При необходимости проведения параметрического исследования различных конструктивных вариантов подшипника следует использовать ЭВМ.
Перейдем к оценке влияния центробежной силы. Предположим, что для данного подшипника уже проведен расчет при чисто осевом нагружении. Введем систему координат, как показано на рис. 3.4, направив ось Сп вдоль линии контактов, ось С1 - перпендикулярно ей; а* - угол контакта в состоянии предварительного натяга. Если к центру О шарика приложена сила, например, центробежная, равная F, то О переместится из положения при предварительном натяге и будет иметь координаты (Д/, Д„). Предположим, что сила Fц невелика и смещения малы. Введем обозначения: СОт = Vm = - р?/2 (т= \, 2). Упругое сближение в контакте с т-м кольцом вычисляем по формуле
5 = 0.5 -+ , + [(- 1)"у т-А„ ] = Sm + (- ir А„
плюс слагаемые более высокого порядка малости. Вектор силы, действующей на шарик, Fl
F„ m=i.2
- Д/
X [ m
(-1)"у,;,-д„ m = 1.2
+ l(-l)"vm -Ди1
- Д,
-PV->Al Vl)"Vm-Aj*Ll,5PS-.Aj
Таким образом, жесткости положения шарика в направлениях С/ и Сп
2 - - (3.13)
Для всех подшипников, собранных с предварительным натягом, <7 KilK„<L
Если заданы компоненты силы, то смещения центра шарика определяем по формулам
А„ =F„IK„; А, =F,IK,.
В результате смещения произойдет изменение углов контакта. Угол контакта с т-м кольцом изменится на Аа„, = A v, так что новый угол контакта с наружным кольцом будет = а* -Да,, а с внутренним кольцом aj = тг + а* + Да2.
Вследствие большой жесткости вдоль линии контакта действующая на шарик центробежная сила приводит к смещению его центра в направлении, ортогональном к этой линии, что вызовет изменение углов контакта. Смещение же вдоль линии On, хотя оно и мало, приведен к изменению нагрузок в контактах. Если центробежная сила мала в сравнении с нагрузкой в контакте, то можно оценить нагрузки Рщ в контактах. Иэ формулы Герца следует
Рт = Кт[дт + (- irAnf =Р+ 1,5(-1)"* + Д„ =
Р+ 1,5(-1)"
Таким образом, нагрузка на наружном кольце увеличится на 1,5 PF„l(K„Si), а на внутреннем уменьшится на 1,5 PF„I(K„82) (сумма этих изменений равна F„).
Пусть кольца подшипника вращаются с угловыми скоростями 0,щ (положительное направление вращения соответствует повороту от оси Ох на рис. 3.4 к оси Оу). Тогда в точках контакта поверхности колец будут иметь скоростиRmm• Предположим, что в точках контакта отсутст-
Рис 3.4
вует проскальзывание шарика относительно дорожки качения. Тогда, если угловая скорость орбитального движения шарика равна сОс> а проекция угловой скорости его собственного вращения на ось С/(см. рис. 3.4) равна со/, то скорость движения центра уь = <с(* + г)/2, а скорости поверхности кольца в точках контакта равны R,m • Условие отсутствия проскальзывания в направлении движения сводится к уравнениям
Уй + 0,5p?co/ = /?tni; п -0,5p°jiOi=Rt2, из которых находим
Vft =coc(/??+/?l)/2 = 0,5(/??S2i + /?5S22);
=--: "c = -
(3.14)
R** Rt
Центробежная сила, действующая на шарик.
F, Rt + Rt , Rfi + .2
)2[Sina*j.
(3.15)
ть = np-
(P?)
где p - плотность материала шарика.
Пример. 3.2. Определить значение центробежной силы для подшипника 211, если его внутреннее кольцо врашается с частотой 10 ООО мин-; плотность стали р = = 7,83 10 кг/м; а* =-16,83° .
