Поскольку значения S, определяемые формулами (3.78) и (3.33), должны совпадать (действительно, упругое сближение не зависит от того, в какой системе координат - в К* или К" мы задаем геометрию кольца), то, сравнив указанные формулы, видим, что отклонения геометрических параметров в системах К и К связаны соотношением
Здесь использована формула / = z*cosa* + R*wm*. Поскольку в окончательное выражение, связывающее отклонения в двух системах координат, не должен входить угол контакта а*, то из формулы (3.79) находим
Таким образом, наличие перекосов и смещений при посадке m-ro кольца (е, Зп» 7> 1т> Тт» Гт) эквивалентно появлению дополнительных слагаемых в выражениях для отклонений, обусловленных изготовлением.
Предположим вначале, что угол поворота кольца при посадке равен нулю (ущ = 0). Тогда осевое смещение при посадке эквивалентно изменению осевого положения центра кривизны желоба, а наличие радиальных смещений и перекосы при посадке эквивалентны появлению дополнительных выражений для отклонений в составляющих Р2 + т Р+т вектора геометрии, причем гармоники этих отклонений являются гармониками первого порядка. Наличие же угла поворота при посадке равносильно тому, что происходит поворот кольца с суммарными отклонениями (включая смещения при посадке) на угол ут • С учетом формулы (3.2) для коэффициентов разложения отклонений в ряд Фурье получим следующие соотношения:
0.50 (4+т) =0,5ао{4+т) + т 1 (4+т) =1 (4+/П) +R*?m
Здесь величины с чертой относятся к системе К. Из этих формул следует, что если значения До (4 + т). (4+т) > *i (4+т).i (2+«2 1 (2+/«) отличны от нуля, то соответствующие амплитуды ртклонении геометрических параметров в системе К, связанной с ротором, можно сделать равными нулю надлежащим выбором смещений при посадке. Практическое же достижение этого результата - сложная технологическая задача.
Пусть теперь известны погрешности pj изготовления всех колец ротора (статора) в системе, связанной с ротором (статором). Эти отклонения можно либо измерить в узле в собранном состоянии (отдельно для колец статора и колец ротора), либо, зная смещения при посадке каждого из колец, рассчитать по формулам (3.80), (3.81). Выражение потенциальной
энергии всего узла nonjacM суммированием энергий отдельных подшипников, т. е. выражений (3.52) :
Значения D", Dy, D" дня и-го подшипника вычисляем по формуле (3.53). Кроме того.
(3.83)
где ip о - угол поворота комплекта шариков в w-m подшипнике.
Использовав выражение (3.82), запишем уравнения равновесия ротора на подшипниках с учетом отклонений формы и размеров при изготовлении:
-Кхр
-Кхр О
Х (-1) "P*»Z"sma*" л= 1
Уо Ч а
+ 2 (-1) "il-
11=1 28*«
-Djcosa*" -coso*"
Входящие в эти уравнения жесткости вычисляем по формулам (3.69), причем вторыми слагаемыми в правых частях (т. е. величинами, пропорциональными S *n/v*") следует пренебречь. Для ротора на одинаковых шариковых подшипниках уравнения равновесия можно записать в более простой форме:
+ (-1)
- ф\ + Dl) cosa*
- фу +Dpcosa* (D-5*)sina* Ф1-Бу)1
-Ф1-о\)1
(3.85)
3.3. УЧЕТ УПРУГОСТИ ВАЛА ПРИ РАСЧЕТЕ ОСЕВОЙ И РАДИАЛЬНОЙ ЖЕСТКОСТЕЙ РОТОРА НА ДВУХ ШАРИКОВЫХ ПОДШИПНИКАХ
При наличии инерционной нагрузки происходит перемещение центра масс ротора, на которое влияют не только жесткости опор, но и деформируемость всего ротора. В связи с этим рассмотрим две задачи о перемещении центра масс ротора под действием осевой и радиальной перегрузок. Геометрия узла схематически представлена на рис. 3.10. Предположим, что до приложения нагрузки центр масс совпадает с центром симметрии ротора. Пусть опоры одинаковы [см. (3.70) ] и имеют осевую, радиальную, угловую жесткости Q, С, и перекрестные жесткости (- 1)"**С. Предположим, что маховик имеет массу М и площадь поперечного сечения, значительно превышающие массу и аналогичную площадь остальной части ротора. Это допущение позволяет свести распределенные инерционные нагрузки в точку О - центр маховика и рассматривать задачу об упругой деформации вала под действием такой сосредоточенной силы.
Пусть осевая перегрузка равна Iv. Тогда сила =MWz, приложенная в точке О, вызовет осевые перемещения точек ротора. Обозначим /(z) конечное положение точки с начальной координатой z. Тогда перемещение точки равно /(z) - z. В левой и правой опорах возникнут силы реакции 21 hF 2, причем
F„= ±F*-Czl/-(-0,50 +0,5/];
F22=+Fi- Сг [/"(OiS/) - 0,5/], (3.86)
где F* - усилие осевого натяга. Верхний знак в этих формулах берется в том случае, если смещение ротора в положительном направлении оси Oz вызывает уменьшение осевого усилия в левой опоре (и = 1) и увеличение в правой (« = 2); в противном случае берется нижний знак. Если воспользоваться введенными ранее обозначениями, то этот знак такой же,
как и знак числа - sgn (sina*)(-!)"[ sgn(x) - знак числа х] . Запишем условие равновесия
+ г2+г=0. (3.87)
Отрезок dz после деформирования будет иметь длину df, а относитель-
df - dz df
ное удлинение df
- 1. По закону Гука, напряжение в точке z
(3.88)
где Е - модуль упругости материала вала.
На каждом из участков [- 0,5/], [0,5/] значение (t5(z) (5(z) - площадь поперечного сечения) должно быть постоянным и равным - Fi на левом участке и - на правом. Таким образом, имеем соотношение
-г-........ d
Рис. 3.10
Рис. 3.11
dfjdz = 1 + Fz„(- 1)"7 [FS(z)], справедливое при я = 1 для левого участка, при и = 2 - для правого.
Проинтегрировав эти уравнения, находим
-dz+/(0), -0,5/<z<0; (3.89)
rfz+/(0), 0<z<0,5/.
Использовав данные формулы и соотношения (3.86), получим F,,= [±P-C/(0)]/[l + T];
Fz,= \-F*- cjmi [1+4- Т •
Из условия равновесия (3.87) находим связь между Fz h/(o) :
Следовательно, осевая жесткость узла
Пусть S{z) = S- const на части вала [0,5д, 0,5/]. Тогда K,2[llC,+ g-a)l(2SE)]
1 -1
(3.90)
(3.91)
Вычислим значение величины СО - a)l(2ES), определяющей относительную поправку к жесткости опоры, обусловленную упругостью вала. Параметры приборного узла: Q = 2-10 Н/м, (/ - а)/2 = 2 см, Е = 212 ГПа, сечение вала - кольцо с
