метрических параметров колец приборного подшипника до 20-й гармони1и включительно, где сплошная (штриховая) линия - амплитуды (fc).
Аналогично можно разложить функцию r{if,e) в двойной ряд Фуье по двум углам. Однако в дальнейшем вследствие упрощающих предположений потребуется лишь разложение диаметра 7(1) в экваториальной плоскости р7((/з) = Kv, 7/2) + r{fp + 7г,7г/2) по углу 1. Функцияр7(¥) имеет период, равный я-, поэтому ее разложение содержит лишь четные гармоники:
Р7(</)=07+ 2 ;t7Cos(2/:V+a;t7)-к > 1
Тогда погрешность р7 изготовления шарика
p7(v)=o7-P7 + 2 Ау го%{1кл-d). (3.4)
> 1
Для приборных подшипников при селективной сборке значение I 07 - I заключено в пределах 0,1 ... 0,3 мкм.
Геометрию сепаратора унифицировать сложнее вследствие различия применяемых конструкций. Выделим три необходимых геометрических параметра: - радиус базы сепаратора; Д - зазор базирования (т.е. разность радиусов цилиндрической поверхности кольца, относительно которой осуществляется базирование, и поверхности сепаратора); Ъ. -ширина базового пояска. Если сепаратор отсутствует либо базируется относительно тел качения, йу, Д и bj теряют смысл. Гнездо (окно) сепаратора может быть цилиндрическим, сферическим, коническим и т.д. В двух первых случаях радиус гнезда обозначим г.
Геометрия ротора в общем случае не поддается описанию с помощью небольшого числа параметров, и в дальнейшем мы будем исходить из конкретной конструкции, поскольку для расчета значений отдельных величин (например, изгибной жесткости) нужно знать всю геометрию ротора. К режимным параметрам узла относят все параметры, определяющие условия его работы, в частности, частоту вращения ротора, характеристики электропривода, температуру окружающей среды, свойства применяемого смазочного материала и его количество, способ смазывания, характер сил, действующих на узел.
Важное значение имеют характеристики используемых материалов: физико-механические (модуль упругости, коэффициент Пуассона, твердость), теплофизические (удельная теплоемкость, теплопроводность, коэффициент теплового линейного расширения). Смазочный материал характеризуется зависимостью вязкости от давления и температуры, а также удельной теплоемкостью и теплопроводностью. Плотность смазочного материала, как правило, не входит в расчетные методики, за исключением лишь случая исследования явления срыва капель масла с сепаратора (джог-эффект).
3.2. статический силовой расчет узла
Статический силовой расчет шарикового подшипника при чисто осевом нагружении. При чисто осевом нагружении узла на каждый подшипник действует осевая сила. Рассмотрим один из подшипников (см. рис. 1.14). Пусть указанная сила равна F. Требуется определить нагрузку Р в контактах, угол контакта а, сближение 5 в контакте шарика с w-м кольцом и размеры эллиптических площадок (д, Ъщ - большая и малая полуоси контакта), максимальное давление рт- Условие равновесия внутреннего кольца имеет вид (а = а j или а = а; 2 )
F2=ZPsina, (3.5)
где Р вычислена с использованием формул Герца (2.17)-(2.20). Но сначала воспользуемся формулами для разности главных кривизн тел в контакте шарика с тороидальной поверхностью w-ro кольца
1 2
1 2
(-l)"cosa
(3.6)
где \lR\m и l/2,n - разность кривизн соответственно в плоскости поперечного сечения желоба и в плоскости, проходящей через отрезок ООг и являющейся ортогональной по отношению к упомянутой плоскости;
= Р2+ т (~ l)"* Рт (1 - I - радиальное положение центра контакта с т-м кольцом.
Для сил Рт в общем случае в соответствии с решением Герца имеем
(3.7)
Km -
1-"! Ч-1
где Fl, Fj, Vl, "2 - модули упругости и коэффициенты Пуассона материалов шарика и колец; kgm - коэффициент, определяемый иэ аппроксима-ционной формулы (2.25) или из табт. 2.1 и зависящий от/?ют/2т-
Заметим, что применение формулы (3.7) связано с определенным противоречием, свойственным решению Герца. Проведем мысленный эксперимент. Пусть шарик контактирует с тороидальным желобом, сечение которого изображено на рис. 3.3. Если упругое сближение равно 5, то сила взаимодействия, вычисляемая по формуле Герца, Р = К8, где К, согласно (3.7), зависит от радиусов кривизны и упругих постоянных материалов шарика и желоба. Очевидно, что упругие силы потенциальны (отсутствует диссипация в материале), а потенциал является в данном случае функцией положения центра шарика. Пусть центр шарика перемещается вдоль радиуса желоба от положения, в котором происходит первоначальное его касание с желобом, до точки, в которой сближение равно 5. Тогда
Рис 3.3
работа упругой силы I Kbdb =~КЬ(К не зависит от 5). С другой о 5
стороны, предположим, что центр шарика перемещается по дуге окружности, изображенной на рис. 3.3 штриховой линией, так, что сближение в процессе перемещения остается неизменным. При этом вектор силы (направленный к центру кривизны желоба) будет в процессе всего перемещения ортогонален вектору касательной к траектории движения. Следовательно, работа упругой силы равна нулю, и потенциальная энергия не должна измениться. Однако в конечной точке пути кривизны в контакте изменятся. В результате вместо К появится величина К. Таким образом, потенциальная энергия в конечной точке равна 0,4 КХЬ.
