Значения Р, полученные во втором и третьем приближошях, отличаются менее чем на 0,2 %. Такая точность вполне достаточна. Если сравним результаты расчетов, проведашых в этом примере, с результатами расчетов 1фимера 3.1, увидим, что нагрузка в контакте из-за наличия пленки смазочного мато>иала возросла почти в 2 раза, значение контактного давления увеличилось в \/Т= 1,27 раза, а у1фугое сближение в 1,7 раза.
Получим выражение для осевой жесткости подшипника. При предварительном натяге в контактах шарика с кольцами сосредоточена упругая энергия, а шарики являются своего рода нелинейными пружинами, сжатыми силами Р на бо, причем Р = KoBl. При увеличении v на Д деформация 5о пружины увеличится на то же значение, что приведет к увели-98
чению силы на АР = ЗКоВ Д/ 2, т.е. жесткость пружины (шарика) /Се = = 3P/(2So).
Предположим теперь, что осевое расстояние между центрами кривизны сечения колец увеличилось на А. Тогда v увеличится на Д у= Д28Ш а. Тангенс угла контакта получит приращение Ajipl + Рг + Ра -Рз) [см. (3.12)], а синус угла контакта изменится при этом на Дгсова/у. Осевую силу, действующую на подшипник, вычисляем по формуле (3.5). В результате осевого смещения она изменится на значение
AF, = Z(APsina + Р А,) = Z-Aml + с1§а)Д,.
Осевую жесткость подшипника находим по формуле
z = zsinVl+ ,ctga).
26, 3v
(3.19)
Второе слагаемое обусловлено изменением угла контакта при осевом смещении. Поскольку §о/ 1, то
Кг =--Zsina. 2 «о
Значение указанного слагаемого существенно лишь при малых а, т.е. для радиальных подшипников.
Оценим второе слагаемое в формуле (3.19) и рассчитаем осевую жесткость подшипника 211:
Как видно, значение второго слагаемого в формуле (3.19) в данном случае сушест-венно.
Если требуется найти жесткость узла, необходимо сначала найти жесткость каждого подшигашка, а затем просуммировать полученные значения.
Статический силовой расчет узла при комбинированном нагружении с учетом погрешностей изготовления.Рассмотрим статически нагруженный шариковый подшипник, к кольцам которого приложены осевая, радиальная силы и момент. В результате кольца подшипника получат взаимные перемешения в осевом и радиальном направлениях и, кроме того, произойдет перекос.
Введем две правоориентированные системы координат: К = Oxyz - неподвижная, А= 0tjf -связанная с кольцом (рис. 3.5, а). Координаты точки в двух системах связаны следующими соотношениями:
(3.20)
где лго, >о. 0 - координаты точки О в неподвижной системе; 5 - матрица поворота.
Представим S в виде произведения матриц соответствующих трем простым поворотам вокруг осей (рис. 3.5,6, в) :
5 = 5(a,,7) = 53(7)52(>Si(a),
C0S7
sin 7
5з(7) =
-sin 7
cos 7
>
cos3
-sin3
, 5i(a) =
cosa
sin a
cos3
-sina
cosa
Тогда
5(a,,7) =
cos3cos7 cosasin7 +
+ sinasin3cos7
-cos3sin7 cosacos7-
-sinasinsin7
-sinacos
sinasin7 -
- cosasin3cos7
sina cos7 +
+ cosasin3sin7
cosacos3
Наглядно переход от системы К к системе К показан на рис. 3.5,д - е. Вначале совершаем параллельный перенос так, что точка О совмещается с точкой О, а оси Ох, Оу, Oz - с осями Ох, Оу, Oz (см. рис. 3.5, б). Затем выполняем три простых поворота (см. рис. 3.5, в) :
1) поворот вокруг оси Ох ( на угол а, при котором оси Оу и Oz совмещаются с осями Оу" и Oz", причем ось Оу" попадает в плоскость 0%г\; заметим, что в результате этого поворота ось Оу" оказывается перпендикулярной осям Of и Oz";
2) поворот вокруг оси Оунг. угол до совмещения осей Oz" и Of; при этом ось Ох" системы Оху z окажется вплоскости 0%y\;
3) поворот вокруг оси Of на угол 7 до совмещения осей Ох", Оу" с осями 0%, От].
