Таким образом, в линейном приближении система (3.36) уравнений равновесия сводится к линейной системе уравнений относительно 5, 5„
Q О О О
О Q о -Сх(з О
О О Q О О
О -Схр О Са О
<*(3 О О О Са
5х h
5а 5/3
= (-1)
Отличные от нуля элементы матрицы жесткости
26*
г= Схх= Су у + --tqa*)cos2a*;
Са= Саа = С,,=Л(1 + =Х(1 + -%q0)/
3v* Г 3v*
(3.40)
2б *
Q = 2l(l +-Ctqa*)sin*a*;
3v *
(3.41)
Схр - Cya -X(/cosa* + J(z *sma* - Л* cos a*) sin a*) =
3v *
= XZ(1 - tqa*tq0)cosa*; 3v*
d = /?*Cosa* -z*sina*; tq0 = .
n™Z"" РИ- 3.8- В выражениях для жесткостей
присутствуют пропорциональные 5*/v* слагаемые, наличие которых вызвано тем, что были учтены значения квадратичного порядка при разложении Кр). Учет подобных величин для радиально-упорного под-шипника приводит к незначигельш.1м поправкам. Последние могут 110
оказаться существенными лишь в двух случаях: угол контакта близок к нулю (радиальный подшипник), угол контакта близок к 90° (упорный подшипник).
Пусть началом неподвижной системы координат (см. рис. 3.8) выбрана точка D пересечения линии контактов и оси симметрии подшипника.
P*Z R* PV.
Тогдаl = 0,d = R*/cosa*, С„ = -j - ,Схр
Сха = -
/?*tqa*.KaK
видно, в этом случае угловая жесткость меньше значения аналогичной величины из формулы (3.41) приблизительно в v*/5* раз (т.е. как правило, примерно на два порядка). Точка D называется полюсом подшипника и характеризуется тем, что угловая жесткость подшипника относительно этой точки аномально мала. Поэтому во избежание значительных перекосов следует обеспечить условия эксплуатации, в которых момент внешних сил относительно полюса равен нулю либо незначителен. Заметим, что если бы в формулах (3.41) для жесткостей не были учтены вторые слагаемые [порядка 5*/v*, обусловленные слагаемые Ail 2 и А]18 квадратичного порядка при разложении v((/>, то угловая жесткость относительно полюса была бы равна нулю.
Рассмотрим теперь задачу статики (3.36) в следующей постановке:
1) перекосы и смещения колец могут быть велики настолько, что может возникнуть разгрузка некоторых шариков;
2) потенциальная энергия вычисляется по формуле
П =Ко{у*Г Л5* - 1 + РШ" 0[д*- 1 + Р{ур)Щ, (3.42)
которая получена из (3.35) в предположении, что2 °°. Пункт 1 фактически означает, что допускаются настолько большие смещения, что уже нельзя пользоваться уравнениями статики (3.40), верными в линейном приближении, однако величины Ва и Вх оказываются все еще малыми. Пренебрежем в выражении (3.34) для упругого сближения квадратичными членами (т.е. слагаемыми All, AllS, вклад порядка 5*/v*). Тогда выражение (3.42) для потенциальной энергии принимает вид
/ [Лг + Axcosifi + Aysin(/>] 0(Лг +
+ A;xCOsv>+ Aysinifi)d>fi; Аг=5* - Szsina*;
* " S0)cosa*, Ay = iSy - -L-SJcosa*.
Заметим, что выражения, стоящие в круглых скобках в формулах для Лд: и Лу, представляют собой х- и >-смещения внутреннего кольца относительно наружного в точке D. Введем переменную Л- = •>/л~+~л и преобразуем выражение для потенциальной энергии
П = 4 0 / (Az + Arcosf 0(Лг + Л.сов)) d,).
5 2.
(3.43)
Эта формула верна не только для подшипника с предварительным осевым натягом, но и для подшипника, который в начальный момент находится в состоянии предварительного касания, причем в последнем случае в выражениях для Ах, Ау, Лг следует положить а* = Uq.
Уравнения равновесия (3.36) в случае, когда потенциальная энергия определяется формулой (3.43), принимают вид
(-1)", =KoZIr
(-irFy=KoZIr
(8; cosa* +8/)cosa*
{6;COsa* - 6a/)cosa*
(-l)"*Fz =KoZIzSma*;
(- l)"Mx =KoZIr У-
(8/ + SxCo%a*)l
1 - COSip
-- / (Az + A;COSv>)0(Az + ArCOSip)dif. 2я Q 1
Из двух первых и двух последних уравнений следует, что
Fy = 0; My --
-Fr = 0.
cosa" cosa*
т.е. поперечные моменты относительно полюса равны нулю. Таким образом, и в "нелинейной" постановке угловая жесткость относительно полюса равна нулю.