Решение. Вычислим параметры, входящие в формулу (3.15) :
(14,288 • 10- ) mj, = 3,1416 • 7,83 10» -i---
= 11,96- 10- кг;
П, = 0; П, = 10* • 2»г/60= 1047,2 рад/с; R* = 45,5295 мм; Л? = 31,9705 мм. Абсолютное значение центробежной силы
Вычислим изменение нагрузок в контактах. Нагрузка на наружном контакте увеличится на l,5PF„l(К„&,) = 1,5 • 473,76 • 82,79/(2,61 10 • 5,3 • Ю"») = 42,53Н,
а на внутреннем колы4е уменьшится на \,5РР„/(К„6) = 1,5 • 473,76 82,79/(2 6 X X 10» -5,55 • 10-«) =4а77Н.
Изложенный метод учета центробежной силы применим в том случае, когда изменение углов контакта и относительное приращение силы в контакте малы, т.е.
-< 1; 1,5-l(m= 1,2).
Эти условия верны для большинства расчетных случаев. Невыполнение второго условия свидетельствует о неправильном выборе подшипника, J поскольку существенно увеличивается нагрузка на наружное кольцо. Пер- * вое условие может в принципе не вьшолняться для упорного подшипника с углом контакта, близким к 90°, и (или) с малой осевой нагрузкой, когда жесткость Ki недостаточно велика. Если указанные неравенства не соблюдаются, то необходимо решать задачу в полной постановке, исходя из системы двух нелинейных уравнений равновесия шарика
sina
cosa т =
Л:т(6т+ (-1)"*Д„)
+ I(-l)"vm -Д„]
-А, (-l)"vm - Д„
относительно Д;, Д„ (положение колец считается неизменным). В общем случае такое решение проводят численно.
Рассмотрим влияние толщин пленок смазочного материала, возникающих в контактах при вращении колец. Сохраним предположение об идеальной кинематике, т.е. об отсутствии проскальзываний в контактах. Как известно, в формулы для толщины пленки входит скорость качения, равная полусумме скоростей поверхностей в системе, связанной с контактом (относительно которой последний неподвижен). Перейдем к указанной системе, связанной с т-м контактом. Скорость движения ее начала в неподвижной системе равна Rcc, а скорости шарика и кольца в точке контакта в этой системе равны Л(Лт-Ч;)-Скорость качения вычисляется по формуле
Чт = Rm - <с\ Ui= U2 =
(3.16)
R**R*
Обозначим толщину пленки в контактах . Для ее вычисления имеется ряд формул. Наличие смазочной пленки в контактах при фиксированном осевом положении колец приводит к увеличению суммарного упругого сближения шарика с кольцами на величину ht + из- Предположим, что в начальном состоянии в подшипнике имеется осевой натяг и осевое положение колец зафиксировано. Очевидно, что наличие пленки не изменит углы контакта. Пусть 5* - упругое сближение в состоянии предваритель-96
ного натяга. Тогда, если Sq - текущее значение упругого сближения, то 5о = 5*+ Й1 + Й2. (3-17)
Толщину пленки в контакте рассчитываем по формуле
,„=R,UUS2-o,6s)i-ri-y\
Rim Rim Рот
(3. 18)
где Но, Up - динамическая вязкость и пьезокоэффициент смазочного материала при нулевом давлении.
Рассчитываем контактные нагрузки и толщины пленки, используя метод последовательных приближений.
Вычисляем сначала скорость и качения в контактах по формуле (3.16). Для упрощения расчетов находим коэффициенты = 2 m (1,82 -- 0,68R2m/Rtm)i("p/R2mf*> постоянные для всех приближений. Необходимые для вычислений значения Rim, Rim, возьмем из статического осевого расчета, проведенного без учета смазочных пленок.
В первом приближении рот равным значениям при предварительном натяге, в последующих приближениях рот вычисляем по формуле (3.11). Затем определяем толщины ht, пленок , вычисляем упругое сближение по формуле (3.17). Далее по формуле (3.8) находим нагрузку Р в контакте. Если полученное значение мало отличается от значения, определенного в предьщущем приближении, то расчет закончен.
Пример 3.3. Найдем толшины hm пленки и максимальные значения контактного давления для подшишшка 211, смазочный материал МС-20, вращается внутреннее кольцо, iij = 314 рад/с, температура колец 323 К. Использовать данные предыдущих примеров. Смазочный материал имеет следуюш}1е параметры: ц„ (323 К) = 0,141 Па-с, ар= 2,79 - Ю-Па-.
