Длина вектора ОМ" в линейном приближении равна сумме длин первого слагаемого и проекции второго слагаемого на направляющий вектор первого слагаемого: -»
р = (?Л/"«» r-(jCo+ 3z)cos(>-(yo-az)sm(/> = r-H;v5)-zKv)-Справедпивость второй формулы также доказана.
Первая и вторая строки матри1Ц>1 S составлены из проекций векторов е, е на оси системы К, поэтому
Таким образом, вектор + ет/ складывается из двух векторов: efl+ е,,17 =г[еСо<(-7)+ e„sm(v> - 7)] + -ej[i(7)+ г(7)]--е[м(7)+ zf(7)]}.
Видно, что угол ф равен tfi - у плюс поправка, обусловленная вектором в фигурных скобках и равная проекции этого вектора на единичный вектор - esin((j - 7) + eT,cos(v5 - 7) (ортогональный первому слагаемому), деленной на г. Таким образом,
и представляет собой поверхность тора с отклонениями формы и размеров. На рис. 3.7 представлено сечение наружного кольца (т = 1) плоскостью Фт - const. Штриховая линия относится к кольцу с номинальной геометрией, а сплошная линия - к кольцу, имеющему отклонения геометрических параметров. Цилиндрические координаты центра кривизны сечения желоба в связанной системе координат в плоскости ф/„ = const
Рт=Р2*т(<Р~Ут)+ (-)"Рт(<Р-УтУ, fm =Р4*т{ч>-Ут)-
Введем малую величину бр (максимальное значение отклонения)
бр = max [ шах Ip/Cv)!]. 1</<6 0<1<2я
Цилиндрические координаты г, z центра кривизны желоба в плоскости ifi = const в неподвижной системе координат можно определить из двух первых уравнений (3.27), для чего подставим в левую часть f = fm> р = РтИ решим эти уравнения относительно г, z. В линейном приближении по еа,ех, бр получим
sina* =(p?-pg)/v*. Здесь V *, a* - расстояние между центрами кривизны и угол контакта в подшипнике без отклонений геометрических параметров, смещений и перекосов колец в состоянии предварительного натяга. При aj = а, + тг условимся называть углом контакта для всего подшипника величину а,.
Относительная погрешность, допущенная при переходе от (3.31) к (3.32), - величина порядка М/у*. Фактически значение этой величины 106
превышает ранее допущенные погрешности, поскольку отношение Mjv * ве-лико (для примера расчета из подразд. 3.2 М/у*«=200). Упругое сближение шарика с кольцами вычисляем по формуле
s=5*+5, 5*=p?-p?-pS + v*;
5 = S (- l)"[i;„(i)cosa* -zosina* + 1ттШ + m = l.2
+PV,P.7i,72), (3.33)
1 де 5* - упругое сближение в состоянии предварительного натяга;
р = рт + S [(cosa*-l)pw(¥-7m)+(-l)"Ri*m(v-7m)cosa*-m= 1,2
I -(-l)"pm(<-7m)sina*];
Im =P4 .m cosa* + (p°2 .m + ("!)" Pm )sina*.
Модуль Im равен расстоянию от начала координат до линии контактов в подшипнике в состоянии предварительного натяга, поэтому h = h = (рис. 3.8).
Исследуем статическое комбинированное нагружение подшипника без отклонений в геометрии, исходя из выражения (3.31) для расстояния между центрами кривизны желобов.
Заменим величины p\*m, P%*m, входящие в формулу (3.31), Ha/?*,z», при этом будет допущена погрешность порядка v*/M (как правило, она не превышает 1 %):
\(ф)= [v*cosa* + Kv)+ z*k(}p)f + "
Упругое сближение в сечении ifi = const вычисляем по формуле
где 6*, 8x, 8y, 8z, z*, R* - безразмерные величины, равные соответствую щим размерным, отнесенным kv*. Потенциальная энергия в контактах шариков с кольцами
где F(vy)- слагаемое в npaBoii части соотношения (3.34); iy - углова координата /-го шарика.
Пусть шарики расположены равномерно по окружности: ifij = io + + 27г(/" - 1)/Z и возможна полная разгрузка шариков. Тогда Z
ПКо*" S [8*-1+Fiipf)fe[8*-1 +Р(ф (3.35)
/= 1
Здесь в(х) - функция Хевисайда, определенная соотношением 1,х>0,
0,х<0.
Пусть к w-y кольцу приложены силы Fx,Fy,FzVi. моменты Мх,Му. Запишем уравнения равновесия
=(-i)-v*F„ = (-l)-v*F;
аЕх эп
= (-1)"у*г;
ЭП Э6„
(3.36)
•=(-1)"а««(-1)"л/;с
= (-l)"Qp=«(-l)"M.
Два последних приближенных равенства получены из (3.25).
Систему (3.36) решаем приближенно, так как она не имеет аналитического решения.
Рассчитаем матрицу жесткости подшипника при центральном положении колец. Для этого разложим выражение (3.35) по 8х,8у, 8z,8a, 8 до квадратичных слагаемых включительно, предполагая, что смещения и перекосы достаточно малы и в[8* -1 + F(ipf)] = 1 для любого/, т.е. все шарики нагружены. Выражение в фигурных скобках в формуле (3.34) равно I + Al + Аг, где
Al = 2[(8х + z*5)cosi + (8у -z*5a)sinv3]cosa* -- 2[Sz + R*(8aSinip-SpC0Sip)]ma*; Ai = [(8x + z*Sp)cos>p + (Sj, - z*5a)sini] + + [5г + Л*(5„51П¥ -5gCosv?)]. Используя формулу Тейлора, с точностью до квадратичных членов включительно получаем
Al Аг
(1+1 + 2)"= Т~ г---8
6-(.)=[6-*-i.i.f-4-fr =
2S-* 26* 86*
4 6* 16 «* 32
Тогда потенциальная энергия
п = а:о6* £
/ = 1
15 A\j
5 Al/ 5 Aij S a\j
4 6*
16 I*
Пусть шарики расположены равномерно по окружности, т.е. ср.=о+ 27J(/-1)/Z, Z>2. Воспользуемся следующими соотношениями:
(3.37)
S C0S(W45,) =
2 sin(.wv3/) = /=1
0,тФkZ, к- целое число, [Zcos(wio). = к2,; 0,тФ kZ, к - целое число, Zsin(W(po), w = kZ.
(3.38)
После преобразований получаем искомое выражение (в размерных переменных) для потенциальной энергии с квадратичной точностью
