Определим компоненты тензора напряжений. В плоскости Oxz - yz = 0. Определим компоненту Txz- Для этого найдем 9v/3z и bf/dx, используя формулы (2.56), (2.102), (2.103) и учитывая (2.118)-(2 120) :
Эу ЗТх
3TxCOs4i \/0+ she п
2 2 t----- T,e)she];
che thesini)/
1 „ (2.121)
,---[Fi--7. е) -
V+ she(she + cosi(() e 2
Подставляя (2.121) в формулу (2.96) для гг и учитывая (2.99), получаем (рис. 2.16)
1 1 1Т 1 я
thesin ф
1 ч 3+ she
+--+ -
0 sheche V+ sheCshе + cosi )
Для контакта цилиндров (при /3 О, = 0)
(2.122)
что уже было получено ранее [ см. (2.108)]. Для кругового контакта (при
= -cos\t[l +
sinsin п
--1,5 (-- - 7)tg7 +
cos + tg 7
+ 0,5sin7].
(2.123)
Определим компоненту a. Для этого получим d\/dxdz из (2.102) и (2.56) подстановкой в них формул (2.118) и (2.119) :
f)xiz в Vr+she(she + сое!/-)
Тодставив (2.124) и (2.99) в формулу (2.96), получим
(Jshesini cos ф
(2.124)
А V(3 + she(she+ cosф•)
ОгсюА" предельным переходом при /3 -* О получим, что для контакта цилиндров = О, а при (31, для кругового контакта,
62 \ sinisini/zcosi/( Тх Г у cosi/-
Определение компонент Ох, Оу и Тху тензора напряжений, имеющих в своем составе, согласно (2.96), производные от w, - задача более сложная.
В плоскости Oyz Ох =Оу = 0. Для определения Тху необходимо знать выражения ддя dw/dxby. Из (2.100). (2.102), (2.56) и (2.104) имеем
ЗТхП
ЗхЬу (1+ psh{)"(cht- г,)"
После замены под знаком интеграла переменной на по формуле
1 Ап + е? ch=-V-
1-г получим в переменных avi
ЭхЭу ве(е + ;3chc<sin(p)" е + pchasinip
- 1+-
echasin Pchacosip
- ( arctg
/Jchasin
- arcctg-
tgs/e + 0 cha
>/e + psha Для остальных производных имеем Эу
ду ЭхЭу
ethc
д ,/1 +psh а
iL -[- Д--7,.)Д--7..)
jr/2 if Риса.
В результате получим гху (1 - 2i»)p chasinv,
I---(arctg-
: sui ip
eficha sin(p
Pchacostfi
/Schasin
- arctg
- 1 +--11
в плоскости 6?vz тензор напряжений имеет вид
(где т„,ах = у/тз~*~т - максимальное касательное напряжение в плоскости 05сТ) приводит этот тензор к диагональному виду
О О О О О - Тщах
В плоскости Oxz Тху = 0. На рис. 2.17 построены кривые тах(ц; f) в плоскости Oyz.
Тензор напряжений в плоскости Oxz сложнее и имеет только две равные нулю компоненты - Тху и Туг. Выражение для максимального касательного напряжения в этом случае имеет громоздкий аналитический вид, поэтому его следует определять численно из исходных формул.
Преобразование координат
ГЛАВA3
СТАТИЧЕСКИЙ И ДИНАМИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ПОДШИПНИКОВОГО УЗЛА 3.1. КОНСТРУКТИВНЫЕ, ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ И РЕЖИМНЫЕ ПАРАМЕТРЫ УЗЛА
Введем правую неподвижную систему координат Oxyz (рис. 3.1) й рассмотрим сечение я-го подшипника плоскостью Оху (ось Oz направлена вдоль оси симметрии колец). Введем также координаты z, г, ф (угол ф отсчитываем в направлении кратчайшего поворота от Од: к Ои). Пронумеруем кольца подшипников: т = I соответствует наружному, ml=2 - внутреннему кольцу; число шариков в подшипнике обозначим . Воспользуемся общепринятыми обозначениями для геометрических параметров подшипника: Гщ - радиус кривизны поперечного сечения желоба т-го кольца; Z), (dj - диаметр по дну желоба наружного (внутреннего) кольца; Dy, - диаметр тела качения; ащ - угол контакта, положительное направление отсчета которого - от вертикали против часовой стрелки (на рис. 3.1 а, < 0). Так, например, для шарика, который не вращается вокруг оси Ог и центр которого лежит на отрезке Оу О2, «2 + f - Наряду с этими обозначениями при расчете будем пользоваться введенным В.Ф. Журавлевым семимерным вектором геометрических параметров Pi (/ = 1,..., 7), связь которого с общепринятыми обозначениями такова Рт =г„,,рз =Z),/2, Р4 = dij2, Рт = D; Р4 + m - проекция вектора С>0,„ (см. рис. 3.1) на ось Oz. Эти обозначения удобны при рассмотрении подшипника с отклонениями геометрических параметров, поскольку позволя ют унифицировать параметры и сократить запись сложных выражений Таким образом, геометрия колец подшипника в сечении ф = const характе ризуется шестимерным вектором р= (pi,..., Ре)- Вследствие погрешнос тей изготовления кольца подшипника и шарики имеют геометрию, несколь ко отличающуюся от номинальной. Следовательно, вектор геометрии зависит от угла ф: Р = V (ф). Обозначим вектор номинальной геометрии через р" = (р?,..., рбУ, Р? - номинальный диаметр шарика. Тогда погрешности изготовления колец, которые в дальнейшем считаем незначительными, можно описать вектором отклонений
р\Ф) = Р() -р"=(р. () -pi, Р2{Ф)-р\;
Ръ{Ф)-Р%,рЛФ)-р1, Рв{Ф)-pt, Рб(Ф)-Pel
Для описания отклонений от сферической формы шарика следует ввести сферическую систему координат ip 9 r(ip - азимутальный угол; в - угол, отсчитываемый от полюса; г - радиальная координата). Тогда общий вид поверхности шарика можно описать функцией r{ip, в). Вектор отклонений разлагается в ряд Фурье:
(3.1)
0.10
0.05
Рис 3.1
где I - мнимая единица; - комплексная амплитуда (шестимерный вектор). Вектор c-jt комплексно сопряжен с вектором c/f, поскольку правая часть формулы (3.1) должна быть действительной. Так, для компоненты с номером / из соотношения (3.1) получаем
Т
Рис 3.2
Р1{Ф) =
к = -
Соотношение (3.1) можно записать в эквивалентной действительной форме:
где c;t = 0,5(afc - гЪ) (pkl = 0,5(д; - ibki),l = 1.....6) для а: о и Cq =
= 0,5ао, Ьо = 0. На практике диапазон суммирования ограничен не слишком большим числомЛ, так что \к\ <N. Из формулы (3.2) можно найти амплитуду A)fi fe-й гармоники /-го отклонения:
При этом соотношении (3.2) можно записать в еще одной эквивалентной форме:
р,(ф) = 0,5До, + 2 Ак1со$(кф + aki), (3-3)
где Uki определяется соотношениями sin/ = -ki/Aki, cosa;t/ = "ki/Akii На рис. 3.2 представлена характерная профилограмма отклонений гео-