В дальнейшем потребуется выражение вектора угловой скорости системы К в проекциях на неподвижные {fix, у, z) и связанные (J2j,
Рис 3.5
J2, Щ) оси. Предположим, что имеются а, 3,7.Вектор угловой скорости является линейной комбинацией производных а, 3, у, т.е.
(3.21)
где В - матрица, для нахождения которой воспользуемся несложными соображениями.
1. Вектор угловой скорости, обусловленный а, направлен по ocw.Ox и равен по значению а. Таким образом, = 1,21= О, Л31 = 0.
2. Вектор угловой скорости, обусловленный 3, направлен по оси Оу и равен по значению Д Координаты х, у", z" их, у, z связаны соотношением
cosa
sina
-sina
cosa
т.е. 5-12 = 0,22 = cosa, 5з2 = sina. ,
3. Вектор угловой скорости, обусловленный у, направлен по оси Of, по-этбму = sin3, 23 = - sinacosjS, 33 = cosacos.
Таким образом,
sin3
cosa
- sina cos 3
sina
cosa cos 3
(3.22)
Проекции вектора J2 на связанные оси имеют вид
(2.23)
Матрицу получаем, рассуждая аналогично.
1. Проекции единичного вектора вдоль оси Of на оси системы АГ равны (0,0,1).
2. Проекции единичного вектора вдоль оси Оу" на оси К равны (sin, C0S7, 0).
3. Проекции единичного вектора вдоль оси Ох на оси К равны (cos3 C0S7, - cos3sm7, sinjS).
Поэтому
5n =
cos3cos7 -cos3sin7 sin3
sin 7 C0S7 0
(3.24)
Получим выражения для обобщенных сил Qa, Qp, Qy, которые потребуются в дальнейшем при рассмотрении движения ротора. Для этого воспользуемся соотношением, следующим из определения обобщенных сил:
Мхх + МуЩ + М,Пг = Qaa + Оф + Qyy,
и подставим в него полученное выше выражение для О.. Тогда получим искомую связь
Qa Qp
1 о о
о cosa sina
sin3 -sinacos3 cosacos3
(3.25)
Для дальнейшего изложения введем цилиндрические системы координат: а) С с координатами z, г, tp: х = rcosip; у = rsinip и б) С с координатами f, р, ф: = рсовф; т? = рвтф. Найдем связь координат точки в этих системах. 102
Уравнение (3.20) запишем в виде
р совф
г cos -
р sini
г simp -
или развернуто
г COSVJ = Хо+ Р cos3cos(i + 7) + f sin;
г sin(/>= Уо + p[cosasin ( + 7)+ sinasin3cos(i + 7)] -f sinacos; (3.26) z = Zo + p[sinasin( + 7) - cosasin3cos(> + 7)] + f cosacos3.
В дальнейшем будем считать перекосы и смещения системы малыми, т.е. мало значение = тах( а, 8), а смещения Хо, Уо, малы в сравнении с М = max(l/2*, z*) (i?*,z * - номинальные значения координат центра шарика), что равносильно малости значения Сх = maxOxol, \Уо\, zol)/A/. Пренебрегая членами порядка выше первого по ва, ех, решаем уравнения (3.26), из которых следуют соотношения
Выясним геометрический смысл полученных соотношений. Рассмотрим рис. 3.6. Точка М имеет цилиндрические координаты z, г, ip, декартовы координаты X = rcosip; у = rsinip,z. Единичные векторы вдоль осей О, (Л\, обозначим е, е, , а аналогичные векторы вдоль осей неподвижной системы координат обозначим е, у, z-Третья строка матрицы S составлена из проекций вектора на оси системы К, поэтому с точностью до ва
Cf = -Рх - аеу + Сг. Координата точки М по оси р равна
проекции вектора ОЛ/ - ОМ - ОО на ось Of, т.е. скалярному произве-
