Из полученных выражений следует, что зависит только от гармоник отклонений формы и размеров колец, номера которых кратны числу Z шариков в комплекте. Эти гармоники влияют также на относительное осевое смещение колец [см. (3.55) ]. Так, например, если число шариков в комплекте Z = 7, то в формулы входят только гармоники с номерами .... -14, -7. О, 7, 14, ... и т. д. На радиальные смещения колец оказывают влияние Dx, Dy и, как следует из полученных для них выражений, лишь те гармоники отклонений геометрических параметров колец, которые имеют номера rZ - 1. Например, для подшипника с числом шариков Z = = 7 номера этих гармоник равны .... -13, -6, 1, 8, 15,... и т. д. На смещение колец влияет также разноразмерность шариков в комплекте. Так, если кольца подшипника идеальны, то смещения, обусловленные только разно-размерностью, равны
Ьу = -
Zcosa* 2
Zcosa* 1
Zsina*
2 p /=1
в формулы для Dx, Dy, входят не отдельные амплитуды отклонений m-ro кольца, а их линейные комбинации с коэффициентами, завися-ugiMH от угла контакта. Если ввести обобщенные амплитуды отклонений кт> Bkm° кольца по формулам
km Вкт
= (cosa* - 1)
+ (-l)"cosa*
"к (2+m)
- (-l)"sma*
\ (4 + w)
(3.63)
TO формулы примут вид
- Z z
Dx= 2 pli <x)b4)j + - 2 2 f=l 2 t=-°° m=l,2
-fZ(po](fZ-i)m -sin[(-07m -VolCrZ-Dm
cos[(/Z-l)T«-
(3.64)
D= I psinv* + 4- 2 2 (-cos[(rZ-
-\)Ут- tZ<p] (fZ- 1)m - Sin [(rZ - 1)y„ --tZ>po]Af2:-i)m
- Po)](rZ)m - sin [tZ(Ут-о)]Вtz),
(3.65)
(3.66)
Обобщим методы и формулы статического расчета одного подшипника применительно к узлу, состоящему из Af подшипников.
Предположим, что ось симметрии узла с номинальной (идеальной) геометрией в начальном состоянии совпадает с осью ротора. Введем систему координат, связанную со статором, и систему О, связанную с ротором (Oz и Of - оси симметрии колец, закрепленных соответственно на статоре и на роторе). Пусть в начальном состоянии системы координат совпадают. На ротор действуют внешние силы F, Fy, F и моменты М, My. Эти факторы вызывают перекосы и смещения системы координат ротора, которые, как и ранее, будем характеризовать тремя углами а, j3, у и координатами Хо, Уо, Zo точки О в неподвижной системе статора. Зададим геометрию каждого подшипника в начальный момент в неподвижной системе координат. Обозначим вектор номинальной геометрии п-то подшипника черезр = \рГ, pV, рГ, pS", рГ, Р%", рГ ] • Пусть т„ -номер того кольца по подшипника, которое крепится-к ротору, тогда
"п~"п~(~0""т номер кольца, закрепленного на статоре. Вследствие нагружения произойдет перекос т„-го кольца в п-м подшипнике, а кольцо т„ останется нeпoдвижньпvl, причем углы перекоса и смещения w-ro подшипника будут одинаковы для всех подшипников и равны а, j3, у, Хо,
Ранее получено выражение (3.39) для потенциальной энергии одного подшипника. Энергия для всего ja получается суммированием значений потенциальной энергии отдельных подшипников, т. е.
П= 2 П„.
п= 1
а для П„ следует использовать выражение (3.39), в котором величины Ао, S*, Z, а*, V*, Z*, R*, I имеют индекс п, а величина равна разности лг-координат внутреннего и наружного колец (S -хо -ю); аналогичные соотношения имеют место и для Ьу, б, б, б. Когда в w-м подшипнике ротор перекошен, а статор неподвижен (т. е. w„-e кольцо перекошено, а от„-€ неподвижно), то ocjo = 0,XiQ= Хо, если внутреннее кольцо крепится к статору, и = 0,х:2о = о. если к статору крепится наружное кольцо. Таким образом.
S2 = (-l)%o, 5«, = (-i)"Vo;
S," = (- = (- !)""«, = (- l)"*"/3;
Ti = T.T2 = 0, еслиm„ = l; Ti =0, T2 =y, если m„=2.