Описанное противоречие вызвано тем, что сама формула Герца является приближенной, поскольку при ее получении тела заменялись эллипсоидами (уравнения поверхности раскладывались в ряд Тейлора лишь до квадратичных членов). Вследствие этого эпюра давления оказалась симметричной, а равнодействующая сил давления - направленной по общей нормали к поверхностям тел в точке контакта. Однако для того чтобы упругие силы обладали потенциалом, необходимо, чтобы имелась касательная составляющая силы. Такая составляющая может возникнуть в контактной задаче при учете кубических членов в разложении уравнения поверхности, из-за которых появятся асимметрия формы поверхности (и, следовательно, эпюры давления) и наклон площадки контакта. Таким образом, указанное противоречие свойственно самому решению Герца. Оно является принципиальным (поскольку не выполнено условие потенциальности упругих сил), хотя и происходит от небольшой количественной погрешности при решении контактной задачи. Точность решения Герца тем меньше, чем больше относительное изменение значения К (т.е. чем сильнее меняется кривизна желоба или упругие постоянные его материала) в области возможного контактирования.
Если нагрузка незначительно меняет угол контакта, будем вычислять К в состоянии предварительного касания шарика с кольцами, считая при этом значение К постоянным. В противном случае К будем рассчитывать в состоянии предварительного натяга.
Поскольку шарик находится в равновесии, то Pi = Рг = Р, а Р можно выразить через суммарное сближение Ьд = bi + §2 шарика с кольцами:
5о = iP/Ki) + (PIK) = Ко"" Р; Р = КоЬ, Ко = (1 + Кг)-.
(3.8)
В состоянии предварительного касания шарика с кольцами расстояние V = ОхОг между центрами кривизны сечений колец равно р? + Рг - Рт.а угол контакта определяется косинусом
cosa = (p? + p5 + p3-p?)/v, (3.9)
с точностью до знака. Вследствие упругой деформации расстояние ОО увеличится на Sq , т.е.
v = p? + p5-P7+5o. (3.10)
Используя формулы (3.5) - (3.10), расчет можно вести итерационно в такой последовательсности. При 5о = О вычисляем v по формуле (3.10). Затем по формуле (3.9) определяем а. Находим Р из формулы (3.5). Далее определяем Кц, R21, Rn, R22 по формуле (3.6) к К, Кг, Ко по формулам (3.7), (3.8), найдя предварительно отношения главных радиусов кривизны Rim2m и коэффициенты к = б(1т/-2га). Затем по формуле (3.8) определяем 5о и возвращаемся к вычислению v.
Если требуемая точность невысока и угол контакта не слишком мал, можно ограничиться одним приближением. По найденному значению Р определяем размеры площадок контакта йщ, Ъщ, максимальные давления Рт и упругие сближения 5т согласно формулам:
L J
Pom =kpm[PE\\IRim + l/2m)]; 5m =kf,„[P\\IRy + l ?2m)/£"T.
(3.11)
Эти вычисления можно проводить вручную с использованием микрокалькулятора. При этом для определения коэффициентов кат, Нт, рт, кщ можно пользоваться, приближенными формулами (2.22) - (2.25) или табл. 2.1. Используя 5о, можно рассчитать осевое сближение колец 5:
5z = (Р? + Р2 + Р4 - Рз ) I tga - tgao I,
(3.12)
где tto - начальный угол контакта, вычисляемый из формул (3.9), (3.10) при 5о= О .
При расчете нагрузки Р в контактах (для радиально-упорных подшипников с углом контакта Оо < 30°) с хорошей точностью можно пользоваться формулой
/=FJ/(Zlsmaol).
Пример 3.1. Провести силовой расчет подшипника 211 с габаритными размерами 55X100X25 мм. Параметры подшиш1ика: Dy/ = = 14,288 мм; j = pf = = = = 7,36 мм; = 77,5 мм - диаметр окружности, проведенной через центры шариков; а, = 1Г; Z = 10. Осевая нагрузка = 1372 И. Кольца и шарики изготовлены из одного материала, = = 208 ГПа, к, = = о,3.
V = 4,32 . Ю-* 1.435 • 10-* = 0,44635мм;cosa = 4,24-10-* (4.4635 • 10-*)= 0,94993; а = 18,21° ; sina = 0.3125; Р = 1372/(10 • 0,3125) = 439,04 И.
Изменение угла контакта (по сравнению с первым приближением) значительно, поэтому проведем расчет с новым значением угла контакта при прежних значениях