Разделив первые два соотношения на cosa*, возведя их в квадрат и сложив, получим
(Fi + F})/cosa* = (KoZIr)\
Обозначим Fr = V Fx + Fy радиальную составляющую силы. Тогда совместнос третьим уравнением системы получим
F cosa* ArCOSVJ)COS0(Az + ArCOS<p)d.
K.Z 277
" о
(3.44)
X 0(Az + ArCOSip)difi .
Из этих уравнений можно определить условия разгрузки шариков. Разгрузка начинается, когда Az + A-cosip принимает нулевое значение хотя бы при одном значении р. При Лг > > О значение указанной величины положительно, и разгрузка невозможна. Начальному моменту разгрузки соответствует Az = Л. Подставив это соотношение в уравнения (3.44), имеем
F дз;2 2»Г 2 „2
---f- = /(1 + cos) cosipdip =-ЛЗ;
KZco$a* 2я о 10я
= ;(1 + cos,pfd,p= АГ,
KZsina*
откуда, исключая А,, получаем условие начала разгрузки шариков
5Fr Seir-fz (3.45)
cosa"
sina*
Для доведения системы уравнений (3.44) до сравнительно простой расчетной методики введем следующие обозначения:
„ Az
л = V А+Л>; X = arccos-,
F„ =
; 9г = arcsin
KZ F„cosa*
O<0f <я/2.
Тогда система (3.44) в новых переменных принимает вид
Fosin0г= л /,(х);
FoCos0/. = A3/z(x);
(3.46) 113
/(cosx+ smxcos(/>) 0(cosx +
+ sinxcosip)
COSip
где величины Ра,вр,Ко,2 заданы. Определим х из уравнения
СО%вр =-
/г(х)
которое следует из системы (3.46). Затем
[/(х)+ /Их)!
/л(х)-
(3.47)
(3.48)
Максимальную нагрузку Рах действующую на щарик, определяем по формуле
imax =Jo(Az + Л,)" = /max(x);
/ш ах (X) = (COS X + sinx)VV/(x)+7?(x):
Из последнего уравнения следует, что cosx + sinx > О, т.е. О < х < Зл/4. Угол вр нагруженной зоны (угол сектора, который занимают нагруженные шарики) определяется формулой
Минимальная нагрузка отлична от нуля при О < х < /4 и равна нулю при 7г/4 < X < 37г/4. В табл. 3.1 представлены значения вр, х, вр, 1, /ах тт-ПриХ37г/4
/л ~
1.07925 (Зя/4-х)""»
Ли ах ~
1,8856
(ЗтгМ-х)"
Зависимости х (f) . -л (х). ах (х). щ in (х) всем диапазоне изменения вр их можно аппроксимировать следующими формулами:
Г 1,3420/г,О<61<О,515, Х(М = • 3,4780/,-1,1, 0,515 <0/,< 0,648,
8,759 (вр - 7г/4) + ЗтгМ, 0,648 < 0 < 7г/4
(с погрешностью менее 3 %) ;
1,07925
/л(х) =
(с погрешностью менее 5 %);
1,8856
[1 + 0,132 + 0,288 (37Г/4 - х) (37г/4 - х) ]
(Х) =
(Зя/4-х)" (с погрешностью менее 2 %) ;
min(x) =2-/,(х),0<Х
[ 1,364 - 0,262(х - 37Г/8)* - 0,186е-5"
;7г/4
(с погрешностью менее 2 %).
При значениях х, больших 37г/4, задача не имеет решения. Исследуем задачу при х Зтг/4. При указанных значениях х угол зоны нагруженных шариков стремится к нулю, и интегрирование в (3.46) проводится по малой окрестности точки tp = О, где cosx + sinxcosip > 0. Эта окрестность тем меньше, чем значение х ближе к 37г/4. Если в первом интеграле (3.46) положим cos = i, то при X -*Зп/4, I/Iz 1. Тогда, как следует из (3.47), cosdp -* 1/л/2, твр -* 1/V2, и верно равенство
(-l)"*F, р.
Это соотношение определяет максимально допускаемую радиальную нагрузку при заданной осевой
(-!)"Fctgft*.
Решение задачи, в котором число шариков равно бесконечности, принадлежит Шовалю. Такое его изложение, хотя и отличается от классического, но, по нашему мнению, является более удобным, поскольку вход-, ной параметр 0р меняется в конечных пределах.
Перейдем к исследованию статического комбинированного нагружения подшипника с учетом отклонений геометрических параметров. Для оценки упругого сближения шарика в контакте используем формулы (3.33). Пусть углы перекосов, смещения и отклонения малы настолько, что нагружены все шарики. Тогда потенциальную энергию, запасенную в упругих контактах одного подшипника, вычисляем по формуле