Выражение для Ущ можно записать в короткой форме: = У, где символ Кронекера 8=1 при / = / и S- = О при / Ф /. Потенциальная
энергия узла
5 п= 1
Z" J z"-1- sina*" +
2 s*"
8S*"v*"
+ (/г*")2] (o
5Z" , 3v*n
+ jg)cosa*» -2/"Ooa-xoj3)cosa*" + 2zSsina* + Уравнения равновесия узла будзпг иметь вид
(3.67)
2 (-l)""i*"Z"sina*"
п= 1
~Кхр
(3.68)
где Р*" = К%" (S*") - нагрузка в контактах w-ro подшипника; коэффициенты матрицы представляют собой жесткости узла:
Для узлов, способных поддерживать состояние предварительного натяга без приложения внешней осевой силы F, = О является положением равновесия, и, как следует из третьего уравнения системы (3.68), зто возможно лишь при
2 (- l)""i»"Z"sina* = О,
п= 1
т. е. если сумма осевых сил, действующих на ротор со стороны всех подшипников в состоянии предварительного натяга, равна нулю.
На рис. 3.9 приведена конструкция узла, у которого полюсы отдельных подшипников совпадают (D - полюс узла).
Рассмотрим узел, состоящий из двух подшипников с одинаковой номинальной геометрией и не имеющий полюса, для которого верны следующие соотношения:
R* =R*2=R*. 2*2= z*»=z*; а*=-а*=а*;
[/*! = =„*. (3.70)
nti = ш2 = тп .
в отличие от формулы (3.33), здесь /1, /2 относятся к разным подшипникам. Индекс п = 1 относится к левому подшипнику, а w = 2 - к правому. Узел с m = 2 изображен на рис. 1.13. Последние два соотношения (3.70) означают, что на роторе крепят либо оба внутренних, либо оба наружных кольца. Жесткости такого узла вычисляем по формулам:
„ 3P*Z .. 28* , 2 *
Кг =-(1 +-tga*)cosa*;
3V 28*
К, = (1 + ctg a*)sina*;
(3.71)
а- - (l+4tg0)/
Кхр = 0.
Перейдем к исследованию статики узла с учетом отклонений формы и размеров. При получении формул (3.70) для жесткостей узла предполагали, что существует система координат, связанная со статором, в которой кольца в начальный момент представляют собой идеальные торы, а ось Oz является их осью симметрии. Однако это предположение выполняется далеко не всегда. В действительности следует учитывать, что кольца в результате их посадки в статор и ротор имеют определенные перекосы и смещения. Будем считать, что эти погрешности, обусловленные посадкой, малы. Покажем, что их можно рассматривать как погрешности изготовления в системе, связанной с ротором или статором - в зависимости от того, где они крепятся.
Исследуем выражение для упругого сближения S из (3.33). При его получении исходили из того, что есть неподвижная система координат К = Oxyz и связанная с кольцом система К = 0%г, в координатах которой выражены отклонения формы и размеров кольца. Предположим теперь, что в системе fC кольцо имеет перекосы, обусловленные посадкой.
Это означает, что существует система .А" = 0"г\, в которой эти перекосы и смещения равны нулю и в которой измерены отклонения вследствие погрешностей изготовления кольца. Координаты в системах К. и К связаны соотношениями
= 5(а,)3,т)
(3.72)
где 0"- углы перекоса; У- угол поворота кольца при посадке; ri f- смещения при посадке (координаты точки О" в системе К). Напомним, что /3, - а, 1 - составляющие единичного вектора вдоль оси в системе К, а cosy, - siny - составляющие единичного вектора вдоль оси на плоскость 0ц% системы К. Таким образом, 7 - угол поворота кольца при посадке, отсчитываемый против часовой стрелки, если смотреть с конца направляющего вектора оси Значения а,%Х, Я, Г малы вследствие малости смещений при посадке. Используя формулы (3.20) и (3.72), получим связь координат в системах КлК":
+ S(a,/3,T)
У-Ур
(3.73)
- транспонированная матрица S. Поскольку углы ot, /3, а, (Гмалы, то с квадратичной по этим углам точностью
c0s7 sm7
S(,a,0,j)= -sm7C0S7 -f(7) . (3.74)
P -a 1
где Ни) Л (у) вычисляем по формулам (3.28).
Для произведения матриц, входящего в вьфажение (3.73), с такой же точностью имеем
Р = 0 + cosy + awiy, а = а + асо87-smy, Й7 + 7) =5(7 + 7)1 Л(7 + 7) = Г(7 + 7)1
Для величин Хо, Уо, Zq квадратичной погрешностью получаем выражение
Xq +cos7 - rTsiny Уо +sin7 + i7cos7 zo-f
(3.76)
Таким образом, связь координат в системах iC" и К имеет вид
X - Хо
У-Уо
= S(a, /3,7 + 7)
Z -Zc
(3.77)
т. е. аналогична связи (3.20) координат в системах К" к К.
Пусть теперь отклонения формы и размеров рабочих поверхностей колец измерены в цилиндрической системе, связанной с системой К". Обозначим соответствующие отклонения через Ц-. Тогда, исходя из уравнения (3.77), получим вьфажение для упругого сближения 5, аналогичное (3.33), но в котором 0, РтЪп тоХтоУто,Р}0= I, 6) заменены соответственно на От, Г„ = 7« + Гт, то, «о» Уто Р}0 = 1. 6), а именно:
