самости от для различных значений i и f. Кривые 0-7 соответствуют значениям ф от нуля до 77г/8 с шагом 7г/8.
касательное нагружение. Пусть на границе полупространства касательная нагрузка Тх{х, у) направлена вдоль оси Ох и распределена по области Напряжения в упругом полупространстве определяем по формуламМ.В. Ко-ровчинского:
1 Эу
ах = -[2(1+ - 2я Эх
Э» Эи
Эх Эх
1 Эу
- (1 - 2p)z-
aw эи - 2v-]:
ЭхЭу
ЭхЭу
2я ЭхЭг 1 Эу
2я Эд"
[--(1-2)г-
дхЪу
- 2v-
эхэ>-
(2.96)
Txz =
1 Эу
-(--z-
2-п Эг
Z Эу
Эу Эх
Tyz=--
2я ЭхЭд"
где V И w даются формулами (2.51) с заменой р на Тх и, кроме того, введен потенциал
и(х, у, z) = Ят-хЙ, vyddn; а
г= /ik~xf + (rj-yf + z\ (2.97)
Если касательная нагрузка распределена согласно теории Герца, т.е. тх(х. У) = T%s/l-(x/af -{ylbf • (г° - максимальное значение напряжения в зоне контакта),то
ЗГ х
v(x, у, z) = /(1----4 . e+s
--- , - (2.98)
)+ S S V(e+s)(b+s)s
где - касательная сила, действующая на эллиптическую область контакта.
Тх = 2пт°хаЬ/3.
(2.99)
По известной функции \(х, у, z) можно определить производные от w/и и, входящие в формулы (2.96), с учетом следующих соотношений:
=- f
3 3v
2 Ьх°ду
-dz (а = 0,1, 2,3);
(2./00)
ам Эу Эу -= 2- + X-
Ъх Эу
ЭхЬу Ъу Эи
ЭхЭу
(2.101)
ЭхЭу
Эу Эу
ЬхЪу
Итак, для определения компонент тензора напряжений достаточно найти соответствующие производные от v. Для них, дифференцируя выражение (2.98), получаем следующие формулы:
эу ЗГу
2 (a + s„)"V(6*+s„)s„ * Эх
(2.102)
ЗГуГ
2 S s"V(fl+s)(6 + s)
Интегралы в формулах (2.102) можно выразить через нормальные эллиптические интегралы Лежандра первого и второго рода (2.58). Тогда приs = actgifiHb/a получим
/-г-- =-[F(arcctg-, е) -(arcctg-е)];
J (e + s)»"V(6 + s)s " e «
/ - .
- F(arcctg
2 1 чЛТ , = -~ [-E(arcctg-, e) -
0 (1 + S„/fl)(P+ So/fl)
(2.103)
Рис. 2.14
i"V(fl + s)(6 + s)
£(arcctg-, e)].
Определим компоненты тензора напряжений в наиболее важных частных случаях. Предварительно введем безразмерные переменные
(2.104)
Напряжения под центром контакта. На оси Oz х = у = О, поэтому Sq -= или в безразмерных переменных
остальные производные, входящие в (2.96), равны нулю. Найдем компоненты тензора напряжений (рис. 2.14) :
Ох = Оу= °z = тху = Tyi = 0;
1+0?
-F(arcctgr, е)].
[(2--)E(arcctgr,e)-е 0
(2.107)
Предельным переходом при 3 О найдем из (2.107) выражение для компоненты tz тензора напряжений в контакте цилиндров:
(2.108)
что совпадает с аналогичным выражением, полученным М.М. Савериным.
Для кругового контакта 0 в ряд по степеням е, получим
1 = !+£. (3arcctgf - --т% -2 1+ f
1. Разложив эллиптические интегралы ) (2.l/)9)
Напряжение в плоскости Oyz. В плоскости Oyz х = О, поэтому уравнение (2.53) для определения Xq упрощается и сводится к квадратнрму. Для простоты вычислений введем координаты ан ip, изменяющиеся Соответственно от О.до оо и от -7г/2 до +7г/2, связанные с декартовыми координатами следующими зависимостями: I
у = fcchasini, z = feshacosj. (2.110)
Координата о; связана с введенной ранее координатой 7 соотношением
tg7 = 3sha, (2.111)
поэтому координатные кривые а и имеют тот же вид (см. рис. 2.10). Координаты а и tp использованы М.М. Савериным при исследовании контакта цилиндров, что позволит нам без лишних сложностей рассматривать предельные переходы к решению задачи о контакте цилиндров. Координата 7 удобна лишь при рассмотрении кругового контакта, а также в качестве аргумента в эллиптических интегралах. Решая уравнение (2.53), получаем
So=fcsha, (2.112)
или, с учетом соотношения (2.111),
So=fltg7. (2.113)
откуда следует, что в эллиптических интегралах (2.103) первый аргумент - угол arcctg л/ (So/a ) = тг/2 -7.
Определим компоненту tz тензора напряжений в плоскости Oyz, учитывая, что 5 = 5 = 5z = Tyz = 0. Из (2.102) и (2.103), с учетом замен (2.110) и (2.113),получим
эу эх
ЗТхСОЪ cha тг
-[---£•(-7,e)sha];
аЗ Vl + 0sha 2
(2.114)
ае 2 2
Подставив (2.114) в формулу (2.96) для Txz и учтя выражение (2.99) для Тх, найдем (рис. 2.15,а; = 0,5)
Txz cha
= - cosyv
V 1 + 0 + sh а
3 sha
+ [(2-
1 я
--)£•(- -у,ё)-0 2
-F(-
(2.115)
Рис. 2.15
Предельным переходом прн Р -* О получим иэ (2.115) выражение для Txz в контакте цилиндров (рис. 2.15, б): 13=0:
- = -ехр (-a)cosv?, (2.116)
(15 I
/ к 1
0,5 1,0 I)
/ 1
что совпадает с выражением, полученным МА1. Савериным,
При j3 1 получаем формулу для т "Р" круговом контакте (рис. 2.15, в):
= -cos¥»[l - 1,5 (--7)tgr+ 0,5 sin*7].
(2.117)
Напряжения в плоскости Oxz. В плоскости Oxz j = 0. Аналогично предьщущему введем координаты е ифс помощью формул
х = achesini , z = ashecosi/.
Тогда наибольший положительный корень уравнения (2.53)
