОМ КОЛЬЦА
При конструировании цилиндрических роликовых подшипников, работающих при комбинированном (радиальном и осевом) нагружении, 1 возникает проблема восприятия осевой нагрузки. Если сделать торец и бортик плоскими, то при отсутствии перекосов контакт будет представлять собой область ЛЯСО (рис. 3.13). При равномерном распределении контактного давления максимальное давление совпало бы со средним
I P = FJS,
где - осевая сила, действующая на ролик; S - площадь области ABCDE. Однако в действительности давление распределено неравномерно, с локальными максимумами у границ луночки, а при малейшем перекосе область контакта превращается в точку (в одну т А, В, С, D, Е), и максимальное давление становится недопустимо большим. При этом в малой области контакта, расположенной вблизи одной из указанных точек (как правило, В или D), возникают пластические деформации, край ролика режет кромку бортика, что приводит к исчезновению смазочного слоя. В результате происходит интенсивное изнашивание рабочих поверхностей торца и бортика.
Чтобы избежать этих нежелательных явлений и уменьшить давление в контакте, торец ролика делают сферическим, радиусом/?о (рис. 3.14, д), а бортик - наклонным с некоторым углом S отвала. Радиус торца и угол отвала должны быть такими, чтобы область контакта не выходила за контур ABCDE. Размеры области контакта будем рассчитывать по теории Герца (см. подразд. 2.1), предполагая с некоторой погрешностью, что при нахождении упругих перемещений бортик и ролик вблизи контакта можно считать полупространствами. Более того, так как кривизна торца во много раз больше кривизны бортика, область контакта будем считать кругом, радиус которого, в соответствии с формулой (2.17),
Го = V3F;o/(2F), (3.100)
где F* = F/(l - ) - приведенный модуль упругости материала ролика и бортика; v - коэффициент Пуассона.
Если ролик расположен без перекосов относительно кольца (для определенности внутреннего), то координаты центра круга контакта х = О, У =Уо (см. рис. 3.13). Пренебрежем незначительными по сравнению с вы-
Рис. 3.13
Рис. 3.14
сотой h бортика размерами фасок с, на бортике и Сз на ролике, а также расстоянием от верхней кромки канавки для выхода шлифовального круга до поверхности дорожки качения. Тогда с учетом 2го = й получаем формулу для расчета радиуса торца:
Ro = Ehlillfa)- (3.101)
Учет перекосов и фасок приводит к существенному уменьшению R. Введем углы перекоса ролика и г? (рыскание и крен) в плоскостях Oxz и Oyz соответственно. При повороте ролика вокруг точки М (см. рис. 3.14, а) в положительном направлении (против часовой стрелки) на угол т? центр сферической поверхности торца переместится вниз приблизительно на 770 iRo»L - половины длины ролика). Тогда смещение центра круга контакта
(3.102)
При повороте ролика в положительном направлении на угол (рис. 3.14, б) произвольно взятая точка с абсциссой х переместится влево на %х. После перемещения зтой точки в направлении Oz на расстояние
х(2Ко)+Дг = 1, (3.103)
(Д - половина зазора по оси Oz) ролик упирается в бортик. При вьюоде уравнения (3.103) полагали, что радиусы сечений сферы параллельными плоскостями, проходящими через центры сферы и круга контакта, близки по значению. При L < R х ! Подставив х в (3.103), получаем формулы для максимально возможного угла рыскания
lmax=V2Vo и для максимального смещения точки контакта по Ох
(3.104)
(3.105)
Угол отвала конического бортика (см. рис. 3.14, а) определяем по формуле
8=(r-yo)/Ro. (3.106)
Выбор параметров торцового контакта и формы ролика. Изложим метод В.П. Ковалева выбора радиуса i?o торца и угла S отвала бортика на примере вагонного подшипника 42726 модифицированной конструкции ВЗИИТ, предназначенного в основном для установки в вагонные буксы. Конструктивные, технологические и режимные параметры подшипника: радиус дорожки внутреннего кольца = 79 мм, высота бортика h = = 7,5 мм, Cl = 0,7мм,С2 = 1,5 мм,Сз =0,FJ = 2 кН, = 0,3, = 210 ГПа,
= 16 мм.
Рассмотрим два варианта контакта, отличающиеся зазором между бортиком и роликом по оси Oz : lA = 70 и 150 мкм.
При отсутствии перекосов точку контакта надо поместить на оси Оу посредине между точками О vi С (см. рис. 3.13). Тогда/?о найдем по формуле (3.101), в которую вместо h следует подставить эффективную высоту бортика Лдфф = h - Ci - = 5,3 мм; получаем Ro = 1,42 м.
Пусть теперь угол г? перекоса, измеряемый в радианах, изменяется от - 2,2 • Ю""* до 2,2 • 10"*. На рис. 3.15 заштрихована область, внутрь которой не должен заходить круг контакта. Определив по формуле (3.105) при lA =150 мкм Д; = 14,6 мм, убеждаемся, что точка контакта выходит за пределы незаштрихованной области. Следовательно, значение/?о = 1,42 м слиипсом велико, так как приводит к краевому контакту. Используем метод последовательных приближений. Положимте = эфф/ = 4,05 мм, Ло = 400 мм. Тогда по формуле (3.102) Д, =88 мкм, а по формуле (3.105) при 2Д2 = 150 мм Д = 7,75 мм. Построим (см. рис. 3.15) прямоугольник, ограниченный прямыми х = О, х = Д, / = /о -\\\ =Уо + + \Ау\. Проведем две окружности одинакового максимально возможного радиуса с центрами в правых вершинах прямоугольника. Нижняя окружность радиуса Го = 1,7 мм касается нижней границь!, в то время как расстояние от верхней окружности до верхней границы достаточно велико. Поэтому целесообразно увеличить о и /?о, взяв, например, у о = 4,5, Ro = = 450 мм. Тогда Д = 0,1 мм, А = 8,2 мм. Построив соответствующий прямоугольник, видим, что Го = 1,8 мм. Из формулы (3.101) получаем
